Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кирпатовский, С. И. Периодические процессы в нелинейных цепях учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

- 30 -

и сравниваем

U <K)

где

Ѵ ™ ~ Ѵ а 1«

следую

что позволяет

цѳлеоообравно задаться

щим приближением

U//'

(больше или меньше прѳдвдущего) и повторить

расчет

по п .

(б) и ( в );

расчетов

величин данного

приближения изображаем точ

г)

результат

кой на плоскости, где по оси абсцисс откладываются значения задающей

величины, а по оси ординат - значения величины,

которая

приравнивает

ся заданной в

условии.

В нашем примере результат расчета

каждого при

ближения изображается

точкой

в плоскости

U(Uti)

На рис.

2 0,6

видно',

что расчет по нулевому приближению (точка "0" с

координатами

U//. U

)

прѳвооходит

заданное

напряжение

Расчет первого

приближения

(К

“

дал

точку

"1"

координатами

І7г/

V й'

Расчет трех-четырех

приближений

позволяет

построить

участок

кривой

V(ULi)

области,

прилегающей

U},

и найти

значение напряжения

U/s

Цгз

соответствую

щее заданному напряжению

. Но пока нѳиввестны

истинные

значения

модулей других

величин

{ I,

Іг ,

,[/,) в

углы сдвига

между ними.

Поэтому расчет продолжается по следующему пункту;

значения

иг. /

д)

повторением расчетов

по

пов. (б)

и ( в ) ,

начиная от

I/а

находим

истинные значения модулей

всех величин, харак

теризующих режим цепи

и фазовых углов между ними.

Как результат

будут

найдены следующие

величины:

т Г ^ І г е ^ ; / / л,= 7г Ѵ у / ;’

с“ II

Ü (n)= и-ѳ/ѵ‘а\

где бее верхнего индекса записаны значения модулей					величин, соответ
ствующие веданному значению приложенного напряжения						Uj	. На этом р ас
чет модулей оканчивается. Однако начальная фаза напряжения на всей
цепи	<p,n)f	, что является следствием	проиввольного				выбора направ
ления оси действительных величин в начале			расчета	іг		-го приближения.
Необходимо найти значения начальных фаз			всех величин,				соответствующие
начальной фазе		приложенного напряжения	;

- 31 -

ѳ) определяем действительное значение начальных фаз внесением поправки на фазу

ü p = P è ~ p (n)

во все вычисленные величины. При атом очевидно:

<pzs = &</>'•	V = f (n) + й<р = !>} '■		рі= р,(п)+ й р ;
- f j n>+ Д р ;		л р ;	и т .д .
Эта операция соответствует		размещению оси вещественных под углом р^
я напряжению, заданному	в	условии задачи.

Изложенный ѳдѳсь численный способ расчета оказывается наиболее эффективным, поэтому другие формы расчета здесь не показаны. В прин ципе, расчет талой цепи может быть выполнен также в численной форме

способом	итерации [ 5 ] , в численно-графической форме	Ц11І	способом
сложения характеристик НЭ и ,наконец ,в аналитической		форме	с предвари
тельной	аппроксимацией характеристик НЭ.

При пользовании методикой необходимо иметь в виду возможность не однозначного характера зависимости величины, сравниваемой с заданной, от определяющей величины. Эта зависимость может иметь ѳкстоемѵмы. В рассмотренном нами примере могла оказаться неоднозначной зависимость

и (Uz
)і .	О РАСЧЕТЕ ИНЦ,		НЕПРИВОДИМОМ К ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЗАДАЧЕ
9 .							о
Расчет	ИНЦ резко	усложняется		как с	увеличением числа	н е с
к р а т и м ы х определяющих величин,					так и с увеличением числа з			к -
в и в а л ѳ н т н ы х		источников.		Примеры таких цепей представлены
на рис. 21 а , в , г , д , а		на р и с.	21, 6	покавана для сравнения		цепь,	расчет

которой приводится к элементарной задаче в результате преобразования . треугольника линейных сопротивлений в звезд у , показанную на рис. 2 1,6 пунктиром. Для цепи (д), очевидно,возможно линейное преобразование, приводящее эту цепь к схеме цепи ( в ) .

Расчет любой из зтих цепей, ва исключением представленной на рис. 2 1 , 6 , не может быть выполнен по описанной в п .Ѳ методике. Для

	- 32	-
Q.	5.	6

юс расчета необходимо применять метод последовательных приближений в форме итерационного процесса или в форме минимизации нѳвявок. Крат

ко напомним сущность и особенность итерационного способа решения урав нений, излагаемого в курсах вычислительной математики (приближенных вычислениях), например [ 8 ] .

