Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Белый, Ю. И. Электродинамика учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Аналогичный образом, продифференцировав обе части ра

венства (I 6I) по t	и заменив		тангенциальную			составляющую
отраженной волны ее	выражением из			(I 6I ) ,	получим:
	С.0 1 -	Ll '	з
Т.О ., имеем:
	и) 1 -	и)	2 -	и) з	,	(162)
т .е . при отражении	и преломлении			частота	волны	сохраняется.

2.Покажем, что падающий, отраженный и преломленный

лучи лежат в одной плоскости.			Выберем начало координат в одной
из точек поверхности раздела.			Тогда вектор		"?	в равенстве
( І 6І) будет полностью лежать		в плоскости раздела					сред.	При
меним к обеим частям равенства			(ІбІ) операцию			(	г V	)
(учитывая, что				) и исключая танген-.
циальную составляющую преломлений волны согласно							соотношению
(Іб І), получим:
i [ ( ? 1? ) -(x 3? ) j				- В Д =
=				- *V>
Это равенство справедливо	при		произвольных		векторах 7 ,			лежа
щих в плоскости раздела,	что	возможно лишь			при условии:
							\
	( V	)	=	( к , / )
Проведя аналогичные рассуждения,				но только	с заменой танген-
			I

циальвой составляющей отраженной волны ее выражением из(161),

получим

(А^г) - ( к ^ г ) .
Т.О ., имеем
( к ^ г ) = ( k z r ) -	( к 3т ),	(163)
что означает, что векторы k 1(k 2 и	компланарные,	т .е . лежат в

одной плоскости. А так как волновой вектор характеризует нап100

равление электромагнитной волны, то тем самым доказано, что падающий, отраженный и преломленный лучи лежат в одной плос кости.

3.	Найдем соотношения между углами									падения, отражения
и преломления. Начало системы координат выберем										на поверх
ности раздела диэлектриков в точке падения рассматриваемого
луча. Совместим плоскость. yz					с плоскостью лучей. Запишем
равенство (163)		ь скалярном виде:
	fc-jOos^		- J C j C o s j i t , k j c o s ^ j							( 164)
Обозначим через		ѵі»ѵ2»'гз		соответственно					скорости падающей,
отраженной и преломленной волн.					Т .к. частота всех трех волн
согласно	(162) одинакова, то			можно записать:
к ^ - и ) / ѵ 1 , к ^ = о У ѵ 2 , к }= u ) / v j .
Поскольку	падающая и отраженная				волны		распространяются
в -одной и той же среде, то						Ѵі	=	ѵ2 .
Следовательно
	к 1	- k 2	t co3üC]		-	соз-^2				■
Это означает, что угол			падения		равен углу отражения. Из
( 164 ) следует,		что	созоL1 -			cos,/.
Из рисунка		видно, что
	ООВ,/_1		- 2 ІПІ		,	003	c/j	-	s l n r .
■значит.			ЗІП* І	_	V.J
			ЗІП* І	_	V.J
			З І П Г		V j
Учитывая,	что	- V
		- V								,
окончательно можно записать:
			аДг-	і	-	Z l	=	f-E'i Mi. - п
			з іп	г		ѵ 3	У			>

ІОІ

т.е." отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно показателю преломления второй среды относительно первой. Это соотношение называют законом Снеллиуса.

4.Получим соотношения между интенсивностями падающей,

отраженной и преломленной волн. Для	чего рассмотрим		случай
нормального падения волны на границу	раздела сред.		Совместим
ось z с направлением распространения падающей		волны, ось х
с вектором Е падающей волны, тогда	ось у будет	совмещена с
вектором Н.
Учитывая соотношение (138) между амплитудами магнитного
и электрического векторов в плоской	волне, можно записать
для падающей волны:

отраженная волна движется	в отрицательном направлении оси z .
Поскольку векторы Ej	, Н 3 , К 3 составляют право

винтовую систему, то направление распространения волны может

измениться на обратное лишь		при условии, что один из векторов
Е или Н	изменит направление	на	обратное. В отраженной волне
меняет	направление вектор Н	.	С учетом этого для отраженной
волны будем иметь:			*

