Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Белый, Ю. И. Электродинамика учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Учтем эту

связь,

тогда £

j i

зависят

не

только от

свойств среды,

но и

от

частоты

поля. Для поля монохроыатичной

волны материальные уравнения

(II2)

будут

иметь вид

D(ai) -£({jü) Е (а’)

, в(ш )

- j u O )

н(а' )•

(как было уже отмечено,

что существенным отличием этих урав

нений

является зависимость £. и

j i

также и

от

частоты поля).

Тогда I и П уравнения Максвелла при наличии пространственной

дисперсии имеют вид:

- і[ £ ,н ]

iu4 £+ftOB

( ІИ )

- і [k,EJ

r - iu ?juh .

(145)

Проницаемости

£(<ы)и

jb((.o) оказываются при

этом, вообще го

воря, комплексными.

Введем комплексную диэлектрическую про

ницаемость,

имеющую при

малых

частотах вид:

<т~

с о ) - L ■*

( М б )

Іа '

где £_ и

'с

статические значения диэлектрической прони

цаемости

проводимости.

При высоких частотах

диэлектрическая

проницаемость йроводящей среды - комплексная величина, зави

сящая от частоты. Ииимые части £ и р определяют диссипацию

электромагнитной энергии в среде. У хороших проводников (ме таллов)

■

Если же диалектенческан проницаемость £_ (или магнитная						н )
комплексная^	волновой вектор		к	комплексный	и его	можно
представить в	виде
	-	к	- lg ,
волновое число
	k			\>	(147)
	а	-	іп>		( и в )

есть комплексный -показатель преломления. Это соответствует

волне, распространяющейся с фазовой скоростью т=с/п . Эта

формула не дает никаких указаний на дисперсионные явления и,

следовательно,невозможно ■объяснить с ее помощью, например,

разложение света в призме. В общем случае фазовая скорость зависит от частоты, г .е . наблюдается явление дисперсии. Среды,

в которых это явление наблюдается, называются диспергирующими

или дисперсными средами. В таких		средах возможно существование
системы двух независимых волновых		процессов: поперечных и
продольных электромагнитных	волн.	Появление продольных элект
ромагнитных волн, именуемых	часто	волнами поляризации, является

специфическим эффектом, связанным с пространственной дисперсией

среды. В среде без пространственной дисперсии распространяются

только поперечные волны. Однородный диэлектрик является диспер

гирующей	средой, если	£	зависит от	частоты.Вакуум дисперсии
не имеет,	поскольку
		Тф = с -const .
Дисперсия может		быть	не только	свойством вещества, но и

систем, например линий, волноводов, в которых распространяется волна.

24. Распространение электромагнитных волн в проводниках .

■	/
Рассмотрим случай однородной неограниченной проводящей
среды:
rC= const	, JH * const , £■ oonst .

Исходными уравнениями являются первое и второе уравнения Мак

свелла ( I I I ) , которые с учетом				(66) принимают	вид:
. /	а	j		- • - *	-	- V
rotH			+ { Е «НЕ +£Е ,
го t	È	=	-	ß Н		(149)

		91

Рассмотрим их решения в виде плоских монохроматичес

ких волн (И З ):

ЕСГ.О	= Ѵ І(С° ^ Г ), H (F ,0 =Hosi(Wt- k’r)
	^	—'r	I и П уравнения
Подставляя выражения для векторов Е и		Н в	I и П уравнения
Максвелла,	получим уравнения (144) -и	(145):
	-і[ к ,н ] = 1 u J (t+		j)E,
	- l[k ,E ]	.

Сравнение (145) не отличается от соответсвующего уравнения в

•случае диэлектриков; Уравнение (144) переходит в соответствую щее уравнение для случая диэлектриков, если в нем положить

O .T.O ., случай проводящей.среды в математическом отноше нии отличается от случая диэлектрика лишь тем, что в уравне нии для проводящей среды вместо диэлектрической проницаемости

£входит комплексная диэлектрическая проницаемость (146):

ЙоВсе последующие преобразования по форме совпадают с вычисле

ниями для плоских вола в диэлектриках, если вместо действитель ной величины к употреблять комплексную величину к ш (147),

причем:

к2	2 £ ^ -U !2£р - ІЮТ/П .