Пусть дано	уравнение	4 1 х)=0 .
Представим	его в форме, пригодной для итераций:
	x + -f(x)-x = 0 ,		x= (f(x),

где <f(x) = x + ffx ) .

Пусть I Х ^ = Оо есть грубое аначѳНиѳ корня, а х ">=о/,і х (=(Уі і...іХ%л- последующие приближения его еначѳния. Тогда можно составить последо вательность чисел:

- 33 -

а,

(f(a0)

ог

(f(a,) ;

;

Если

Qfn стремится

ün = (p(а,,-f) ■

то

этот предел

удовлет

к пределу

при п + со ,

воряет равенству:

а п

„);

а=рСаа) = Lim а„=

короче,

, т .е .

Ltm(p(an-t)=y(lirna„-,)= ср(Uma

предел

будет корнем уравнения. а„ , а,

Е с л и

п р е д е л

с у щ е с т в у е т ,

то числа

• • • ,

Оп

являются

приближенными вначѳниями

корня, стремящимися

к его

точному ѳначѳнию

при

. В этом

случае итерации

сходятся.

Основная неприятная особенность способа состоит в том, что итерацион ный процесс может быть расходящимся или медленно сходящимся. Сущест вуют приемы для обеспечения сходимости итераций или для улучшения сходимости. Этой проблеме посвящена обширная литература (например, В , 1 7 ]) . Здесь мы лишь дадим начальное представление о причине рас

ходимости и об изменении схемы итерационного процесса с целью обеспе чения сходимости. Обратимся к графической импострации описанного вы


ше итерационного процесса. На рис.				2 2 ,а	построены зависимости
и	уг(х)	, Ха на рис. 2 2 ,6		и	у,_(х.)	.	Очевидно, корень
уравнения		=у(х)	находится в точка пересечения				графиков этих зави
уравнения			находится в точка пересечения				графиков этих зави

симостей. Ход итерационного процесса наглядно представлен пунктирными прямыми перехода от предшествующего приближенного значения корня к


последующему.			видно, что для функции				вида	Уа(х)	итерации схо
	Из	рисунков
д ятся ,		а для функции вида		Уі(х)		- расходятся. Доказано (например,
[в]),	что условие		сходимости		выражается		неравенством:		\у>'(х)	І < /

во б л а с т и к о р н я . Воспользоваться зтим неравенством

иногда затруднительно, так как о б л а с т ь к о р н я эаранѳе неизвестна (корень еще предстоит найти). Если обнаружена расходимость итераций, то чтобы обеспечить сходимость,принимают в качестве неиз вестного другую переменную. В электротехнических вадачах ето означает, что если итерации для нахождения тока (напряжения) расходятся, то следует перейти к отысканию напряжения (т о к а ). При таком приеме зам ѳ-

- 34 -


нн переменных,		навиваемом изменением схемы итераций, функция				f (я)
наменяет	овой	неблагоприятный вид		У>і(х)	на благоприятный вид		Уа (х).
Иввѳстно	(например, [ 5 ] ) ,		что в качестве искомого следует принимать
ту величину (например,ток			или напряжение),		к оси которой ивгибаѳтоя
характеристика. Очевидно,			в цепи с одним НВ, с монотонной характерис

тикой, имеющей постоянный знак кривизны, вопрос обеспечения сходимос

ти решается	просто, но все усложняется	для Ш с немонотонной характе
ристикой иди	при наличии нѳокольких НВ	с характеристиками	р а з
л и ч н ы х	типов. Здесь приходится искать подходящую схему итераци
онного процесса, иногда прибегая к комбинированным системам			искомых

(часть токов, часть напряжений), для чего необходим опыт и индукция. Некоторое представление об атом будет дано при рассмотрении примера.

Заметим, что разработаны различные виды итерационного метода: простая итерация, итерация по Зѳйделю, итерация по методу Ньютока, метод наискорѳйшѳго спуска [ 8 , 5 , 1 7 ].

При расчете сложных НЗЦ часто прибегают к итерации по Ньютону или по способу наискорѳйшѳго сп уск а , несмотря на большую сложность

этих	способов , что объясняется лучшей сходимостью (почти неизбежной
для НЗЦ и неизбежной для ЛВЦ).
рио.	Покажем применение способа простой итерации на примере цепи
рио.	2 1 ,6 , причем сначала воспользуемся методикой, разработанной в
[1 8 ] .	Составим уравнение по методу контурных токов:

- 35 -

(2.t

)І т+o?j Іл

È , ,

и запишем их

решение

^ з'іі

èz ,

äfi-Ä

О25

В2 — Ytf É j + Ytz Ёг г

(

£z) (£z+ä-i)-3f Е,+ (Л, -і-ЗзУСЛі+Лз)-^

jLf +£&

І Ш-

(a,i-3z) (Si+Z^-З І

(3-1+£з)(£2.+£з) -£ з'Â

Yzt È/'V Yzz'Ëz

которых

вое

коэффициенты являются функциями соответетвующих_тонов.

