книги из ГПНТБ / Белый, Ю. И. Электродинамика учеб. пособие

<D1n

D2n^3o - q

•

И, поскольку g

о , окончательно имеем

Din"Dai=

6

(23)

т .е . нормальная

составляющая вектора D

терпит оазрыв в том слу­

Условие

(23) характеризует также и поведение нормальной

составляющей

вектора еГ:

fj .

(24)

разрыв на

границе

сред,

однако в пределах переходного

слоя он

остается

непрерывным.

*

Пересечем поверхность раздела достаточно малой прямоуголь­

ной площадью . д у ограниченной

контуром

ь

, стороны

которой хА

а l j параллельны

поверхности

раздела,

а

стороны,

пересекающие

поверхность

раздела,

имеют длину

х^

.

Эта

площадка

пересекает

поверхность

раздела

по линии

10

(рис.2).

Проинтегрируем уравнение

(4)

по поверхности

g

и

преобразу­

ем его по

теореме

Стокса:

$ rotE

d l Г S EdX +

S EdX +

5 EdX -

0 .

3

ld

l i

i s

ъ

примем

В качестве положительного направления обхода контура

направление,'указанное на рисунке.

Тогда

имеем:

^

Edl-ZlE^ X ^ o s f f ^ d l ^ -

En x1

^

EdX Z |e 2I X2C 03(E2 j “ dX2 ) r - S 2 t X2

Интеграл

по

вычисляется при помощи теоремы о среднем:

Учитывая

это,

получим:

0

< w

•

Пусть

Ei t W

2 +< Ef > 4 = ° '

то l-1- ^ i o>i 2-*-io>3-*- о.Следовательно,в пределе

-

получается:

Т .к.

о

,

то,

(B1t “ B2t ^ o “ 0 *

ВП - B2t

(25)

т . е .

тангенциальная составляющая

вектора

электрической

напряжен­

ности непрерывна. Однако тангенциальная составляющая вектора

электрической

индукции терпит разрыв, если

•

5 ,Энергия электростатического поля.

'^вычислим

энергию' системы взаимодействующих

зарядов.

Всякая

система зарядов обладает определенной энергией

взаимодействияW

,

за счет

убыли

которой и совершается работа А:

ДА - —дѵ? .

Исходя

из

этого, подсчитаем энергию двух

точечных зарядов q-j

и

,

находящихся на

расстоянии

г 12 друг от друга.

Всякое изменение

взаиы

ного

расстояния зарядов

сопровождается

работой

электрических

сил.

Предположим,

например,

что заряд

q2 считается

неподвижным,

тогда

как

заряд

q1

перемещается в поле заряда q2

в

некоторую точку,

находящуюся

на

расстоянии г 12 от

второго

заряда.

Работа

электри­

ческих

сил

при

этом перемещении равна

откуда

tU = ~ 4 i d ' f l

»'

следовательно’,

^

т = *

$

r

■’l =e, Ф ь

(r=oo J

J

ние заряда q2 в поле

неподвижного заряда q, . в результате име­

ли бы:

„

®“

0-2 ^ 2 ■

электрическую энергию зарядовq1

и q2 в симметричной форме:

* - \

+ «2 ^

: 4 ^ 1 ЧіѵРі .

(Это выражение можно также получить, рассматривая одновременное

перемещение обоих зарядов).

Для трех зарядовq1f q2,q 3

имеем:

W1”'lK

2+«2^21

кУіЗ+^ЗіРзі

W3-'2^2^23'*'q3

32?*

Здесь

^

означает потенциал

поля заряда^qk

в точке, занимае­

мой

зарядом

Чі у .

Значит,суммарная энергия равна:

w : ^ (

w1 + w2 + w5) .

Обозначив і | т = ^ 2

+i

и^г. д. ,

имеем

* =

*

Аналогичное выражение для энергии можно получить для системы

П

точечных

зарядов і введя

в рассмотрение

потенциал ij>

,

который

создается всеми зарядами, кроне

і

т о

,в месте

расположения

послед­

него:

п

w z i ^ a

« if i

*

(26)

Полученную Формулу можно обобщить и на случай непрерывного

распределения Зарядов,

разлагая

эти заряды на совокупность эле­

ментарных зарядов рсиг и

6dS

и

переходя в

(формуле

(26)

от

сум­

мирования к интегрированию:

w г

•£(

+ ^б -^аз

+ ^ е ^ < и

)

,

(2?)

