Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кильдишев, Г. С. Анализ временных рядов и прогнозирование

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Д л я	выравненных			индексов	сезонности		с помощью
скользящей		средней	способом		средней	арифметической
(гр. 2, табл .		3.1.3)	среднее квадратическое				отклонение,
вычисленное		по формуле (3.1.1), равно				24,0,	что т а к ж е
говорит о достаточно большом влиянии						на	реализацию
плодоовощных консервов сезонного фактора .
						Т а б л и ц а 3.1.4
РАСЧЕТ	ТОВАРООБОРОТА			ПЛОДООВОЩНЫХ КОНСЕРВОВ В 1965 г.
				(млн. р\б.)
				Уровни, скорректированные на
				сезонность по выравненным индексам
		Фактические			сеюпностн,	исчисленным
Кварталы		Фактические		с помощью скользпщеЛ
Кварталы		уровни		с помощью скользпщеЛ
				средней			с помощью
				по способу средней		уравнения тренда
				арифметической
1		2			3		4
I		11,8			10,5		10,5
I I		13,6			11,4		11,5
I I I		6,6			11,2		11,3
IV		12,0			11,0		10,8

Индексы сезонности могут быть построены и по-друго му. М о ж н о рассматривать дл я к а ж д о г о к в а р т а л а (меся ца) отношение фактического уровня не к показателю, (найденному с помощью скользящей средней, а рассчитан ному по уравнению тренда . В этом случае исчислению по

казателей	сезонности д о л ж н о предшествовать	определе
ние тренда временного ряда.
В табл . 3.1.1 приведены уровни, сглаженные		по у р а в -
	л
нению тренда 1 у = 7,70 + 0,16U (гр. 8), и показатели се
зонности	(гр. 9), на основании которых были определены
индексы	сезонности, рассчитанные п о способу	средней
арифметической (табл. 3.1.2, гр. 4) .
Д а л е е	'было произведено выравнивание индексов се
зонности	(табл. 3.1.3, гр. 4) .

Линия тренда нанесена на рис. 3.1.1.

П ри сравнении данных табл . 3.1.3 видно, что в резуль татах определения выравненных индексов сезонности с по мощью скользящей средней и уравнения тренда имеется некоторая разница. Последний способ определения ин дексов сезонности является более точным.

Рассчитаем далее среднее квадратическое отклонение по формуле (3.1.1). Оно равно 24,2, что незначительно от личается от соответствующего значения при определении индекса сезонности с помощью скользящей средней.

Проведем расчет товарооборота плодоовощных кон

сервов	в 1965 г. с учетом корректировки на	сезонность
(табл.	3.1.4).
Д л я	повышения устойчивости индексов	сезонности

были рассчитаны средние индексы сезонности по располо

жению (табл. 3.1.5) для 5 центральных	точек. Эти индек
сы, как 'будет п о к а з а н о ниже, можно	использовать	для
тиро'пн оз и ров a im я тов ар о об о рот а.
	Т а б л и ц а	3.1.5

СРЕДНИЕ ИНДЕКСЫ СЕЗОННОСТИ (ПО РАСПОЛОЖЕНИЮ)

Квартал	Индекс	Квартал	Индекс
I	109.5	I I I	58,5
II	119,8	IV	114,4

3.2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СЕЗОННЫХ ЯВЛЕНИЙ

Определив влияние сезонного фактора, можно попытаться использовать найденные закономерности дл я прогнозирования дальнейшего развития изучаемого про цесса. Как известно, сезонные временные ряды можно р а з л о ж и т ь на следующие компоненты:


		Xt	= Ut + Vt + Et .			(3.2.1)
где lit, Vi, Et — составляющие				этого	ряда,	соответственно:
тенденция,	кратковременные			колебания		(сезонные	вол
ны), случайные		колебания .
Т е н д е н ц и я		о т р а ж а е т общее изменение ряда за					дли
тельный промежуток времени: постоянный подъем							или
постоянное	снижение.		Тенденция		представляется		ка к

плавное непрерывное движение, скрадывающее скачко образные изменения в месяцах, к в а р т а л а х или годах.