Представив кш в виде комплексного числа:

ku) = к - is ,

можно предыдущее равенство переписать в следующем виде:

к2 - 2iks - з2

„Приравнивая между собой действительные и мнимые части этого уравнения, находим:

к2 - s2 =oü2£ju = а ,

2кз, = П> Т |U = Ъ

Решение этой алгебраической системы уравнений имеет вид:

к2 - \|С \ / 1 + 4	+ 1 )	» з 2 “ \|СіХ	+ ^ - 1 )	(150)
в	,	*	д>

Выражение для плоской электромагнитной волны, распростра

няющейся в положительном направлении оси				х,	имеет вид:
1= $ e1^ 4	- kxV	sx ,	н=н eiO-'t-kx)	-эх	(I5I)
О		*	О
Из соотношения	(I5I)	видно,	что амплитуда	волны уменьшается,

следовательно,в ^проводящей среде, электромагнитная волна рас

пространяется с затуханием.			На длине	пути
	А -	I	■		'(152)
амплитуда волны	затухает	в	е раз.	Величина	д называется
глубиной проникновения волны в среду.
Т.к. проводимость металлов 'Г				велика, а	величина £.^£0 ,
то для видимого	света
	n r				(ІЯ )
	t U. >		1		(ІЯ )
	t U. >		1

В этом случае при меньших частотах в формуле (І50) везде можно

пренебречь единицей по сравнению с			t / t W		.Следовательно,
глубина	проникновения	равна:
		Л	(В	А Л	(1 5 0
	А = t i L , ß \ J ß ' L ___
т .к . I	2 5Г/ЛVgyüT		V . }
		' .Величинауj u / ^		имеет размерность ома
и называется волновым сопротивлением среды.					Волновое сопро

тивление вакуума в системе единиц СИ равно 377ом (в системе СГС оно равно I) .

Развитая здесь теория применима для рассмотрения и других явлений: скин-эффект, передача электромагнитной энер

гии вдоль линий передач, распространение электромагнитных

/ ■

волн в ограниченных телах.

?5. Электромагнитные волны в волноводах и резонаторах

Обычные линии, как двухпроводные или коаксиальные,ною рыѳ широко используются для передачи длинных и -коротких волн,

совершенно непригодны для передачи волн сантиметрового диапа зона, т .е . волн СВЧ. Это обусловлено двумя причинами: I) если волны соизмеримы с расстоянием между проводами, то резко воз

растают потери из-за излучения; 2) с повышением частоты сильно возрастают тепловые потери в проводнике ввиду сильного поверх

ностного эффекта и в изоляции проводов. В этом случае необходимо передавать электромагнитную энергию по волноводам.

Распространение электромагнитных воля в волноводах су

щественно отличается от распространения неограниченных в прост

ранстве плоских	электромагнитных волн.		Поэтому вопрос о распро
странении волн	в	волноводах важен не	только с точки зрения
практической, но	и	теоретической.	/

В простейшем случае волновод представляет собой полую

металлическую трубу с неизменной по длине формой поперечного сечения, форма поперечного сечения волновода произвольная (пря

моугольная, круглая и др.). Предположим для простоты, что стенки

волновода обладают идеальной проводимостью, а сечение волновода

прямоугольное	(плоский волновод).		Пусть проводящие плоскости
будут равны:	х=о,	х=а, У=?о, у=в.	Предположим, что в волновод
(в плоскости	аяО	) поступает монохроматическая плоская волна

(143). Теория распространения волн по волноводам строится с по мощью волнового уравнения. Подставив (143) в уравнение (126),

для случая	f ( x ,y ,z ,t)	« о .получим:
^	О)2^	Ь^Е .	у,_2 0і)2.^т	Q55}
			2

Здесь к»ка ,

Е(х,у)

н -

Н(х,у)

Связь между

векторами

•—г -Г-

(ІЗІ) и (132). Подставив вы

Е и Н определяется уравнениями

ражение (143) в эти уравнения,

получим уравнения

Максвелла

в комплексной

форме:

rot É

■ -іц )в

rot

н -

ііОіГ .