Для	д и эл ек тр и к о в д ^^ г д	.Тогда граничные условия
для	тангенциальных составляющих Е и Н в данном случае запи
сываются следующим образом:

Решением этой системы алгебраических уравнений являются вы

ражения!				_	1
Е, =	1+	п Е1о				+ п 1 о >	(165)
Зо				2о~	1
	n -		ki	•
Интенсивность волны -характеризуется абсолютной вѳличи
ной вектора		Пойнтинга		( І І 8).		Поскольку	векторы Е и 1Г изме

няются по гармоническому закону, среднее значение за период

этих векторов связано с амплитудами Ео и					Но равенствами:
< Е 2> = Е2 < co sö t> =	, <н2> = -\|- н2 .
Следовательно, вычислив среднее			значение		вектора Пойнтинга
( I I 8) , мы найдем связь средней			за	период	игітенаивности J
волны с амплитудой волны:
	2 ’ Яо			Е с
	2 ’ Яо			0
Используя эту связь, можно записать средние за период
интенсивности падающей волны
т -	1	Ж	в 2		(166)
и.ч- "j					(166)
1"		'Р-о 10 ’

отраженной волны

-1 іД 1

Г2 V» ЕІо

и преломленной волны

~	2 ' I -	Зо
С учетом(166) выражения для J	2 и J jMOhho преобразовать к виду:
J *		,	(167)
2“
J r		•	(W8)

Соотношения (166)- (168) называются формулами Френеля. Из

этих	формул следует, что
		2	I
		2	3 I .
Это	означает, что энергия		падающей волны полностью перехо
дит	в энергию отраженной	и	преломленной волны,

ЮЗ

27. Излучение электромагнитных волн. Электрическое поле л электростатике и магнитное поле в магнитостатике j,y.->ucrt.jVT

всегда совместно с электрическими зарядами и токами соответ ственно. Они не существуют отдельно от зарядов и токов, воз никнув в виде электромагнитных волн поле получает полную самос

тоятельность	существования, т .е . отдельно от первоисточников
и независимо	от того, что в последующем происходит с этими

зарядами и токами.

Простейшим источником электромагнитных волн является вибратор Герца. Вибратор Герца состоит из двух металлических

.стержней (шариков), между концами которых оставлен небольшой искровой промежуток. К этим концам стержней подключается ис точник высокого напряжения, например, катушка Румкорфа. При работе индукционной катушки происходит искровой разряд и в виб-,

раторе устанавливаются электрические колебания. При наличии искры вибратор представляет собой систему двух шаров, заряжен ных равными по величине, но противоположными по знаку зарядами и соединенных проводником. Если предоставить эту систему самой себе, то будет происходить периодический процесс перезарядки шаров.' Если сопротивление соединяющего проводника мало, то по нему будет течь ток, сила которого будет меняться периоди- .

чески(и в течение большого числа периодов колсиап:;., затуханием его можно пренебречь. Электрические колебания в вибраторе воз буждают в окружающем пространстве переменные электромагнитные поля, которые в виде электромагнитных волн распространяются в пространстве. Первоисточником этих волн являются заряды дви жущиеся с ускорением. Упорядоченное движение зарядов при постоян ном токе к излучению не приводит.

ТОЙ

Огромный интерес представляет собой характер электромагнит


ного поля вокруг вибратора.			Это поле можно описать как электро
магнитное поле диполя длины			1 с зарядами на концах		+ q	и	- q.,
момент	р которого изменяется		со временем по закону:
		p ( t ) = pQf ( t )		,
где "р0	- постоянный	вектор,	£ ( t) - периодическая		функция.		Та
кую систему называют		также линейным осциллятором.
Электромагнитное		поле такой системы		можно рассчитать,		если

известны выражения для скалярного и векторного потенциалов (21) и

(78). Если	под		Y понимается пространственная плотность					движущего
ся заряда	со	скоростью		ѵ	,	то он будет	создавать ток,	плотность
которого				3	- f	У •
Выражение длн		векторного потенциала в этом случае будет иметь вид
“ 4JT)		av	4JTr f	4JT	r	4Л \|^ j-4 jrr	at
Для удобства		вычислений		целесообразно ввести вектор
\			n ( t , r )	= 2 -= b > £ (t-i/c)			,	(169)

который называется вектором Герда или поляризационным потенциалом.

