Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кильдишев, Г. С. Анализ временных рядов и прогнозирование

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>


mix	наблюдений .		Следует			т а к ж е	заметить,		что	неболь
шие	изменения		а	мало		сказываются		на	результатах
прогноза.
Точного		метода		для	выбора		оптимальной			величины
параметра		сглаживания			а	пока	нет. В	отдельных случа
ях Б р а у н предлагает определять							величину		а исходя из

длины интервала сглаживания . П р и этом а вычисляется

из	формулы
где	/и — число	наблюдений,	входящих в интервал сгла
ж и в а н и я .			С
	Оценим суммарный вес		С	последних, m	наблюдений
при	параметре	сглаживания,		определенном	по	формуле
(4. 4. 1). Формулу (4. 4. 1)			нетрудно привести			к виду

Тогда суммарный вес С равен:

Отсюда около 87%		веса при	10 придается	послед
ним наблюдениям .
Грюнвальд величину а связывает со значением
автокорреляционной функции			прогнозируемого	процес
са [44]. В экономических приложениях проведение					слож
ного корреляционного		анализа	временных рядов		(осо
бенно	при наличии	малого числа наблюдений)			часто
весьма	затруднительно. Поэтому д л я нахождения				зна

чения а используют различные эмпирические процедуры.

Например,		Селиванов		и К л е а н д р о в [23]		предлагают
весь временной р я д делить				на две части: по первой			части
д л я	различных	а	строится	модель	прогноза	и	осуще
ствляется прогноз			на период, соответствующий				длине
второй части. Д л я			всех взятых а по второй части				нахо
дятся	отклонения		прогнозируемых		значений	временного
р я д а	от фактических уровней и определяются					дисперсии
этих	отклонений. З а т е м эти дисперсии сравниваются и

из них шы'бирается минимальная . Величина а, для кото рой будет получена минимальная дисперсия, считается оптимальной и ее принимают для дальнейших расчетов.

4.5. РАССМОТРЕНИЕ

М Е Т О Д А

П р и обсуждении

вопроса о

возможности

при

менения

метода

экспоненциального

сглаживания

дл я

прогнозирования

экономических

процессов

остановимся

на следующих важнейших, с нашей точки зрения,

мо

ментах.

1. Метод

экспоненциального

сглаживания,

разрабо

танный

для

анализа

временных

рядов, состоящих

из

большого числа наблюдений, при изучении

экономиче

ских временных

рядов

нередко

не «срабатывает» .

Это

обусловлено

тем, что

экономические

временные

ряды

бывают

слишком

короткими (1,5—20 наблюдений)

случае^сотд_а.темпы роста и прироста

велики,

то, "как

показывает наша практика, метод не «успевает»

отра

зить все изменения.

2. Д л я нахождения

оценок коэффициентов

сглажи

вающего

полинома

используется

рекуррентная

проце

дура, позволяющая

при конечном

числе наблюдений по

лучить приближенное решение задачи, причем прибли

жение тем точнее, чем больше число			наблюдений.
3. П р о б л е м а выбора начальных			условий		принципи
ально сводится к оценке погрешности				метода, а		вопрос
выбора оптимального	значения параметра сглаживания
а дл я своего решения	требует	прежде		всего	четкой по
становки задачи .
4.6. ПРИМЕР	ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
С П О М О Щ Ь Ю М Е Т О Д А
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО		СГЛАЖИВАНИЯ
В качестве	примера	дл я иллюстрации				приме

нения метода экспоненциального сглаживания для прог

нозирования	рассмотрим временной ряд	выпуска	нату
рального цемента за период 1950—1971		гг. (табл.	4.6.1,
г р . 2 ) .
Тренд этого ряда достаточно хорошо описывается па
раболой
yt	= 3,5616 + 3,0326/+ 0,0694/2 ..:	(4.6.1)

Т а б л и ц а 4.6.1

ВРЕМЕННОЙ РЯД ПРОИЗВОДСТВА ЦЕМЕНТА ЗА 1950-1971 гг.