.41

С е з о н н ы е в о л н ы — это более или менее регуляр ные изменения временного ряда, возникающие с наступ лением данного времени года и повторяющиеся с неболь шими отклонениями из года в год. К таким колебаниям от носятся т а к ж е изменения, не связанные с временами го да, но регулярно повторяющиеся через определенные про

межутки времени. Сезонные колебания обычно имеют
постоянный	период.
С л у ч а й	и ы е ік о л е б а и и я вызываются внешними,

случайными причинами, влияние которых сказывается на

уровняіХ ряда, и с к а ж а я тенденцию,	а	т а к ж е сезонные и
циклические колебания.
Кроме разложения ряда па его составляющие, можно
использовать другие виды анализа,	не	требующие выде

ления и исключения составляющих компонент ряда: гар монический анализ и некоторые другие методы. Выявле ние закономерных изменений динамики явлений состав ляет первую фазу прогнозирования. Определив все три составляющие временного ряда, можно попытаться ис пользовать найденные закономерности д л я экстраполя ции их на перспективу. При этом м о ж н о оценить значе ние постоянной компоненты или тренда и краткосрочных сезонных колебаний. Случайные колебания м о ж н о оце нить только вероятностным путем.

При экстраполяции общих закономерностей на буду щий период допускается определенная ошибка: чем про должительнее период предсказания, тем вероятнее сде лать большую ошибку. Поэтому следует по мере получе

ния	новых фактических			данных	пересматривать				модели.
	В общем виде модель прогноза товарооборота на лю
бой	квартал	по	к а ж д о м у из		исследуемых			показателей
выглядит следующим образом:
				Л
где	уі — величина		товарооборота в			момент			временив
	(^=1,2 ,		. . . , 3 6 ) .
	Ік— средний		индекс	сезонности		(по	расположению)
	к-го к в а р т а л а ( к = 1, 2, 3, 4) .
	л
	уі — оценка размера			товарооборота			в	момент вре
	мени	t.

et — случайная величина.

З н а ч е н ия lu. определяются из табл.	3.1.5, у , — по
уравнению тренда
Л
yt =7,7 0 + 0,16U.	(3.2:1)

Н и ж е приведены модели для расчета объема товаро оборота по к в а р т а л а м :

I	—#, = 1,095(7,7 + 0 , 1 6 1 / ) + « , ;	(3.2.2)
I I	—уі = 1,198(7,7 + 0,161/,) + е,;	(3.2.3)
I I I —#/ = 0,585(7,7 + 0,1610 +8, ;		(3.2,4)
I V —Уі= 1,144(7,7 + 0,161/) + е , .		(3.2.5)1

В табл . 3. 2. 1 приведены данные по фактическим зна чениям уровней, расчетным значениям, полученным по

моделям	(3. 2. 2) — (3. 2. 5), и отклонениям				фактических
значений от расчетных.
Случайную величину			е, точно определить			нельзя.
М о ж н о только с определенной вероятностью					утверждать,
что вычисленные		по моделям		(3. 2. 2) — (3. 2. 5)		оценки
показателя будут		отличаться		от истинной на		величину
t —	, где / — число,		показывающее,		во	сколько
у л
раз отличается средняя величина от своего					отклонения
при определенной		вероятности;
				Т а б л и ц а 3.2.1
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ПО МОДЕЛЯМ (3.2.2)-(3.2.5) II ИХ СРАВНЕНИЕ
	С ФАКТИЧЕСКИМИ			ЗНАЧЕНИЯМИ

Годы

					Кварталы
	I			II			III
Фактические значения	Расчетные значения	Отклонения	Фактические значения	Расчетные значения	Отклонения	Фактические значения	Расчетные значения

к
сЗ	S E

S s

IV
	\|
Расчетные значения	Отклонения

1959	7,5	8,6 - 1,1	7,7	9,6—1,9		4,2	4,8 —0,6		6,7 9,5—2.8
1960	8,6	9,3—0,7	9,5	10,4—0,9 5,4			5,2	+0,2	10,7 10,3+0,4
1961	11,8	10,0 +1,8 12,5 11,1 +1,4				5,8	5,6.+0,2 12,4 11,0+1,4
1962	13,4	10,7+2,7	12,7	12,0+0,7		6,8	5,9	+0,9	12,2 11,8 +0,4
1963	12,6	11,4+1,2	12,7	12,7	0	6,6	6,3	+0,3	12,6 12,5+0,1
1964	11,9 12,1 - 0 , 2 13,6 13,4+0,2 5,8						6,7	—0,9 12,3 13,3—1,0
1965	11,8	12,8—1,0 13,6		14,3—0,7 6,6			7,0 —0,4		12,0 14,0—2,0
1966	13,1	13,5—0,4 14,7 15,0—0,3 7,9					7,4	+0,5	15,014,6+0,4
1967	14,6	14,2+0,416,6		15,8 +0,8		7,2	7,8	—0,6	15,5 15,4 +0,1

Ое( — среднеквадратическое

отклонение

случайной

вели

чины е<.

