книги из ГПНТБ / Кирпатовский, С. И. Периодические процессы в нелинейных цепях учеб. пособие

-4 1 -

Код упоминалось в начале данного параграфа, кроме группы итераци­ онных методов существует нѳсволько отянчеющаяся от нее группа методси минимиаации, для которой характерно наложение условий минимизации нексторой функции невязок функции цели. Например, применяют условие Г аусса

нимизирующей функцией). Наилучшую сходимость процесса минимизации (не­ избежную для линейных систем) обеспечивает функция первого вида, а наихудшув - третьего вида. Несмотря на ѳ то , вторую и третью также применя­ ют в отдельных случаях, когда их простота оказывается выгодной.

Дадим представление о процедуре минимизации на примере решение, уравнений узловых напряжений:

д Ufr + 6 U3S - д , Ею ~ 6 іЕ/3 ~Qz Ezc ~3Z E2s - О ,

öU ic-gU is* 6,Е,с - д! Efs +ЗгЕ2сQzEzs = <?.

- 42 -

Конечно,выполнение описанной процедуры минимизации, как и ранее описанных процедур итерации, лучше возложить на ѲЦШ . Для не самых простых вадач это неизбежно.

10. О РАСЧЁТЕ БНЭЦ, НЕПРИВОДИМОЙ К ЭЛЕМЕНТАРНОЙ

задач;

Эта задача трудней, и подчас значительно, чем аналогичная задача расчета ИНЭЦ. В зависимости от условий задачи (степени ее нелинейности, числа НЗ) и от требуемой точности может оказаться целесообразным при­ менение методов различной сложности и громоздкости. Приведем некоторые рекомендации:

а) Метод' ѳквивалѳнтных синусоид целесообразно применять, когда нелинейность слабая , а высшіе гармоники не имеют принципиального зна­ чения для действия рассчитываемого устройства. Такой подход применяет­ с я , в частности , в цепям, содержащим слабо насыщенные стальные сердеч­ ники (дроссели , трансформаторы, иногда влѳвтрическиѳ машины). Пример применения приведен в п . 11 .

б) Методы малого параметра применимы к цепям со слабой нелиней­ ностью. Для периодических процессов ив втой группы применяется метод вовиущѳний [ 3 , 4 , 1 0 ].

в) Метод гармонического анализа более точен и предложен для цепей с умеренной нѳдинѳйноотью, т .ѳ . для цепей не содержащих НЗ с резкими изломами характеристики: ключевых схем (диодов, триггеров, р ел е ), маг­ нитных влѳмѳнтов (фѳрросердечннков) с прямоугольной характеристикой, сначала выполняется расчет по первой гармонике, что повводяѳт затем провести расчет по высшим вармоняхам. Для выполнения расчетов необхо­

гая гармоническими "характеристиками всех НЭ для первых гармоник, можно провести расчет по первой гармонике полностью аналогично расчету ИНЭЦ, изложенному в п . 8 ,9 . Второй этап заключается в расчете цепи по высшим гармоникам, выполняется в соответствии с [ 7 ] и изложен в п . 14. В от­

фективен для расчетов переходных процессов, но для периодических про­ цессов применение часто встречает затруднения. Вопросы применения раз­ работаны в [12З . Элементарные примеры приведены в п . 13.

ѳ) Графо-аналитические методы иногда позволяют существенно упрос­ тить исследование и расчет НЭЦ. Среди них следует назвать фундаменталь­ ный метод фазовой плоскости [1 5 , Ю З и частный метод Волынкина [ 3 , 4 3 .

ж) Методы частного значения применяются каждый для какого-нибудь увкого класса задач. Примером такого метода является изложенный в п .12 "Метод условной линеаризации".

Время, отводимое для изучения данного раздела, позволяет изложить вдѳсь лишь некоторые ив названных методов, отобрав наиболее употреби­ тельные и доступные для учащихся.

11. РАСЧЕТ НЭЦ, СОДЕРШ Щ ШБОНАСЩЕНШЕ РЕАШИВНЫЕ КАТУШКИ И ТРАМОВІАТОРЫ

Поставленная задача наиболее просто (хотя довольно грубо) решает­ ся с помощью метода эквивалентных синусоид, упомянутого в пункте а) предыдущего параграфа. Дадим предварительную характеристику втому ме­ тоду.