(млн.- т)

	Фактические		Расчетные
Годы	Фактические		значения
Годы	значения уровнен		уровней
		У(
1		2	3
1950		10,2	6.7
1951		12,1	9,9
1952		13,9	13,3
1953	1	16,0	16,8
1954		19,0	20,5
1955		22,5	24,3
1956		24,9	28,2
1957		28,9	32,3
1958		33,3	3.5,5
1959		38,8	40,8
I960		45,5	45,3
1961		50,9	50,0
1962		57,3	54,7
1963		61,0	59,6
1964		64,9	61,7
1965		72,4	69,9
1966		80,0	75,2
1967		84,8	80,6
1968		87,5	86,2
1969		89,7	92,0
1970		95,2	97,9
1971	100,3		103,9

Отклонения факти ческих значений уровней от расчетных

3,5

2,2

0,6

—0,8

-1 , 5 —1,8 —3,3

-3 , 4

-3 , 2 —2,0 0,2 0,9 2,6 1,4 0,2 2,5 4,8 4,2 1,3

-2 , 3 —2,7

-3 , 6

В гр. 3 табл . 4. 6. 1 представлены			рассчитанные по
формуле (4. 6. 1) значения уровней,			а в гр. 4 — отклоне
ния фактических	значений	уровней	от расчетных. Д л я
построения модели	прогноза	использовались формулы

(4. 2. 7) — (4. 2, 10), (4. 3. 2) . В .качестве интервала сгла живания дл я расчета параметра а использовался период в 11 лет. Это было обусловлено тем, что к 1961 г. в основ

ном было закончено техническое перевооружение	цемент
ной промышленности. Таким образом, величина	а, р а с
считанная тіо формуле (4.4.1), б ы л а р а в н а 0,1667.
Прогноз выпуска цемента осуществлялся на	период
1972—,1975 г..

К а к видно из формул (4.3.1), для определения оце-

ЛЛ л

нок коэффициентов а0, аи а2 помимо значения а иеобхо-

Т а б л и ц а 4.6.2

			ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ			ПОСТРОЕНИЕ ПРОГНОЗА		ПО МЕТОДУ
				ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО			СГЛАЖИВАНИЯ
Годы			42 І(у)			"à0	а.		*	*
Годы			42 І(у)			"à0	а.
1951	—4,7856	—13,8439		—19,0213		8,1535	3,4416	0,1552	11,6728	0,4272
1952	—1,9713	—11,8651		—17,8286		11,8528	3,6295	0,1572	15,5608	—1,6608
1953	0,6739	—	9,7753	—16,4854		14,8611	3,6598	0,1495	18,5957	—2,5957
1954	3,2282	—	7,6080	—15,0037		17,5022	3,6111	0,1375	21,1820	—2,1820
1955	5,8569	— 5,3639		—13,3995		20,2327	3,5819	0,1274	23,9083	—1,4083
1955	8,6307	—	3,0314	—11,6715		23,3150	3,6017	0,1209	26,9772	—2,0772
195)	8,6307	—	3,0314	—11,6715		23,3150	3,6017	0,1209	26,9772	—2,0772
195)	11,3423	—	0,6358	— 9,8322		26,1021	3,5539	0,1113	29,7216	—0,8216
1957	11,3423	—	0,6358	— 9,8322		26,1021	3,5539	0,1113	29,7216	—0,8216
1957	14,2686		1,8182	—	7,8855	29,3755	3,6124	0,1075	33,0416.	0,2584
1958	14,2686		1,8182	—	7,8855	29,3755	3,6124	0,1075	33,0416.	0,2584
1958			4,4469	— 5,8301		33,1505	3,7395	0,1087	35,9145	1,8555
1959	17,4405		4,4469	— 5,8301		33,1505	3,7395	0,1087	35,9145	1,8555
1960	21,0004		7,2058	—	3,6574	37,7262	3,9900	0,1173	41,7749	3,7251
1961	25,0837		10,1855	—	1,3513	43,3442	4,3918	0,1345	47,8033	3,0967
1962	29,3864		13,3856		1,1057	49,1080	4,7529	0,1488	53,9153	3,3517
1963	34,0387		16,8278		3,7261	55,3583	5,1680	0,1644	60,6088	0,3912
1964	38,5322		20,4452		6,5126	69,7736	5,3622	0,1632	66,2189	—1,3189
1965	42,9268		21,1921		9,4592	65,6633	5,4277	0,1601	71,1710	1,2290
1966	• 47,8390		28,1333		12,5715	71,6888	5,6816 ,	0,1658	77,4533	2,5167
19S7	53,1992		32,3109		\Ъ, 8614	78,5262	6,0419	0,1775	81,6569	0,1431
1968	58,4660		36,6701		19,3295	84,7172	6,2304	' 0,1782	91,0367	—3,5367
1969	63,3050		41,1093		22,9595	89,5167	6,1385	0,1618	95,7661	—6,0661
1970	67,7042		45,5417	' 26,7232		93,2105	5,8369	0,1338	99,1142	—3,9142
1971	72,2868		49,9993		30,6025	97,4652	5,6717	0,1156	103,1917	—2,8947

димо найти экспоненциальные

средние Srtn(y),

S't2](y)

S/3 ' (у).

