книги из ГПНТБ / Белый, Ю. И. Электродинамика учеб. пособие

Если заряд находится вне замкнутой поверхности

3

, то

интеграл (8) будет

равен нулю, т .е .

^

'd аз

= О

т.к. его

можно представить в

виде

суммьР двух равных

по абсолютной

величине,

но противоположных

по

знаку

интегралов:

а)

интеграл

по части

поверхности 3

, обращенной

вне

телесного

угла,

под

которым наблюдается.вся замкнутая поверхность; б) интеграл по

оставшейся части

поверхности

3

,

обращенной

внутрь

телесного

угла,

имеющий ту

же

величину,

что

и интеграл'а" ,но

с отрицатель-■

ним знаком.

Если

имеется

несколько точечных

зарядов

,

то, как пока­

зывает

опыт, вектор

индукции электрического поля Сравен

сумме •

векторов

индукции

D^,

создаваемых

зарядами:

В

1

1

.

ствием

является

линейность

соответствующих

уравнений, т .е . сум­

ма двух

решений

является

решением,

и

решение,

умноженное

на произвольную постоянную величину,

является также

решением.

В этом случае выражение (8)

будет иметь

следующий вид:

к = §3-ая

і і = £ q .= q

.

(з)

где aq

- заряд,

заключенный

в

объеме

дѴ ,(Обращаю внимание

читателя на макроскопический характер объемной плотности за­

рядов). Из этого определения следует,

что величина

заряда dq t

заключенного

в элементе

объема

dV ,

равна:

dq

- р

dV

(10)

Тогда

теорема

(9)

примет

следующий вид:

§ D -d S = d p dV-

,

( П )

о' = lim

.

dS—о s

В системе единиц СИ:

f e b - *м1

Выражение (I I) можно записать

и в дифференциальной форме.

Гаусса (п .7). Применив эту

теорему

к левой

части равенства ( I I ) ,

получаем:

г _

„

(

D dv

•

Ф 5

dS -

о div

Поэтому из

(I I )

в .

V

следует,

что

I (d iv

D -

p)dV

- 0 •

V

^

Эго равенство справедливо при произвольном выборе объема интег­

рирования

V .

Но если

интеграл от некоторой функции равен нулю

при

произвольной области

интегрирования,

то сама функция

тож­

дественно

равна

пулю, т .е .

( 12)

d iv

D =

р,

Это

соотношение

является

вторым уравнением

іаксвелла для

элект­

ростатики.

Оно

является

дифференциальной формой теоремы Гаусса.

Если

в

объемеv äivteO

, то поток

вектора

D через замкнутую

поверхность

3

, ограничивающую этот

объем, равен нулю. Следо­

вательно, в рассматриваемом объеме нет ни источников, ни стоков

поля вектора D.

Если divD> о,

то имеем

начало линий вектора

D.

*

Еслисі±ѵі»<0

,

то имеем

конец этих линий, т .е .

в точках, в

кото­

рых divß

о ,

расположены

источники

или стони поля этого векто­

ра. Т.О., из выражения (12) следует, что источниками и стоками

поля вектора электрической индукции V

являются

электрические

за ­

ряды:

для

положительных

зарядовр>0

и

сііѵ Ъ > 0, а для

отрицатель­

ных j K

о

и

сііѵт><0 ,т .е .

линии вектора D начинаются

на положитель

ных зарядах и оканчиваются на отрицательных зарядах.

3. Скалярный потенциал

и

уравнение

для него.

Независимость работы

мя точками обусловливает существование скалярной функции- ^

. Эта

скалярная функция ^

называется скалярным

потенциалом.

Поскольку ротор

градиента

равен нулю,

то общим решением урав­

нения (4-) является выражение:

E z - g r a d ^

.

Знак^минус"

означает,

что вектор

напряженнос­

смысла и не монет быть измерена

на опыте, физическое значение

имёет лишь разность потенциалов,

которая измеряется на опыте.

Но

эта

\

изменится, если к значению потенциала

разность потенциалов не

во

всех точках пространства

прибавить одну и ту же постоянную

ве­

'f

= о .

Тогда потенциал всех остальных

точек оказывается определенным

напряженность электрического поля

по формуле

(13).

В электродинамике

потенциал

можно найти

с помощью уравнения

Пуассона.

Получим это уравнение.

Для

этого

подставим в уравнение

( 12):

4

< U v B = |

выражение

(13).

Учитывая (п.ІО ),

получим:

_

4 ф = - £ - ,

(16)

J

с

Это есть

уравнение Пуассона.

Раньше было показано, что потенциал

^

всюду конечен. Ясно

также, что и производные потенциала

if

по

координатам должны быть

всюду

конечными,

т .к . бесконечность

производных означала бы бес­

конечность

электрического поля,

что физически

бѳссмыслѳнно.Т.о.,

потенциал

является непрерывной

и конечной

функцией, е

конечны­

ми производными по координатам.

Эти

требования налагаются

на рѳше-

ние дифферѳнциального уравнения (16).