где

-

значение потенциала поля всех объемных, поверхностных

и линейных

зарядов в

элементе объема <іу , на элементе поверх­

ности

dS

или длины

dl ,

Из второго

уравнения

Максвелла (12)

найдем объемную

плотность

заряда

ja -

d lv

D .

Тогда

'-Ч -

\

^ d lv D dV.

Используя

анализа

(п .І5) и

теорему

соотношение

из

векторного

Остроградского-Гаусса

(п.7),

можно преобразовать выражение для

энергии \ѵ

:

_

'Ѵ

±vDclV ■-•^div(D<y )dy ”

Dgred^

dV Z

Z ^ \

dS +

DEdV .

*

ленной поверхности, равен

нулю,

т. к. на

бесконечности

равно нулю

подынтегральное

выражение.

Окончательно находим:

-

Ц

, г

л

* =

Ш dV

(28)

-

аѵ

Уравнение

(28) выражает

электрическую энергию в виде

бесконеч­

ной суммы

слагаемых, каждое

из

которых

равняется £ в 2ат

и

относится

к определенному

элементу объема

dV . Поэтому физи­

лизована в пространстве

так,

что

в каждой единице объема содержит

ся количество

энергии

*.

,

равное

'

w

= £ е 2

(29)

Величина

-иг

есть

2

объемная плотность электрической энергии.

Чрезвычайно

важнь

отметить,

что энергия электрического поля

пенсирующее

внешнее поле. Сумма внешнего поля

и поля

поверхностных

зарядов проводника равняется по-прежнему нулю

(когда

говорят об

отсутствии

поля внутри проводника, то имеют в

виду именно отсутствие

макроскопического

поля, но отнюдь не отсутствие микроскопического

поля). Т.О., электрическое поле

4

не проникает внутрь проводника.

На этом основана

так

называемая

электростатическая защита (экран,

заземление).

Наблюдаемое в

системе проводящих тел взаимное влияние на­

проводника

Е =

о

(Е.,

=

Е0 . =

о),

граничные

условия

ч л

и

(25)

примут

вид:

(24)

JIn

СГ

EI t

" °-

Т . о . , поле

вне

проводника

у

его

поверхности направлено по внешней

нормали "п

:

=

(Г

(30)

Из равенства нулю поля

Е внутри проводника следует постоян­

ство потенциала

вдоль

всего

проводника, г. к. из соотношения (14)

следует, что

2

°’

т*е' %=У2 ‘

S

2, Потенциал

проводника зависит от формы проводника, величины

Емкостью проводника

С называется

отношение заряда

с^, уеди­

ненного

проводника

к его

потенциалу

^

:

с -

■fjr •

Емкость

проводника

измеряется в фарадах: Іф =

-ІСГ^мкф =

ІСГ^йкф =

9 -ІО1!

см. .Размерность

емкости

следует из определения (31);

[Cl = -JL

=

ф

;

іф = ІСГ^СГСМ

Для

конденсатора:

с - -2_

(32)

г д е ^ і

и і^2- потенциалы

. Ч г І 2

конденсатора.

От

величины заряда

пластин

емкость

конденсатора

не зависит.

Она определяется

геометрией

конденсатора и диэлектрической проницаемостью

£

заполняющего

его диэлектрика.

Если имеется

п

проводников,

то

потенциал

проводника за­

висит

от

заряда, формы и расположения

всех остальных проводников.

Т.к.

потенциал суммы зарядов

равен

сумме потенциалов отдельных

п

L?, Г

/• ~

г т ііі

» 1 -

п •

(33)

Коэффициент

3=1

называются

потенциальными ко.у^иционтами.

Система

уравнений

о іI k -

<^kl

•

Q3)

может

быть

решена относительно зарядов

qi

:

qi -

Ci j

^

3

(т. е. потенциал

щшвЪдника-

*

линейно

связан с

потенциалами всех

п

проводников

системы).

