книги из ГПНТБ / Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие

2)

Если

Jm<2ti

,

т . е . m<-^f-

... то ^bm-Zn^*

2n-3ot

(

по определению).

Поэтому

($ni

- 2nJZ

+ Цігѣ

- 2.nj* = fS.-n- -2nj

+

+ [U

- H

= (in

- ^-(Ьт

- 2n) -

дистрибутивность

и ком­

мутативность сложения

*(5ю-2п)(3тг~2ь-і).

дистрибутивность.

3)

Если

Ьпь-

>.п.

,

т . е . т =

- г - , то Зт

-2п

= О и

потому

данное

алгебраическое

выражение

обращается

в

0.

§

3.

Степени с дробными

положительными

показателями.

(Sc

I - Определение. Если аЪО

,

meJV

и іьв

JV-, топ[а/"-

Л".

Согласно

этому

определению

*^р = 2 ^ /

S^d°-u^-CL'

(

см.примеры

в предыдущем пую.те).

В часаяом

случае

при

/ я - - /

получается:

= Л *

Дальнейшее изложение оудет построено с использованием следующей

леммы:

Если

о.-1>о

vi

ne/V

t

т о

а"-4л

Доказательство.

Из равенства

й . 1

ê

следуют

равенства

аа-ê>a

и

Clêт

Ü

или ( в соответствии с теоремой

I )

а1-

ея

и aê^ê*

. Пос­

кольку

(

коммутативность

умножения),

то по

свойству

транзитивности

равенств, CL1- ê 1 .

Аналогичные рассуждения позволяют заключать, что

е л

;

умножая

равенство

й - о

почленно

на Л

,

получаем

а

- "а

;

с

другой

стороны,

если

й " ж

êr'

і

,

то

й"

'в - ê*

.

Опять

же

^a,n<ê

и,

следовательно, О,11

- е л

. ( в этих рассукде

-

;:игас применен

принцип

совершенней

( мзтематической) индукции:

если

с-

утверждение справедливо \ш

некоторого

т. е//

и

из

справедли­

вости

его для

[п-^£А

t п-І7т)

следует

справедливость

рассмат­

риваемого

утвер:*де!і;іл для

ft

,

то утверждение спгзгэдливо для

любого

ьатурального

числа.)

-

69

-

Совершенно

аналогично

доказывается теорема 13:

если

2ïS>0

и

,то

Л Л > е ѣ

,

Новое в рассуждениях

лишь то,

что

вено^тз ( умножение обеих частей

неравенства

на положительное

чис­

ло,

транзитивность

неравенств).

Из доказанной леммы и сформулированной теоремы 13 олѳдуѳт

весьма

важное предложение:

Теорема

14.

Пусть:

0-7 0

и ê>0

,

п. в

JV

.

Тогда

из

равенства

Сіл-

е л

следует равенство

А * é

,

Доказательство проводится приведением к противоречию.

Предполагается,

что

a.?

S

,

Тогда по

теореме

13 й- * ? ê" ,у.іо

противоречит условию. Значит

Л } ê

,

Далее

предполагается,

г "!0

Ü. < ê

и,

следовательно,

СіЛг- ê*1

,

что

также

противоречит

условию. Поэтому

ci 4-&

.

Между числами

а

-я ê

может

быть

установдеяг

одно

и

только

одно

из

трех

соотношений:

&>ê,

&<ê,

й =

ê

(аксиома

упорядоченности-множества

действительных

чисся).

Ео

clfê

и

k £

ê,

стало

быть,

CL-è

,

что и

требовалось

дока- '

зать .

Так

же

точно

„ станавливается,

что при а. 70,

ê

7 О

и п. е/\/ •

из

неравенства

ал>е"

следует

неравенство

Си У ê

(теорема

15).

2. Теоремы о преобразованиях

со' степенями с

положительными

дробными показателями.