Общим выражением для

потенциала, создаваемого объемными,

поверхностными и линейными зарядами, распределенными в конечной

области пространства,является:

(17)

где р,<5,в

- соответственно

объемная, поверхностная

и линейная

1 плотность

зарядов. Это

выражение удовлетворяет

уравнению

(16),

в чем можно убедиться непосредственной подстановкой.

Во многих случаях

іу

удобнее находить как решение уравне­

ния Пуассона (17), т . к .: I)

автоматически удовлетворяется

усло­

вие потенциальности электростатического поля (4);

2)задачанахож-

ДѲНИЯ Трех ФУНКЦИЙ Bx(xj:z),3^(x/y;z) , E(xyz)

сводится к на-

хождению одной функции

Ljj(x,y;z)

; 3) уравнение

Пуассона

не

Та

область пространства, в которой отсутствуют заряды, опи­

сывается

уравнением Лапласа:

д ^ = 0 .

(18)

Из этого

факта следует, что потенциал

^ нигде не

имеет минимума,

нии устойчивого равновесия, т .е .

всякая

устойчивая

система электри­

ческих зарядов должна быть динамической.

Это утверждение

являет­

ся содержанием теоремы

йрншоу.

Из выражения (17)

следует,

что для

точечного

заряда

потенциал

( 19)

создаваемым равным,

но противоположным по

знаку

зарядом,

смещен­

ным на расстояниедх-1

от первого заряда

(такую

систему

называют

диполем). Это равнозначно дифференцированию выражения (19)

п о х .

Т.к. производная

решения также удовлетворяет уравнению Лап­

ласа,

то указанное дифференцирование

порождает новые решения

с

особенностями более

высокого порядка

при

г -0 .

Такие потенциалы

называются мультипольными.

При первом дифференцировании мы получим:

М ?(й)_Н __ <Ц(х'-х) .

cose

У

эх-ГГ. **“ 4.11тгегэer3

ч'1і ''4ігегс. ,

где

ѳ

_ угол

между

векторами? и "і (положительным направле­

нием Т"

считается

направление от

- і

к - ш ) . Величина

11

созѲ = Q.1 -

jT

(20)

потенциал

дипольного

момента равен:

•

( 21)

Потенциалы, соответствующие моментам более высокого порядка,

можно получить аналогичным образом.

Соответствующие им поля назы­

вают мультиполями (поле квадруполя,

поле октуполя и т . д .) .

В общем виде полюса

порядка

2П

имеют

следующий вид:

( 2л ) . ( І ) п ^п>

ф.

( 22)

4jrg n 1

8 Х..

Ъ X

-„о

где

р

представляет

мулмипольный

момент,

определяемый

рекурен-

тным соотношением:

п

■>

р(п9 *

рО1“ 1) ^

где

1д

- смешение,

приводящее

н возникновению полюсов

порядка2І

потенциалов точечного заряда, диполя, квадруполя, октуполя

и

т.д.

17

і

Гюс.публичная

Г

I

К Д У Ч Н7 ѲО Х М- * ‘ Ч < Э ' ' К Й Й

і

случае

вектор

D терпит разрыв на границе сред,

т .к .

6 изменяется

скачком. Чтобы обойти эту трудность, считаем,

t

что вместо границы

раздела имеется тонкий переходный слой, в пределах которого S

изменяется очень быстро, но остается непрерывным , благодаря

этому

вектор

1) в переходном слое

остается

непрерывным.

Рассмотрим достаточно малый цилиндр, пересечённый поверх­

ностью раздела,основания которого

имеют

площади з 1 и

s 2,

па­

раллельные

поверхности раздела. Обозначим площадь сечения цилин­

дра

поверхностью раздела

s q ,

площадь

боковой

поверхности

^5

,

высоту

h

Проинтегрируем уравнение (12) по объему цилиндра и, восполь­

зовавшись теоремой (п .7), найдем:

_

Sdlv

D

dV =

$ DdS +

$ Sd£ +

S DdlT =

^ pdV =

n •

v ■*

Si

вдоль

Si

s«-

при

7

r

по

Вектор

аз

направлен

нормали

п

интегрировании

поверхности

з 1

и

в

противоположном

направлении при

интегриро­

вании

по з 2

. Цилиндр достаточно

малый, так что изменением Г

при интегрировании в данной среде

можно пренебречь. Получаем:

W a a rlD 1i 3 1 cos('51,n)=D1ns 1f

$ 15dS= iD ^eosöJg'^.nfc-D ^Sg .

3 1

^

32

^

Здесь

D1n z l ^ l e o s ^ . n )

u ö ^ lD g lco sC D ^ n )

нормальные

составляющие

вектора

D в первой и второй среде соот­

ветственно.

Интеграл по.боковой поверхности можно вычислить с по­

мощью теоремы *о среднем:

$

^

аз : <Вг>з,

►

3

о

ö >

где

<D->

-

среднее

значений

вектора

индукции на

боковой

поверх-

ности.

I

С учетом этого получаем:

Din3i ~ D^u2n-32s "

+ < D(f> 3В' -

ч

Устремим высоту

цилинда

h

к нулю.

Очевидно,

что

при этом:

1

о •

3^—3

о

2