книги из ГПНТБ / Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие
.pdf- 7 8 -
Доказанных в этой главе теорем достаточно для того, чтобп выпол нить все перечисленные преобразования. Поэтому никаких преобра
зований о радикалaux выполнять не следует, |
надо |
сразу переходить |
||||||
к преобразованиям отепеной с рациональными показателями. |
||||||||
Следующие примеры хором иллюстрируют |
высказанные соображения: |
|||||||
I . вывести |
|
из-под знака радикала множительt |
|
|
||||
$îa'ê3c~°=(2*a'é3c"/* |
|
определение |
степени |
о дробна |
||||
|
и |
натуральным показателями |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
теопема |
I и 3 |
|
||
|
|
|
|
теорема |
2 и коммутативность |
|||
|
|
|
|
умножения |
|
|
||
|
|
|
|
теорема S и определение степе |
||||
|
|
|
|
ни о дробным |
показателем |
|||
2. Внести множитель под знак радикала: |
|
|
|
|||||
'ai{tJ |
|
-aêfaêj' |
определение |
степени |
о дробным |
|||
|
показателем |
|
|
|||||
|
|
|
|
теорема |
I |
|
|
|
art |
— |
|
|
|
|
|
|
|
а |
п |
|
іеорема |
12 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
ffâê] |
|
|
|
определение |
отепени |
о дроб |
||
|
|
|
ным показателем |
|
||||
Ъ. Упростить: 6а |
[ШР'.-3(771 аЧ: |
+laéJH3a6-fê(Iïc7ï |
||||||
6л (Зг. |
|
|
3{к1- |
|
+2а1(%'л1}1-Sofa's)** |
|||
определение |
степени |
о дробным |
показателем |
и разложение |
чисел на |
|||
простые множителя. |
|
|
|
/ |
|
|
||
*6а-Зе(1а*)*-3-Ы(?ае]* |
+ |
2ае-7(М*:ЯМ7**/£- |
||||||
теоремы 8 іі 2 и коммутативность умножения
дистрибутивность и приведе ние одночленов к каноничес
кому виду
{Ѳаі {Ы
4 ; бав3№¥
9а*ё**9еЩ
-79 -
приведение подобных одночленов и оьредѳлѳкие степени с дробным показателем.
баеJê* определение степени с дробклм показателем
теорема 10,следствие б и определение степени с от рицательным показателем
коммутативность и ассоциа тивность умножения
определение умножения положительных чисел,
теорема I , коммутативность умножения и опре деление степени с дробным показателем,
5. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
|
(**- |
*¥. |
определение |
степени |
о |
||
|
|
|
дробным показателем |
|
|||
~(a!+tif(a*-êijr |
|
следствие |
2 теоремы |
10 |
|||
|
С Ate |
|
) |
|
|||
~ |
J- $*_ |
|
теорема |
I |
|
|
|
(a-lji |
|
теорема |
5 |
|
|
|
|
' |
(a-ê)i(a-êji |
|
следствие |
2 теоремы |
10 |
||
|
( àtS |
|
|
) |
|
||
|
({&- U') ЛГ7 |
|
определение |
степени |
с дроб |
||
|
|
|
ным показателем |
|
|||
|
|
|
теорема |
I . |
|
|
|
Вообще, слова " освободиться от иррациональности" означают " преобразовать выражение так, чтобы я его числителе ( или зна
менателе) не содержалось радикалов, или, т о то же самое,степеней
- 80 -
о дробными показателями". При выполнении таких преобразований переход от радикалов к дробным показателям облегчает выбор пути преобразования, т . к . при выполнений преобразования часто прихо дится пользоваться теорѳмамч 5 - 8 , которые обычно формулируются, доказываются, a таі ле легче применяются для степеней. При осво бождении от иррациональности гѳреход к степенной форме записи облегчает таете выбор так называемых " оопряжѳнных" выражений. Значительно упрощаются и преобразования. К тому же исключение из обраптг-:ия преобразований с радикалами избавляет от изучения ( а часто и заучивания) излишних фактов, "аких, как теоремы о пре
образований радикалов, их сумм, произведений, устных и степеней. Все эти теоремы доказаны выше для степеней с дробными показате лями. Их и надо применять при выполнении преобразований.