Он удовлетворяет уравнению:	г'п	(170)
дІГ - оі	о

что легко проверить подстановкой выражения (169) в (170). Оледо-

вательно из выражения для векторного потенциала с учетом (169) ‘и

(74)	получаем:		d i l & ,		(I7I)
	В = r o t	А - ^ r o t		r o t П

	Выражение для скалярного			потенциала	получим с помощью выра-
жений'	(I2I) и	(123):	'	^	(172)
			~	dlv П '

Зная выражение для скалярного потенциала (172) и используя форму

лу векторного анализа (п .ІЗ ),	а также	равенство с=і/Ѵ£0р ^ получим:
1	____j J л _	ТТ	Ат*

Дальнейшие, вычисления удобнее провести в сферической системе координат. Направим полярную ось z вдоль вектора р0, поместив на чало координат в центре диполя (рис.9)-.

Полярный и азимутальный углы обозначим соответственно

через Ѳ

ц ^

Получаем:

—

_ J

дтт

-т

- - -

з±пѲІ~д (гП )

- -

r o t r n

rotgll

O . r o t ^ n

7— [

- n j

ЗШѲ ~

Отсюда

на

основании

формулы

(171) находим:.

- вѳ- 0 -

(173)

Компоненты вектора электрической напряженности вычисляются с по

мощью формулы для ротора в сферической

системе координат

(п .6):

р —

1—

1___ â г . j wn

тт

\ —

оо зѲ

Э XL

(174)

Er“

41T£o г

аіпѲ 5^ (s in ö r o tjll

) -

4л£^ r

atär>

Eѳ- “—43*І röiv— <>

* j l =

Если дипольный момент

изменяется по гармоническому закону:

г*

_±u) t

—

*о

то вектор Герца записывается следующим образом:
гг	- -т el ^ ( t - r / c )		(
1 “		г
Выполняя соответствующие дифференцирования в формулах (173)			и (174)
находим следующее выражение	для	отличных от нуля компонент	векто-

р0 в 1 и ? :

вг= г Ь . ( Ѵ с Т

Ч> сг

		ст зіпѲ	,
) п ео вѳ ,в #сі= - ( '± ; і £ _ а £ )			тт . j (175)
’	Сг	г> Пяія&.

106

Выражение (175) представляет собой общее решение задачи.

Для поля на относительно небольших расстояниях от вибратора

выполняется неравенство , т .е . ~ . Эту часть поля

называют ближней или дипольной зоной. В случае ближней зоны можно пренебречь запаздыванием:

Іі) ( t - г / с ) = ii)t - г ~ ~ іЛ .

Поэтому

Пег і pocostft-^ 3L.

Далее можно в (175) ограничиться первыми членами. Поэтому для ближ

ней зоны получим:		Е -	2 у созе	Е -	р_зіде	.
		г"	•	Лег	з
%= Ц п .іп в =	I	f	),1»в = ^ \| S äf .			(176)

Из уравнений (176)	видно,		что в ближней		зоне электрическое поле сов

падает с полем статического диполя, а магнитное поле тождественно с

полем прямолинейного тока длины 1 , Определяемого по закону Био-

Савара-Лапласа, т .о ., вблизи вибратора преобладает ввазистационар-

ное поле, которое убывает, с расстоянием и на расстоянии порядка нес

кольких. длин волн практически равно нулю.

Если длина волны намного больше размеров излучающей системы,ти

электромагнитное поле на большихрасстояниях можно представить как сумму полей, излучаемых диполем, квадруполем и прочини мУлыиполями.