Расчет НЭЦ практически всегда выполняется с погрешностями, обуслов­ ленными принятыми допущениями, облегчающими расчет. Это так называе­ мые погрешности метода, кроме которых всегда возникают погрешности собственно вычислительных операций. Последние принципиально могут быть сделаны как угодно малыми, но методические - могут быть весьма значи­ тельными, о чем иногда приходится мириться, ибо каждое последующее

-44 -

1точнеиие достигается иного более дорогой ценой, чем предыдущее. Поэтолироко црмнѳняются в грубые расчеты, кажущиеся мало обоснованными.

устройства. Он основывается на расчетной замене несинусоидального пе­

Практически вто означает, что генерирование высших гармоник нелинейными элементами учитывается косвенно и весьма приближенно, а формально рас­ чет ведется теми же методами, которые применяются для расчета ИНЭЦ.

Вподце целесообразно применение метода эквивалентных синусоид к БНЭЦ со слабой нелинейностью, в частности к НЭЦ, содержащим слабо насыщенные реактивные катушки и трансформаторы*! Чем слабей насыщение, тем более точные результаты дает метод эквивалентных синусоид.

В цепь, содержащую реактивную катушку или трансформатор, нелиней­ ность вносит фѳрросѳрцѳчник. Поэтому основная цель заключается в пост­ роении характеристик эквивалентной нелинейной электрической схемы (сх е ­ мы замещения), приближенно описывающей энергетический процесс в фѳрросѳрдечникѳ. Располагая такой характеристикой для действующих значений,

Именно такой подход повводил построить классические теории трансформаторов и ѳлѳктричѳских машин переменного тока.

- 45 -

ки lg (b~o),lt (Ub а ватем I 0Wo) , гд a I0 = j Ід ± і\ . Для ѳѳ решения необходимо располагать данными об энергетических прѳобрааованиях в ма­

Учтем известные свяви:

*■

ü0ЧКф$- wSßm= üßm'

где У - вес сердечника рассчитываемой катушки (трансформатора);

у- угол потерь в сердечнике;

Iâ-Q'(U,>%a- I e(V.)

могут быть построены по точкам, для чего надо аадаться последователь­

Ыа рис. 26 покавана цепь, состоящая ив эквивалентной схемы транс­ форматора с нагрувкой. Нетрудно видеть, что эта цепь удовлетворяет сформулированным в п . 7 условиям и может быть рассчитана по методике, изложенной в п . 8 . В случае НЦ большей сложности, т .ѳ . содержащей бо­

лее одного эквивалентного источника или более одной определяющей вели­ чины ( Э>1,5>1 ) , расчет может быть выполнен ооглаоно п . 9 .

-47 -

12 . МЕТОД УСЛОВНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Применение этого метода покажем ва характерном примере цепи, представленной на рис. 27 и описываемой нелинейным дифференциальным уравнением: ^

- 48 -

ограничимся вависимостью t —Ot(p=--j— ф , т .к . коэффициент О/ имеет смысл и размерность, обратные статической индуктивности. Получаем урав­

где у* - угол сдвига фею мѳаду W и U . Потокосцѳплениѳ будет ивнѳнятьоя во времени синусоидально:

5P ( t ) = V T Jfr-s tn (o jt-y L) i

а ток, найденный по зависимости

i(t)= O t< p (t) + Q3 (p3(i)+ Os (ps( t ) ,

будет содержать первую, третью и пятую гармоники, в чем нетрудно убе­ диться, выполнив подстановку и преобразования подобные тем, что пока­

так как коэффициент 6Г= имеет смысл и размерность динамической индуктивности. При зтом уравнение цепи, линейно относительно тока

U sin ult,

втом можно воспользоваться методом возмущений, в котором расчет ведет­ ся с учетом не только линейного члена, но и членов более высоких сте ■ пеней.

13. О ПРИМЕНЕНИИ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ (МЕТОД ПРИПАСОШВАНИЯ)

Использование кусочно-линейной аппроксимации позволяет заменить нелинейное уравнение цепи (а в случав системы нелинейных уравнений - каждое ив уравнений) сиотѳмой линейных уравнений, каждое из которых описывает процесс лишь на одном линейном отрезке (куске) характеристи­ ки. Написать эти уравнения и вид их решения легко , но обычно оывает трудно выполнить сопряжение этих решений на краях соседних участков, удовлетворяющие условиям задачи, в частности законам коммутации. Эта

ва: дает решение в аналитической форме и , главное, позволяет исследо­