Д л я

их расчета

использовалась

рекуррентная

формула

(4.

1.5).

Сначала

были

определены

по формуле (4. 3. 2)

на

чальные

условия:

5^!((/) = - 7 , 7 8 3 ;

(;/) =

-15.655;

S0\3)(y)

= -20,057. З а т е м были-подсчитаны

StW{y),

S№(y)

-л

и StW(y),

найдены а0, ах и а2

и осуществлен прогноз

на

1951 г. Д а л е е

по рекуррентной

формуле

(4. 1. 5)

вычис

лялись

новые

5(1'!(у),

StW(y) и StW(y), а по ним

опреде-

лл л

лялись соответствующие аи , щ, а2 дл я прогноза на 1952 г. и т. д. В табл . 4. 6.2 д а н ы экспоненциальные средние, под считанные по рекуррентной формуле, коэффициенты мо дели прогноза, результаты прогноза и отклонения факти ческих уровней от прогнозируемых.

730

120

110

1О0\г

«0,

— L - t J 1 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

S? ö g> S; 5 S? Sä 2> S> Й? S; £5 § s> Щ§ $5 § § ^ ^ ^ £

Рис. 4.6.1.

Т а б л и ц а 4.6.3

ПРОГНОЗ ВЫПУСКА			ЦЕМЕНТА	НА 1972-1973 гг. (млн. т)
				Доверительные	шітррвалы
Годы	Прогноз		Ошибка	верхняя	нижняя
Годы	Прогноз		прогноза	верхняя	нижняя
				граница	граница
1972	107,59		1,80	109,39	105,79
1973	113,31		1,89	115,20	111,42
1974	119,13		2,02	121,15	117,11
1975	125,06	•	2,19	127,25	122.87

П р и прогнозе производства цемента						на 1972—1975 гг.
использовались		следующие		величины		экспоненциальных
средних: S}» (у) =76,956;			S'*'{у)		=54,492; S}-"(у)		=34,584.
Соответственно		оценки	коэффициентов			модели	прогноза
	л	л		л
равны: <2о= 101,975; Яі = 5,566; а 2					= 0,102.
В табл . 4. 6. 3 представлены					результаты прогноза вы
пуска	цемента	и его ошибок		на 1972—1975 гг.
На	рис. 4. 6. 1 изображены весь временной						ряд выпу
ска цемента за		1950—1971 гг., прогноз				на 1972—1975 гг.
и доверительные интервалы				для прогнозируемых значе
ний.

6. Заказ 3199

Г л а в а V

З А В И С И М О С Т Ь С Р Е Д Н Е Й О Ш И Б К И П Р О Г Н О З А

О Т П Е Р И О Д А П Р Е Д Ы С Т О Р И И

ИВ Е Л И Ч И Н Ы П Р О Г Н О З И Р У Е М О Г О

ПЕ Р И О Д А

Одной из	в а ж н е й ш и х з а д а ч	прогнозирования
является повышение	точности расчетов.	Критерием точ

ности может служить средняя ошибка прогноза, вычи

сляема я по

формуле

8пр

I/n+l—У'п+1

•100,

(5.1)

Цп + 1

где

ijn+i

— 'фактические уровни

временного

ряда; •

Уп+і — прогнозируемые

уровни

временного

ряда;

іі — период

предыстории

(п=1,

2,...,N);

I — прогнозируемый

период

(l = N+\,

N +

....

Т).

К а к

известно,

точность

прогноза

зависит

как

от

длины периода предыстории,

так и от величины прогнози

руемого

периода

(см., например,

[ 1 0 ] ) . Поэтому

мож

н о построить модель, характеризующу ю

зависимость

средней

ошибки

прогноза от

двух

параметров п

Гпр =

/ ( " , / ) .