Вычисленные

оценки

значений

/ п

для

каж -

дого показателя с вероятностью, равной

0,95

£ = 2,0,

представлены

в табл . 3. 2. 2.

Осуществим

прогноз

по мо

Та б л и ц а

3.2.2

делям

(3.2. 2) — (3 . 2 . 5) на

три

года.

Результаты

прог

ВЕЛИЧИНА

t-—

РАССЧИ-

ноза

представлены

табл .

3.2.3.

ДЛЯ

КАЖДОГО

И з

таблицы

видно, что

ТАННАЯ

КВАРТАЛА

максимум

реализации

пло

доовощных

консервов

по-

прежнему

падает

на

второй

Квар

vir

Квар

квартал, а

минимум — на

тал

УН

третий.

О б щ а я

тенденция

роста

товарооборота,

кото-

рая установилась в изучае-

2,20

I I I

0,98

мом

периоде

1959—1967 гг.,

1,80

2,38

сохранится

на

прогнози

руемый

период.

Т а б л и ц а

3.2.3

ПРОГНОЗ ОЖИДАЕМОГО

	I
Годы		Верхняя граница
Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница

ТОВАРООБОРОТА НА ПЛОДООВОЩНЫЕ КОНСЕРВЫ

		Кварталы
	II	„		III			.IV и
Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница

1968	14,9	12,7	17,1	16,6	14,8	18,4	8,2	7,2	9,2	16,2 13,8		18,6
1969	15,6	13,4	17,8	17,3	15,5	19,1	8,6	7,6	9,6	16,9	14,5	19,3
1970	16,3	14,1 18,5		18,1	16,3	19,9	8,9	7,9	9,9	17,6	15,2	20,0

3.3. М О Д Е Л И СЕЗОННОЙ ВОЛНЫ

П р и исследовании периодических явлений це лесообразно использовать модели сезонной волны. Из менение потребления плодоовощных консервов пред ставляет периодический процесс сезонных колебаний,

вследствие чего дл я построения	модели сезонной волны
можно применить гармонический	анализ .
Функцию, з а д а н н у ю в каждой точке изучаемого ин
тервала времени, можно представить бесконечным		ря
дом синусоидальных и косинусоидальных функций.		Н а

хождение конечной суммы членов с косинусами и сину


сами	называется		гармоническим			анализом .		Синусои
д а л ь н а я или		косинусоидалы-іая			функция		с	определен
ным	периодом	и есть гармоника.			К а ж д ы й		член		суммы
представляет		собой	гармонику с		определенным				перио
дом. П е р в а я		гармоника		имеет	период, равный				длине
исследуемого		периода.		Вторая	.имеет период,				равный
половине основного,			третья — одной			трети	основного и
т. д. Вообще если есть р				наблюдений, то число				гармоник

не будет превышать •— . Если функция носит не сину соидальный характер, то требуется большее количество определяющих ее гармоник. И в этом случае получается просто математическое представление, эквивалентное периодической функции. Д л я функции, носящей сину соидальный характер, не всегда требуется определять

- |р гармоник. Изменение периодической функции хоро шо описывается несколькими первыми гармониками .

Если величину изучаемого показателя записать к а к

2л	2л	2 я	2л
1	Р	Л-	'Р.
Р	Р	-

где р — число значений изучаемого показателя или ве личина периода, т. • е. представить к а к части длины ок ружности, то зависимость соответствующих им значений показателя запишется следующей суммой:

	г/ = а 0 + Л і		sin	2л t	+Вх	cos	2 я
		/	2л			2я		(3.3.1)
+	Л г sin !V		2/ Н- ß 2 c o s			2t	+•	(3.3.1)
или короче
	*	2		2л it	,+ Bi	cos	2 я it	(3.3.2)
y = a0	+ 2	Л І Б І П		2л it	,+ Bi	cos	2 я it	(3.3.2)

где /; — полный период; і—номер гармоники;

——t — переменная;

Аі, Ві — коэффициенты гармоніпк.