Зададимся

нулевыми приближениями модулей всех

сопротивлений

-2°

(

“

1 ,

2 , 3)

И8

уътъъв.З.смин^£і

3-іыаксI

определяемого

с помощью

& мин

рио.

2 3 ,а через углы

<Умакс

как

^ Tnz bgoC

Можно,

например, взять

3.L'0,= тп£■tcj(9І.'И,±?.

ыок$ ^ .

Принятые імодули

0? £ г”)

определяют

соответствующие

нулевые

приближения токов

[°}

, а

по

ним

также нулевые

приближения фаз сопротивлений

У /а>

(р и с. 2 3 ,6 ) .

Затем,	подставляя	в выражения для токов	контуров,	находим их
нулевые	приближения	и j / ° ) , которые	позволяют	вычислить
первое	приближение токов	ветвей. Последние позволяют найти первые

« ^ 3

uJ3, ,l*

3 (*)

- J,f (*>. -

-J‘ з3

Изложенный выше метод имеет ту ценную особенность, что для на чальных фае неизвестных величин берутся не произвольные значения, а довольно жестко определяемые их модулями, поскольку вычисления ведут ся черев комплексы сопротивлений. По меньшей мере, метод поаводяѳт на первом-втором шаге найти начальные приближения величин, в каждой ив которых фаза хорошо согласована с модулем. Метод предназначен для ручного сч е т а , а вычисления коэффициентов А или У требует немалой работы, что является недостатком. Для ручного счета может оказаться

целесообразней комбинированный способ, состоящий в следующем. Получив одно-два приближения по ранее описанному способу, продолжить далее

s l *

Er U/*= и } * - ~ і ,(л-

приближения комплексов			всех	- 36 -
приближения комплексов			всех	сопротивлений. Далее циклы повторяются
в соответствии	оо	следующими итерационными формулами:
				\7(к)
тС*1) _	у (*). р л. у			р
JД	'г/	г /	'2	Ёг , где

до надлежащего сближения значений искомых величин.

Если процесс окажется расходящимся, что легко заметить, то сле дует изменить схему итерации, перейдя к процедуре нахождения напряже ний. С этой целы) придется составить уравнение цепи по методу угло вых напряжений и , решив е г о , записать в итерационной форме:

			(к) ТгМ р ,	j		^j (k) г-
-L	+ -L	+ .L			(K)’оСЗ		"'	Eg (к)		*
			3,м-Щ к)+J £Г/ 7'cZ./					!£}	г - И ,
оГ/	7 ^ К 5 М		£ ? -л2°+ Ц				(*•?г—г

	« г	оГз	кроме написанного			итерационного
Для процедуры вычислений,
необходимы	еще следующие		операции:

г л Г"

-E '+ A z -E f

уравнения,

- 37 -

итерацию по схем е, на требующей громоздких исчислений. Для метода узловых напряжений:

г _	тт	^ Г / ^ )			Т	X	4- М	■ (к)	■ (и)
С/	из	~ U			J-!					%(к*1].
Ёг-Ѵ3(А- и ^ І г М
Для метода контурных токов:					_____	тт(^	. тСк) _ Z (к)		т(К+0
т(«('АІ')		7'т7 /f*)аі_		с		иі(0	13//>	±2	i ,
1,		Ui		t ,	= _
±Zf <"*>		/UZт іЧ .	c-			/■Us(2j/ ""	f13(2)w -	Лr /^ ; =	lzf («")
				C z
Изложенные в данном параграфе разновидности метода итерации, как
и методика, изложенная в			п ,8 ,		полезны для изучения НЭЦ и для выполне
ния ручных расчетов,		но не		подготовлены для ввода ЦВМ, поскольку з а

писаны в форме комплексных чисел. Для ввода в ЦШ задачу надо запи


сать в форме	в	е щ е с т в е н н ы х		чисел. Дадим представление об
этом на примере		рассмотренной нами цепи		по рис. 2 1 ,в .
Нак известно,			одно комплексное уравнение эквивалентно двум ве
щественным.	Поэтому		уравнение

Uo+j Us = (r+jx) (Ic + jls)= rlo - x l s + j( x lc + rls)

