книги из ГПНТБ / Акулич, В. К. Зубчатые передачи текст лекций по разделу курса теории механизмов и машин для студентов-заочников машиностроит. специальностей

Г л а в а 3 . СИНТЕЗ ПЛОСКИХ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ

§6 . Основная теорема зацепления (Теорема Виллиса)

Те о р е м а. "Нормаль в точке соприкосновения эле­

ментов звеньев, образующих высшую пару качения и скольжа-» ния. делит межосевое расстояние на части, обратно пропор­ циональные угловым скоростям".

Для доказательства теоремы рассмотрим произвольную точку касания "К " сопряженных профилей ск. —сС и J$ -J&

( рис. 17) . Через точку "К " проведем общую нормаль к сопря­ женным профилям п. - п. и общую касательную “С - Т

Точку "К" можно рассматривать, как две слитных точки — и К ^. Скорости этих точек можно найти из зависимостей:

V, 0К( 10,к) ;

Каждую из этих скоростей разложим на нормальную и каса­ тельную составляющие:

Непременным условием ^ушесгвования зацепления является равенство нормальных составляющих скоростей, т.к . только в этом случае будет обеспечен непрерывность контакта,

либо внедряться друг в друга. Из выполненных на рис.17 Построений определим нормальные составляющие скоростей.

Рассмотрим для этого дЬе Пары прямоугольных треугольник Ков: '

31

Из подобия треугольников следует, что;

части, обратно пропорциональные угловым скоростям* явля­ ется мгновенным центром вращения В относительном движе­ нии звеньев 1 и 2 и в теории заЦепйения называется п о ­

л ю с о м з а ц е п л е н и я . Молюс зацепления опреде­ ляет радиусы—векторы Центроид й относительном движении

зацепления является неподвижной .точкой,-а центроиды пред­ ставляют собой окружности, называемые Начальными. При передаче вращения начальные окружности перекатываются друг по другу без скоЛЬжёНйй,' все время касаясь в полюсе

33

-зЬ

■ f

Радиус-вектор ОУ произвольной точки ' У ' эвольвенты равен:

Г*.

Углом профиля эвольвенты в данной точкв называется острый угол между касгтельнрй к эвольвенте и радиусомвектором, проведенным в данвую точку.

^Из условия образования эвольвенты следует, что

С С = УС . С ppyroPi сторокы:

Приравняв правые части, получим:

*

Откуда:

в точке 'у*'. Уравнений (а) й. ( б ), рассматриваемые совме-'

■« 36 ••

Эвольвента является разверткой, основной окружности.

Из условия образования эвольвенты вытекают следующие

еесвойства.

1. Эвольвента начинается на основной окружности (в точке Cq) , где она сопрягается с радиусом. В другую сторо­ ну эвольвента безгранична. Эвольвента имеет правую и левую

ветви (С Э ^ й С д Э ^ ), 2 . Йормаль к эвольвенте, проведенная в любой ее точ­

ке, является касательной к основной окружности, причем точка касания есть центр кривизны, а расстояние по нормаль

отстоящими) , Расстояние межйу ними по нормали равно ду­ ге основной окружности, заключенной Ыёжду началами эволь­

леса очерчен по некоторой кривой Пл. Допустим-, что профи­ ли касаются в произвольной точке *КГ (рйс.3.9). Нетрудно

- »7 - -

38

Св о й с т в о 2 . Звольвентное зацепление обеспе­ чивает передачу вращения с постоянным передаточным отно­ шением. Это свойство вытекает из того, что общая нор­ маль к сопряженным профилям является касательной к обеил/ основным окружностям и прохбдит через полюс ' Р ', зани­ мающий постоянное положение на межосевой линии.

Св о й с т в о 3 . В эвольвентном зацеплении линией

сительно неподвижного звена зубчатой передачи. Поскольку эвольвента — кривая, ограниченная с одной

стороны, и точка контакта 'К ' перемешается по эвольвенте, то касание ..друх эвольвентнь!х профилей возможно на участке N , N ^ . За пределами этого участка основная теорема зацепления не выполняется И правильность зацепления нару­

шается. За предельными точками линии зацепления ( N ^ и N1,, ) профили парных зубьев пересекаются и возникает явление интерференций (см . § 1 2 ) . Прямолинейность линии

зацепления обусловливает постоянное направление давления

саются только на этом участие, причем контактируют друг

с другом части профилей . б.( и ^ i называемые активными профилями. Верхние точки активных профилей е^ и е2 лежат на окружностях вершйн зубьев, а нижние, точки

^и f £ получаются при пересечении профилейокруж­

зом, у ведущего колеса точка контакта перемещается от основания к вершине зуба, а у ведомого, наоборот, от вер­ шины к основанию.

С в о й с т в о 4 . Эвольвентное зацепление характеризуется постоянством угла зацепления. Углом зацепле­ ния называется угол { оС ^ ’) между линией зацепления и перпендикуляром к межосевой линий. Угол зацепления равен

эвольвентном зацеплении перемещается по линии зацепления с постоянной скоростью. Из теоремы Виллиса следует, что нормальные составляющие окружных скоростей точек контак­ та обоих 'профилей должны быть равны между собою, т.е .

стояний В эвольйентИоМ зацеплении Передаточное отношение

Следовательно, ПередатойНОё ЬТношекИе мЬЖНо выразить, как

ts 4* i i

Ы

Так как осйоВНЫе радиусы Г» ^ И являются • постоянными для ДайнЫк кЬлес (их Величины определяются