Коэффициенты о .,

при і £ 3

. называются

J

коэффициентами индукции, а при i - j

-

коэффициентами

емкости.

Они удовлетворяют

условию:

0

<4* '

В проводниках

j> -

Ч Г

для

энергии (27) прини­

смго выражение

мает

следующий вид:

^

і

31

d34

5 Z&S er 1ds

і

ч

,

(35)

1

3^

где

- соответственно

потенциал,

поверхностная

плотность, заряд

и

площадь і-го

проводника.

Энергия конденсатора из .формулы (35) 6 учетом (32) приоб­

ретает

вид:

2 ^

1А ^

0Л^

Й

.

-

(36)

где Дѵ^ - разность потенциалов между

пластинами конденсатора.

3« Используя

формулы

(5)

и

(30),

можно вычислить силу, действу­

ющую на

проводник. Для этого'выделим некоторый бесконечно малый

участок

поверхности

проводника

дз

(см.рис. 3). На заряды,

находящиеся на

площадке содействует

только

поле iTj,

создаваемое

зарядами, находящимися

вне

этой

площадки. Это поле по абсо-

Рис.З

лютной

величине

равно

полю Eg, создаваемому зарядами

dS, но шло

ющему

противоположное направление, т. к.

поле Ej по обе

стороны

площадки имеет

одну и

ту же величину ( .

является непрерывным),

но противоположное направление.

Вне проводника

должно быть:

E.J + Б2 —Е

п •

Внутри проводника

суммарное

поле

равно нулю,

т . е. Ej

- Eg = о.

Откуда Ej= Е g .

Значит, на

заряд

dq= (TdS, находящийся на эле­

менте поверхности

dS ,

действует

поле, равное

6r£/2fc

. Следо­

вательно,

на

этот

заряд

действует

си ла

—*

—

16" - г

1 б"

di1

- -g -g” ri dS .

Исключая

из

этой

формулы плотность заряда

о

с помощью равенства

(30) и обозначив

аз -

ndS

,

получаем:

сйГ = ^ £ .b 2dS .

(37)

Для вычисления силы, действующей на

проводник в электростати­

поверхности проводника

3 , :

? =

I

5 E2d3 Г irr

^ 62d ? .

г

3

гSь

?. Диэлектрики в электростатическом поле

I . Диэлектрики (изоляторы) - непроводники электричества.

В

них,в отличие от металлов, зарядов,

моющих перемещаться под

действием

внешнего

электрического

поля,

очень мало, и

ими

можно пренебречь. Диэлектрики могут состоять или из электри­

чески

нейтральных

молекул, или из иоцов, которые расположены в

пространстве в определенном порядке и образуют кристаллическую

решетку.

Под

воздействием

внешнего

электрического поля заряды,

входящие в состав диэлектрика, несколько смещаются из положения

равновесия. Это явление называется поляризацией диэлектрика.

Интенсивность поляризации характеризуется

вектором

поляризации

•

Р .Рассмотрим его физі. іеский

смысл.

Диэлектрик

во

внешнем

электрическом поле

можно представить как совокупность равных,

но противоположных

по знаку точечных зарядов, смещенных

из

по­

ложения равновесия

на расстояние

1

относительно

друг

друга,

т . е. диполей, ьсли

1

-

вектор,

проведенный от

отрицательного

заряда, диполя к положительному и по абсолютной величине равный

расстоянию между зарядами

1

,

а

q -

абсолютная

величина

каждого из зарядов

диполя,

то

можно воспользоваться

выражениями

(20) для дипольного момента и (21) для его потенциала.. Электри­

ческие свойства диполя с достаточной степенью точности характери-

вуются дипольным,моментом. Значит,

поляризацию диэлектрика

можно

количественно ,описать дипольным моментом, который приобретает

он при внесении во внешнее электрическое

поле. Ьекюр поляриза-

ции

Р

определяется

как

дипольный "момент единицы

объема.

Из

ѵ

этого

определения

следует,

что дипольный

момент др

элемента объема