эквивалентно двум вещественным:

Uc	ГІС- X j c	и			Us Х І С + r J s ,
где индексом "с "	отмечены косинусные			составляющие (проекции на ось
вещественных величин), а индексом			"S	"	- синусные составляющие (про
екции на ось мнимых). Ниже записаны в					такой форме уравнения по мето
д у контурных токов для цепи рис.		21, в»
he ( Гі + П) - I /s (Х/+ Х3) + I Zc т3 - I 2Sх 3 - Е/с = О ;
І /с	(x,+x3)+Ils(r,+ r3)+ IZcx3+ IZsr3 - E ,s —0\
I to r3- I isx 3 +12c (rz-b П)-1ZS(XZ+X3) - EZc						= 0 ;
he x3i-I1S r3 +IZc(xz+Xj) + IZS ( 7J+ r3)-Ezs						= o

- З а

кроме зтюс уравнений, используемых в качестве итерационных, необхо дима еще следующие уравнения и связи:

І іс + І 2 с ~ ^5с	;	I IS + ^2S I ;
r , ( I , ) - r , ( y &	l f s )-,	X , (I ,);
rz(lz>rz ( y % JT [ s);		X z ( l z ) ,

X s t f i ) .

К итерационным вещественным уравнениям непосредственно применимы ме тоды вычислительной математики. Здесь имеем четыре вещественных неиз вестных и зависимые от них параметры. Применяя итерацию по всем пере менным (обычный метод решения), зададимся нулевыми значениями пара метров ö?t-/и>, как показано ранее, и вычислим по уравнениям первые приближения токов. Найдем соответствующие им первые приближения пара метров Э.['\ подставим совместно с первым приближением токов в ите рационные уравнения и получим в правой части вместо нулевой нѳвявки

£f'\

£г('\

£^\

£%К Нѳвявки совместно с первыми приближениями токов

дадут

возможность найти

и вторые

приближения токов. Циклы вычислений

повторяются.

Процедура итерации

всегда ведется

согласно

матричной

формуле.

Zlx+D

- и ,

(п

/ (к)

и,

и (х)

у щ

где

- матрицы-столбцы искомых величин;

У>(*)

- матрица-столбец нѳвявок;

числовой

множитель;

С о )

квадратная матрица.

только различным вы

Различные способы итерации формально

отличаются

бором числового

множителя

>(сс)

У о )

. Способу простой ите

хС о—)Уи матрицн

рации согласно уравнению

У »

(ом

£.

начало данного параграфа)

соответствует С о и) »

1 ;

где

- единичная матрица. Для

нашего примера

4 .

метода

о п р е д е л я ю щ и х

в е л и

ч и н

Применение

позволяет

упростить вычисление за счет меньшего числа итераци

онных уравнений

и чѳвязок.

В данном примере

примем в качестве задаю-

-	39 -
щих величин to sh I t * и I/s^ .	Вычислим К -ыѳ приближения значений

воех параметров цепи, используя характеристики НВ и оледушцие равенст ва и свнвн:

J ) ЕгС-ГЛс+Х'і^іГ; ІІС-1/С=І£С Г,

•

I is

Е /$-Х /І/с~ r ,Its=

Tss-F/s = Izs

UIfci

и всех

параметров

Подставим числовые

значения

итерационные уравнения.

На первых двух уравнений, полагая

£,

•

сГ2 - 0 ,

вычислим

I zg

Izs

£•

Подставив

их анячѳния в

последние два

уравнения, вычислим невявки

и £ у .

С цельо улучшения оходимооти

применим для итерации опоооб наиоворѳйвего сцуока (споооб транспониро ванного Якобиана) [8 , 1 7 ], который приводит к сдедущим уравнениям

4.			( X * t )
	h	e	I ,с
	I t	s	I ,S

d£s	d£v	(«)
dh c	d h c	(«)
dh c	d h c	£і_
d £3	d£4	£ у
dlfs	âl/s


ниже	а вписанным компактней		1,<К*0= і / ^ -С (к, ^ск) -6(г)	.	Здѳоь	ве
щественный множитель		См	определяется в результате скалярного			умно
жения многомерных (в данном случае двухмерных) векторов					(матриц-столб
цов)	оогласнс следующей формуле:

лбм-У и -У и г е м

(к) У $-У <*-б'а-У & -У ,4 -6 м

где в свою ' очередь		д б з	д £ з
6(к) =		d h c	â h s
6(к) =		д І 7 \	д £ ч
		д І 7 \	д £ ч
и через 7 обозначен	якобиан,	d h c	a i f s
			(X)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