(156)

Т.е.

оператор d/dt

заменяется

на i

, а точки

над векто

рами

опускаются. Т .о .,

находим:

'ЭЕ

■

g rX

ikE

o-iuio

ikkH_

s X

" ikEx

-ölT“-

* - ikHx-

5 ^

- 1

âEv

öH

s i r

З Г

" 1,£U'X *

Эти формулы позволяют выразить

компонентѣ

. Е . н . н

.через Вин

ЕХ “ Т

0Е

ÖH

ÖE х у » ПН ?

+ iu?^ 5у"^'* X

5Е_

+ ^ 53Г ) »

дв

дН_

+ ік

(157)

Еу - Г

( 1к5 Г

- іи^ ЗЗГ>

’ Н У

<и “ 5 Г

)

+ 1К З Г

где

|Г а Мк2 -fc^o)2) .

Ha поверхности

волновода

должны выполняться граничные усло

вия:

(

0 6 X

» о,если!

о !>

( - frO

< .

С О

Найдем решение уравнений (155)

в виде поперечных волн, т .е .

положим

Тогда из формул (157) ясно, что

компоненты поля равны нулю,

если

f ' і* о

. Если

' =0 ,

как

это имеет место для плоской

монохроматической волны в неограниченной среде,

то уравнения

(155) представляют собой двумерные уравнения Лапласа, един

ственными решениями

которых есть

Е=о, Н=о. Т .о ., поперечные

электромагнитные

волны не

могут

распространяться в волноводе

с идеально проводящими

стенками.

Однако в

волноводе1 возможно

образование таких волн,.которые имеют отличную от нуля компоненту поля в направлении распространения волны и назы ваются продольными (они не могут существовать в неограничен ном пространстве). Покажем это.Из формул (157) следует, что возможно:

I) Е в /	0 , Н z = 0 ;		2) Н2 /	0 , Еа = '0 ;
В первом случае магнитное поле вполне является чисто
поперечным, т.к .	Н^. / 0 и		ф 0. Электрическое		поле	имеет
продольную и две	поперечные	компоненты		. Такие	волны	на

зывают Е - или ТМ - волнами или поперечно-магнитного типа.

Во втором случае электрическое поле волны имеет по

перечный характер и волны называются Н - или ТЕ -					волнами
или поперечно-электрического типа.
Решениями уравнений (155) являются выражения:
Еа«	А	sin(kxx)sin(kyy)ei ^tü ь - kzz^	(Е	-	волны)
На»	В	oos(kxx)cos(kyy)e1(^a'	(Н	-	волны /15^

где кх	» ку	’ 3Аесь ш и	п - целые числа. Су
перпозиция этих волн и		представляет поле в волноводе.
В волноводе'имеет		место дисперсия,	т.к. .волна в волно
воде распространяется в результате многократного отражения
от стенок	волновода.
По волноводу могут		распространяться	лишь волны, длины

которых меньше некоторой максимальной длины. Это максимально допустимая длина волны по порядку величина равняется попе речному сечению волновода. Поэтому волноводы получили боль шое применение в устройствах ультракоротких волн для передачи

электромагнитной энергии от генератора	электромагнитных волн
к излучающему устройству.	1

Исследуем собственные колебания в объемном резонаторе

(эндовибраторе). Объемном резонатором называют часть простран

ства, ограниченную стенкой.		В таком объеме могут	происходить
электромагнитные	колебания.
Рассмотрим	простейший прямоугольный резонатор. Предпо
ложим, что стенки	резонатора	обладают идеальной	проводимостью
и внутри вакуум.	Значит потерь в резонаторе нет		и каждое из

собственных колебаний будет незатухающим. Исследуем собствен ное колебание в резонаторе, размеры' которого:

о ь х ^ а , о = у ■ в , o ^ z < » l .