Коэффициенты At и Ві оцениваются по методу

наи

меньших

квадратов, т. е. при условии, что

S ( 0 « - й 2 — « n i n .

(3.3.3)

(=i

Получение

формул

для

коэффициентов

облегчается

благодаря

свойству

ортогональности.

2л

= 0, если

ІФ]\

(3.3.4)

sin——(/sin — it

<=i

_ ,

если Î = ; # 0 # — ..

Подобные

ж е равенства

имеют место, если один член

или оба

заменены

косинусами. Д л я

оценки

параметров

йо, А і и Ві

уравнения

(3. 3. 2) используют

следующие

формулы:

а „ = —

у,

(3.3.5)

Аі=—Ъ

уі sin

I - 7 - l / J

(3.3.6)

2л

ß i = - " Z

у, cos

—

rtj

(3.3.7)

Отсюда

видно, что o0 есть не что иное, как среднее

зна

чение показателя за период.

Число гармоник,

к а к уж е

отмечалось, не

может

пре

в ы ш а т ь

- у

, т. е.

-гр . Поэтому по этим

формулам

необходимо

рассчитывать

коэффициенты для

— 1)

гармоник.

Д л я последней

гармоники

всегда

А = 0,

В =

= ~r-2yt

o s

—— t; -тг] . Так

получается только в

том

P t=\

случае, если определяются все і = - | - г а р м о н и к . Бели рас-

считывать î < -у-		гармоник,		то	соответственно				будет
получено	одинаковое количество				коэффициентов				при си
нусах и косинусах.
Д л я	гармонического		анализа		товарооборота				плодо
овощных	консервов	наиболее		удобным является					период
с 12 наблюдениями,		так как б р а т ь				свыше	12	наблюде
ний, т, е. более чем 3 года, не всегда						оправдано		тем, что
гармонический анализ			основывается на				исследовании

колебаний вокруг среднего уровня. Тенденция ряда пр и

этом	не учитывается.		Использование среднего уровня за
3 года, конечно, д а с т			меньшие погрешности,			чем замена
тенденции средним уровнем з а более длительный								про
межуток.
Гармонический		анализ		использовался	дл я		расчета
периодической функции дл я временного ряда						товарообо
рота	плодоовощных	консервов. Д л я анализа				взят		пери
од с 1964 по 1966 г. (он характеризуется					почти		постоян
ным	уровнем) . Н а и б о л ь ш е е			количество гармоник,				кото
рое	можно рассчитывать дл я этого ряда,				равно		6.	Сна

чала б ы л а сделана попытка рассчитать периодическую

функцию		с четырьмя гармониками,						т. е. получить функ
цию вида
	у=у+Аі			sin х+А2		sin 2 х + Л 3 sin Зх+					..- -
		+ Л 4	sin Ax+B\			cos x + B2 cos 2x +
				+ ß 3	c o s 3 x + ß , , cos 4л-,						(3.3.8)
									Т а б л и ц а			3.3.1
	МНОЖИТЕЛИ		ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 12 НАБЛЮДЕНИИ
		ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ А- И В,
		Ч		ч	ч	ч	ч	ч	V	и.	Ю	ч
		Ч		ч	ч	ю	ч	л	СО		Ю	сл
		о»		m				л	СП		СП	сл
1	ч	_с		С	а	с	to	сч	СП	о	О	<г>
1	ч	_с		С	а	с	to	О	о	о	О	о
	с	"Я		ІЛ	СЛ	сл	ио	и	о		и	t»
	л			ІЛ	СЛ	сл			U			t»
1	0,5	0,866		1	0,866	0,5	0,863	0,5	0 - 0, 5		-0,866
2	0,863	0,866		0 —0,866 —0,866			0,5	-0,5	- 1	-0,5	0,5
3	1	0		—1 0		1	0	—1 0 1 0				— 1
4	0,866 —0,865			0	0,866 —0,866 —0,5			- 0,5	1- 0,5 —0,5
5	0,5	—0,866		1—0,836		0,5	—0,866	0,5	0 - 0, 5		0,866 —1
6	0	0		0	0	0	—11	1	—1	1	—1
7	—0,5	0,863—1			0,866 —0,5		—0,86)	0,5	0 —0,5		0,866 —1
8	—0,866	0,866		0 -0,863		0,865 - 0,5		—0,5	1 - 0,5 —0,5
9 —1		0		1 0		—1	0	—1 0 1 . 0				—1
10	—0,866 —0,866			0	0,866	0,866	0,5	—0,5 —1 -0,5			0,5
11	—0,5	—0,866 —1 —0,866 —0,5					0,866	0,5	0 -0,5 —0,866 —1
12	0	0		0	0	0	1	1	1	1	1

где X обозначает ( £ t); г/—11,5. Значения для sin ix

иcos ix -приведены в табл . 3. 3. 1.