Максимальным по интенсивности является дипольное излучение.
Для этого	поля на		значительном расстоянии от в и б р а т о р а ,
т .е .	• Эту	часть		поля называют дальней или волновой зоной.
В этом случае члены уравнения (175), содержащие в знаменателе г							,
исчезающе малы по сравнению с членами, не содержащими *• .						Поэтому:
	V	V	Нр= Нѳ= 0 .			(17?)
		- 2		р cos iO(t-.r/e)
	Ед=-------- ,зіпѲ-° - — --------
	_/[		м)2		P „co a (t-r/c)
	Hf T if 7			5іпѲ	Г

ЮТ

Обратней теперь к вопросу о	величине излучаемой энергии.
Поскольку в окружающей пространстве	отсутствует поглощение, то можно
Л

приравнять излучаеиую энергию той энергии, которая вытекает из произ

вольной сферы, проведенной вокруг вибратора как центра.

Т.-о., задача сводится к вычислению потока электромагнитной энергии

'118).	Вычислим мощность потока			энергии	через замкнутую поверхность
зйяры	радиѵоа	г	о помощью формул лІ?7 к
	,НЗ dS=i EeHMdS-^ fT ^ u )4 p ^ o o a ^ C t - l) - ^							\| £ l 2 (ly e )
	S		S	0				О
Мощность потока		энергии называют интенсивностью излучения.
	28. Излучение движущегося заряда.
	Нами было рассмотрено			,что неравномерно			движу -
щийся заряд является излучателем электромагнитных волн. Для оди-
йШЧітіР заряда		выражение (178)		принимает вид:
					5іГ0і Ѵ	’		(І79)
гдь	w- ускорение, и которым движется				заряд,	при	излучении за
ряд теряет не только энергию,				но и импульс, которые				превращаются в
энергию и импульс иалучения. Т .о ., поле излучения							обладает не толь
ко энергией, но и			импульсом. Благодаря		этому,	излучение сопровож

дается обратным силовым воздействием излучаемого поля на частицу.

Это воздействие излучаемого поля, на собственное движение частицы

называется реакцией излучения.

Заряд и излучение представляют собой замкнутую систему. По

закону сохранения.импульс такой системы должен быть постоянным.

Поэтому импульс заряда должен изменяться на величину импульса из лученной им электромагнитной волны. Это эквивалентно тому, что при

излучении на заряд	действует сила. В результате	излучения энергіей
и Скорость заряда	уменьшаются. Значит эта сила	является тормозящей.
	т'ов
	I

Обозначим ее F . Для простоты предположим, что заряд движется вдоль оси X. Работа силы торможения излучением в единицу времели по определению равна мощности излучения. Значит закон сохранения энергии имеет вид:

		-?•.				..2
Воспользуемся		F X = -				$ ж
Воспользуемся		очевидным равенством
		x2 =		- (x	x)	+ \|^(xx) .
Тогда	2					2
4І _ 1	q	а - *		1		XX
d t - g jf to “ 3		d t 3“ -		б те 0		XX
Сравнивая	выражение			б те 0		c3
Сравнивая	выражение		(179)		и	(180) , находим,

(180) что тормозящая сила

равНа г = 1 qf 'i' (181)

*570 Т5 Силу торможения излучением называют также силой радиз-ционного тре

ния. Она учитывает реакцию собственного поля заряда :іа его дви жение.

Формула ( І 8І) правомерна при условии, что сила реакции излу

чения мала по сравнению с внешней силой,действующей ня частицу, а противном случае под действием обратной реакции,. излучения ускорение

возрастает во времени - частица саморазгоняется. Это противоречит как законам классической механики, так и-всем опытным даяньи«.

Реакция излучения оказывает существенное влияние на свойства

излучаемого поля. Рассмотрим, например, движение заряженной части

цы под действием	кваэиулругой силы - №( вдоль оси к, т .е .	линейным
гармонический осциллятор. Тогда уравнение ее движения имеет		вид:
	U
	тх + кх = О
и л и	X + ы .’ 2 х г О

Решение этого уравнения записывается следующим образом:

	z= а sim rt + b	cosJt ,		(182)
где іл =Ѵ k/m	- частота колебаний осциллятора, а			величины в и в
- произвольные	константа. Т .о .,	если бы	заряд колебался без зату
хания и излучал в течение бесконечного			промежутка	времени, то
	109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