(5.2)

Процедура построения

модели

(5.2)

осуществляется

следующим образом . Весь временной

ряд t(t=\,

Т)

разбивается

на

две

части:

первая — п

(п=1,

принимается за период предыстории, вторая —

l(l—N-+\,

N + 2,

Т)

— з а

прогнозируемый

период. Д л я

периода

строится

модель

прогноза

yt = au

+ a\t,

по

которой

прогнозируются		уровни временного	ряда	t/t	на период
/. С этой целью в полученное уравнение модели						прогно
за	последовательно подставляют		значения		/,	равные
N+\,	N+2,	Т, т. е. порядковые	номера	лет		периода

прогноза, и получают прогнозируемые уровни временно го ряда на период /. П о существу, мы осуществляем ре троспективный прогноз. Поскольку фактические значе

ния временного		р я д а за период	/ известны, можно опре
делить величину средней ошибки прогноза				за этот период.
Д а л е е	период	предыстории увеличивается		на один	мо
мент	времени,	т. е. его длина	становится	( п + 1 ) , а	пе

риод прогнозирования тем самым уменьшается на еди

ницу. Д л я временного	ряда длиной (;г+1 )	строится
модель прогноза, по которой осуществляется		прогнози
рование на период / — 1 ,	т. е. на N + 2, N+3	Т, и нахо

дится средняя ошибка прогноза. Т а к а я процедура повто ряется до тех пор, пока прогнозируемый период не будет равен нескольким моментам времени, по которым еще можно будет проверять ретроспективный прогноз1 . В ре

зультате	можно построить		таблицу,		в	которой будут
содержаться данные для построения модели							зависимости
средней ошибки прогноза от длины					периода			предысто
рии и величины прогнозируемого				периода,
							Т а б л и ц а		5.1
	ДАННЫЕ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ
Средняя	Величина	периода		Величина			прогнозируемого
ошибка прог	Величина	периода		Величина			прогнозируемого
ошибка прог	предыстории л					периода I
ноза еП р	предыстории л					периода I
ноза еП р
	я; (1,2	N)		I; (N+l,		N+2		Т)
« п Р - 1 )	л+1; (1.2		7V+1)	/ - 1 ;	{N+2,			N+3....T)
— ( ) - „ )	л + р ; (1,2, .	. . ,	N+p)	1-р;	(Nhp+l,			N+p	+
£ пр Р )					+2,...,		Т)

Вышеописанный метод проиллюстрируем на примере временного ряда выпуска цемента в С С С Р за период с 1950 по 1971 г. (табл. 5.2, гр. 3).

1 В нижеприведенном примере	мы остановились па этапе, ког
да минимальный период прогноза	равен 5 годам.

Годы

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1957

1958

1959

1960

1961

1962

1963

1964

1965

1966

1967

1968

19.9

1970

1971

											Т а б л и ц а				5.2
	ОПРЕДЕЛЕНИЕ			СРЕДНЕЙ			ОШИБКИ			ПЕРИОДА
	Выпускце мента (млн.т)				Относительные				ошибки		аппроксимации
						и прогноза в процентах