X - X - X
Как видно, изложенная в книге аксиоматическая теория тождест венных преобразований очень проста и вполне достаточна для выпол нения большинства тождественных, преобразований рациональных и простейших иррациональных алгебраических выражений. Для выполне ния тождественных преобразований более сложных алгебраических или трансцендентных выражений потребуется введение новых понятий и доказательство новых матеііатических фактов; Но такой задач" автор перед собой не ставил.
Конечно, совсем не обязательно следовать предложенным в кни ге образцам каждый раз при выполнении тех или иных преобразований: подобные преобразования надо вьаолнять бегло. Однако надо уметь при необходимости обосновать свои выкладки ссылкой на определе ния, аксиомы и теоремы,изложенные выше.
|
|
|
_ |
81 _ |
|
|
|
|
I . |
Введение |
|
О г л а в л е н и е |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
2т Глава I.Тождественные |
преобразования целых репиовальяых |
|
||||||
|
выражений |
|
|
|
|
3 |
||
я |
I.Алгебра |
целых рациональных в^ажений |
3 |
|||||
1. Алгебраические опервпии |
|
|
3 |
|||||
2. Множества |
с заданными яа них алгебраичеокими операциями |
4 |
||||||
3-Полугруппа |
одночленов |
|
|
6 |
||||
4.Кольцо многочленов |
|
|
|
8 |
||||
§ |
2.Основные |
положения |
|
|
10 |
|||
§ |
3.Степени |
с |
натуральными показателями .и их преобразования |
16 |
||||
§ 4.0дночлеьы и многочлены,их приведение к каноническому |
|
|||||||
|
виду |
|
|
|
|
|
|
18 |
1. Кадокический вид одночлена |
|
|
18 |
|||||
2. Приведение |
подобных |
одночленов |
|
20 |
||||
3. Простейший |
вид многочлена |
|
|
21 |
||||
4. Канонический |
вид |
многочлена |
• |
|
22 |
|||
§ |
5.Раскрытие |
скобок |
|
|
|
24 |
||
1. Раскрытие |
скобок |
в |
произведении |
одночлена и многочлене |
24 |
|||
2. Раскрытие |
скобок в сумме и разнооти многочленов |
26 |
||||||
3. Раскрытие |
скобок |
в |
произведении |
многочленов |
27 |
|||
4. Раскрытие |
скобок |
с |
применением |
формул |
29 |
|||
§ 6.Разложение многочленов на множители |
34 |
|||||||
I.Общие положения |
|
|
|
|
34 |
|||
2.Вынесение |
общего т..жителя |
за скобки |
36 |
|||||
3«Применение некоторых формул к разложению многочленов |
|
|||||||
|
на икожители |
|
|
|
|
|
38 |
|
4. Группировка |
|
|
|
|
|
|
41 |
|
5. Другие способы разложения чз |
«яюаители |
43 |
||||||
Ъ.Глава П.іоядоствеиные |
гтвобрззогоаия рациональных дробей |
46 |
||||||
- |
82 - - |
|
|
§ I.Поле региональных дробей |
|
|
|
§ 2. Основные предложения |
і |
( 8 |
|
§ 3.Алгебраические дроби и преобразования с ними |
S |
j |
|
I.Определение алгебраической дроби |
52 |
||
2.Преобразования про:'звеА ениг; и чѳотного алгебраических |
|
|
|
дробей в одну алгебраическую дробь |
52 |
||
3.Преобразование суммы алгебраических дробей в одну |
|
|
|
алгебраическую дробь |
55 |
||
t.О других преобразованиях с алгебреичесними дробями |
57 |
||
k.Глава Ш.Степени с |
рациональными локаьателяьл.их |
|
|
преобразования |
59 |
||
§ І.Стелени с целыми показэмелями,их преобразования |
G g |
||
1. Степень с нулевые показателем |
|
|
|
?.Степени с отрицательными показателями |
g j |
||
§ 2.Арифметический корень |
gg |
||
§ З.Стелени с дробными положительными показателями |
gg |
||
I.Определение |
|
g 8 |
|
2. Тѳореі..ы о преобразованиях со степенями с положительными |
|
|
|
дробными показателями |
gg |
||
3. Примеры |
|
7J |
|
§ 4.Степени с отрицательными дробными показателями |
72 |
||
§ 5.Преобразования степеней о рациональными показателями |
75 |
||
§ б.Простейшие'преобразования с ирраииональностями |
77 |
||
5.Оглавление |
|
p j |
|