Электрическое поле на стенках резонатора должно удовлетворять граничным условиям:

Е = Е = о , х = о , х = а ,

у z ’ ’ ’

Ex=Ez= о , у = о, у - b

Е =Е = о	,	= 1
X у	’

Решая уравнения (155) методом разделения переменных, получаем:

Вх	.	А oos™^3lna ä islnE ^			,
Еу	“ В s i n ^ c o s S ^ s l n ^				,
Ez	=	с зіпШМ31пп \|і С03Ы 2			^
^	=	f '31п ^ о о з ф с о з ^ ( а с -				f B ) ,	(159)
нѵ = M ° ü o s S f s l n ! ¥				co3Er ( i■A ^			C
нѵ = M ° ü o s S f s l n ! ¥				co3Er ( i■A ^
где А, Вг. С -	комплексные постоянные;ш>п,р					- целые	числа.
Т.О ., для каждой тройки чисел ш,п,фолучаем некоторое
решение уравнений		поля,	т .е . каждой тройке			чисел соответствует
собственное колебание,			имеющее	собственную частоту
				I F
		£ = ~ ^ l ( f ) + (£> +

Вследствие потерь .энергии в стенках	или в веществе,
заполняющем резонатор, а также излучения	энергии во	внешнее
пространство, свободные колебания реальных резонаторов яв
ляются затухающими.		,
На практике объемные резонаторы используются в боль
шинстве случаев для получения вынужденных колебаний.
Мы исследуем решения уравнений Максвелла в виде		плоской

монохроматической волны, которая представляет собой матема

тическую идеализацию. Она бесконечная во времени и неограни ченная^ пространстве, и не применима для передачи сигналов

(т.к.изотропна в пространстве и во времени). Реальная волна никогда1не является монохроматической, а для передачи ин-

формации необходим спектр частот, поэтому практически мы

всегда имеем дело с совокупностью (цугом) волн, которая монет

быть представлена как наложение ряда монохроматических волн,

ДЛИНЫ КОТириХ г.іаЛ О ОТЛЛЧЭЮТСЯ Дру 1' ОТ други. !

26. Законы отражения и преломления электромагнитных волн.

Самым большим достижением теории Максвелла является открытие связи между оптикой и электродинамикой, что позволило ей объяснить большой круг оптических явлений. Получим, например,

законы	отражения и преломления света. Эта	задача	, решается с
помощью граничных условий (23-25) и (81-82). Для			этого	рас
смотрим	две среды, границей раздела которых является			плос
кость ху. Первая среда характеризуется		параметрами ti»/1!» ГС'1

Для простоты будем считать, что плоская волна, падающая наѵ границу раздела, является монохроматической волной. На грани це эта волна частично отразится в первую среду, а частично преломится и пройдет во вторую. Обозначим величины, отно сящиеся к падающей волне, индексом I, к отраженной - 2, к

Преломленной - 3. Индекс о будем добавлять для обозначения амплитуд волн. Т ;о ., для напряженностей электрического поля имеем следующие выражения:

				Б. в1^ * -	,
				ь'2У ^ г * - ^	f	(160)
Напряженности магнитного поля имеют аналогичный вид.
	Граничное условие (25) записывается в рассматриваемом
случае	в	виде:
		- fl?;+B 2otelfÖ 2t " ? 2? ;= E 3ot0 l^ 3~ Й% 6 1 )
Здесь	"?	- радиус- - вектор точки поверхности раздела. Ис
пользуя это граничное условие, можно получить ряд соотно
шений между параметрами падающей, отраженной и преломленной
волн:
	I .	Покажем, что при отражении и преломлении частота
волны не		изменяется.		Для этого продифференцируем обе		части
равенства		( І 6І)	по t	и заменим тангенциальную составляю
щую преломленной			волны ее выражением из (I6I ) .		Получим:

Это равенство выполняется тождественно для	всех значений
t , но при условии:	'
OÖ1 —LO 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