2	3		4		5 '1 G 1 7 1 S 1 9 І 1 0
1	.10,2	+30,0 +38,1 +46,8						+52,5		+56.4		+62,6 +7>,4
2	12,1	+ 13,0 +			17,	+23,1		+26,5		+29,2		+33,3 +38,6
3	13,9	—	0,2	+	2	+	5,1	+	7,2	+	8,7	+ 11,4 +			14,8
4	16,0	— 8		-	7	-	6,7	-	5,8	-	5,0	—	3 6 —		1,6
5	19,0	— 9,0: -			9,	—10,3 —10,3 —lu, 1 I -							9,'6!—		8,8
6	22,5	— 7,1 -			8,	—10,4 —11,0 —11,3 - 11,5								- 11,5
		—10,4 - 1 3 ,				- 15, 3		— 16,5		—17,1		1—17,8 —18,5
7	24,9	— 6,9\| - 1 0 ,				-12,8		—14,3 —15,2				-16,3 - 1 / . 4
8	28,9	—	2,8 -		6,	-	9,5	— 11,3 -12,3 1—13,7 —15,1
9	33,3	+	3,1	-	о,	-	4,0	-	5,9	-	7,0		8,5 —10,2
10	38.8	+	9,7 +		6,	+	2,8	+	0,8	-	0,3	—	1,9 -		3,6
11	45,5
		+	12,61+ 8			9\|+	5,5	+	3,4	+	2,2	+	0,6 -		1,3
12	50,9
13	57,3	+	16,6+12,			+	9,2	+	7,2	+	6,0	+	4,2 +		2,3
14	61,0	+	16,1 +12,			+	8,4	+	6,2	+	4,9	+	3,1 +		1,0
15	61,9	+	15,9+11, 7 +				7,9	f	5,7	+	4,3 '+		2,3 +		0,1
16	72,4	+	19,9+15, 9+12,2					+	9,9	+	8,6	+	6,6	f	4,4
17	80,0	+23,3+19,				3+15,6		+	13,4	+	12,1	+	10,1	f	7,9
18	81,8	+23,6+19,				6+15,8		+	13,6	+	12,1	+ 10,3			8,0
19	87,5	+22,1+17,				9+13,9		+	11,7	+	10,2	+. " И + 5 , 7
20	89,7	+20,2+15,				8+11,7		+	9,3	+	7,8	+	5 , 6 +		3,1
21	95,2	+21,0+16,				9+12,8		+ 10,3 +			8,8	+	6,6 +		4,1
22	100,3	+21,8 +17, 4+13,4						+	10,9 +		9,4	+	7,1 -t- 4,6

Ean — средняя ошибка
аппроксимации			9,1	10,8		12,4. .12,8		12,7	12,9 13,4
Е П Р — средняя
ошибка прог
ноза	•		19,4	15,9		12,4	10,6	9,9	8,0-	5,1
Весь	период		в 22 года		был		разбит	на	две	равные
части, т. е. /г =			11; / = 1 1 . З а т е м				для отрезка		исследуемо
го ряда	за	период с 1950			по	1960 г. была построена ли
н е й н а я	модель
	yt	= 3,744 + 3,393/				( / = 1 , 2 , - , 11).				(5.3)
Подставляя			в это уравнение				порядковые		номера по
следующих		лет (/=12, 13,					22), получаем			относи-

тельные ошибки	прогноза для каждого года на период
с 1961 по 1971 г.	по	формуле
в д	р =	. 1 0 0 .	(5.4)

По формуле (5.1) находится средняя ошибка прогноза для этого отрезка временного ряда. Относительные ошиб ки' прогноза и средняя ошибка прогноза представлены в табл. 5.2, гр. 4'. Д а л е е период предыстории был увели чен до 12 лет (1950—1961 гг.), построена модель про гноза

		у, = 2,670+ 3,641/;		(/ = 1,2 12)
и	осуществлена экстраполяция			на период 1962—1971 гг.,
в	результате которой были		определены		относительные
ошибки прогноза по годам и средняя ошибка						прогноза
(табл. 5.2,		гр.2).
	Модели	прогноза для всех	проделанных		этапов пред
ставлены		в табл. 5.3, а в табл.		5.2 — величины		относи

тельных и средних ошибок аппроксимации, а т а к ж е от

носительных и	средних ошибок	прогноза.
		Т а б л и ц а 5.3
МОДЕЛИ ПРОГНОЗА ПО ЭТАПАМ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
Период предысто	Период прогноза	Уравнения для моделей
рии (годы)	(годы)	прогноза
1950—1960	1961—1971	Уі = 3,7-14+3,393*
(11 лет)	(11 лет)
1950-1961	1962—1971	Уі = 2,670+3,641*
(12 лет)	(10 лет)
1950—1952	1963—1971	Уі = 1,516+3, ssi*
(13 лет)	(9 лет)
1950—1963	1964—1971	Уі = 0,815+4,027*
(14 лет)	(8 лет)
1950—1964	1965-197 і	Уі = 0,326+4,119*
(15 лет)	(7 лет)
1950—1965	1966—197'	Уі = —0,445+ 4,255*
(16 лет)	(6 лет)
1950-1966	1967—197.	Уі = —1,398+4,414*
(17 лет)	(5 лет)
1 B'rp. 4, 5 и т. д. относительные ошибки прогноза расположе
ны ниже выделенного прямоугольника.		В прямоугольники заклю
чены относительные	ошибки ' аппроксимации.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