Втабл . 3. 3. 2 приведены данные для расчета коэф фициентов А\ и Ві для первой гармоники. Суммы, полу

ченные по гр. 6 и гр. 7, как видно из (3. 3. 6) и (3. 3. 7),

Т а б л и ц а 3.3.3

	ДАННЫЕ	ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ			Л, II В, В МОДЕЛИ
			СЕЗОННОЙ ВОЛНЫ
				Уровни
t	-V	sin X	COS X	времен	y^slnv	y;COSAT
				ного ряда

У;

тс

2тс

5тс

тс

7тс

І _

-і il.

Зге

5к

3 lift 6 0

3	4	5		6			7
0,5	0,836	11,9		5,950		10,3	5
0,866	0,5	13,6		11,778		6,800
1	0	5,8		5,800		0
0,856	- 0 , 5	12,3		10,652	—	6,150
0,5	—0,865	11,8		5,930	-10,219
0	—1	13,6		0	—13,600
- 0 , 5	—0,866	6,6	-3,300		—	5,716
—0,866	—0,5	12,0	-10,392		—	6,000
—1	0	13,1	—13,103			0
-0,865	C S	14,7	- !	2,730		7,350
- 0 , 5	0,866	7,9	-	3,953		6,811
0	1	15,0		0		15,COO
			— 3,392			4,611

следует поделить на 6, Таким образом А \ = — 0,565 и Ві = 0,769.

В целом модель сезонной волны имеет вид: у = 11,5-0,565 sin х - 0 , 3 7 5 sin 2 х + 2 , 7 5 1 sin

L + 0,029 sin 4x+0,769 cos x+0,417 cos			2x~j
.-0,433 cos 3x+0,354	cos 4x.		,(3.3.9)
В табл . 3, 3. 3 даются расчетные		значения по функци
ям (3.3.9) и (3.3.10) и отклонения		от фактических		дан
ных по к в а р т а л а м .
Средняя о ш и б к а аппроксимации дл я			модели	(3.3.9)
составляет 2,0. Теперь определим,	к а к а я часть общей дис

персии у учитывается четырьмя гармониками . Дисперсия,

учитываемая одной					гармоникой, определяется				по формуле
0 2 =	С2		где Сі	=	ІА2і	+ В2і.
	£_ ,						Д л я последней		гармоники
а2РІ2	= С2і.	Ч а с т ь		дисперсии,			учитываемая определенной
гармоникой,			представляется				в виде	отношения величины
С2іі2	или С2і		к общей дисперсии о2ѵ.					Так. как никакие две
гармоники		не коррелируют м е ж д у собой, то они не								будут
учитывать		одну и ту ж е часть общей дисперсии, т. е. дис
персии, учитываемые						различными		гармониками,		скла
дываются . Д о л я				общей дисперсии,				учитываемая		гармо
никами, составляет:
									' в процентах
	первой								5,2
	второй								1,8
	третьей		*!						44,5
	четвертой								0,7
	О б щ а я	доля,		учитываемая всеми гармониками, 52,2%.
	Таким	образом,			периодическая			функция,	состоящая
из четырех гармоник, довольно точно улавливает										коле
бания временного					ряда . Н а и б о л ь ш а я часть				колеблемо

сти учитывается третьей гармоникой, период которой сов падает с периодом сезонности данного ряда . Д а л е е бы л а , рассчитана периодическая функция с шестью гармо никами:

t / = 11,5 — 0,565 sin х - 0 , 3 7 5 sin 2x+2,751 sin Зх+]

+ 0,029 sin 4л: - 0,335 sin 5x+0,769 cos x + 0,417cos	2x-
-0,433 cos 3x+0,354 cos 4x+0,364 cos bx+)
. + 1,004 cos 6x.	(3.3.10)

4. Заказ 3199

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