'

Поскольку формулировки

теорем

аналогичны

формулировкам

соот­

лями, нумерация

теорем

сохраняется

та

же,

что и

в главах

I и П.

- Теорема

Г.При

Q70

, meJV

, iteJV

,JejV

и % a JV

имеет место

равенство

а

а

=

а

г

j J[' =(г

j£ (у

I

Доказательство. Пусть

й

ê

,

а*

= &(•!). Тогда

^'^^'^^Ге^'Хопределение

арифметического

корля). Отсюда

-

70

-

a

=i>

a.

- £•

v. теорема

2 и лемма),

следовательно,

a,mS

агл- ê"S-

(

почленное

умножение

равенств).

Или,используя

симметриіпость

равенства,

теоремы

I и S для нату­

ральных

показателей и коммутативность умножения, можно преобразо-

/„

\Л5

ms

in.

mf+tn.

вать последнее

равенство:

(ВС

-а

а.

= а.

Теперь уже п- определению

арифметического

корня

іс*а.

п* .

„

m о-in.

ms

-

№• г

теорема

„

\

Но

- _ _

,

- _ ,

_

_

(

12)

т.

г_

(

следстпѳ

о сокоащѳний

алгебраических

=

п +

s

•

дробей),

и

«

£

:

.

_*Л

еа = а*аТ

таким

образом,

а7Гаі=а

что и требовалось-доказать.

Теорема

2.

При

а>0,

meW,

iveJV,

ieJV

и.

Serf

имеет место

равенство

fa

а*

*~>

/

лГ£

Q /

f~ е

®)

Доказательство. Пусть

Л л

- ê

и

і

=С

,

Тогда

по опрѳ-

делению

а

•= 6

,

б

* ь.

. П о

лемме

Û

» 6

,

е

= с

и,

значит,

û '

M

-

c

"

J

(tnztJV,

njéA'J^

(

транзитивность

равенств). Отсюда

à

= С -

S Т=

fa*JT

» Таким

"образом,

((I

&>lS

= d

л

's

(

симметричность

равенства и

теорема

10).

Теорема

доказана.

Теорема

3.

При

&?Q

, ê?0

, meß/

и né N

имеет

место равенство

(ÇLêj

*= a

êХ

(JKeQ*)-

Доказательство. Пусть

а л

= е

, ê'л

=/c

. Тогда Л

=<?Л ,

к. л

(

по определение). Следовательно, ûmén-ea^

*

или

(aê)m=(ckj*

(теорема

3 для натуральных показателей).

Тогда С**

r

(ftg)

л

(

иопользуется

симметричность

равенствг-и

определение

арифметическогс

корня);

но ск=апіп

(

по обозначению). По-,

-

71

-

Следствие 4 теоремы 10 будет звучать для положительных дроб­

ных

показателей так:

При

aie

, meJVy

a£JV

,

teßf

и

имеет мес-

то

равенство

, (%eQ+,f£

&

) , «eut

i j ^ f . .

Доказательство,

По теореме

I

О. "&

Тогда

я "

. л л # . s

fts

•=

ft*Ä

(согласно следствию о сокращении алгебраических дробей).

Следствие 5 этой же теоремы перефразируется следующим

обра­

зом»

,

При

а?о

,

$>0

,/n.eJV

и IbbjV

имеет

место равен-

1о

определению

°

' /а. \л

Р •те

Л

—

деления

• Ь

должно бы равнятьоя

^ .

Если это дѳйствительнв так , то теорема

доказана.

Преобразование

записанного произведения

убеждает

в

этом: (j-J *•

е

* =

= /т'

^

Л "

[ ' г е о Р в ы а

8

х

д

л

-7теорема

9.

Утверждение

доказано.

Примеры. Раскрыть

скобки:

I )

ft"-й.1

определение

отрица­

тельного

показателя

и

теорема I I

je-

.(te*

Г

теорема

I

W

M .

дистрибутизностьу

' Л. / i

77

[ следствие о сокращении

алгебраических

дробей

|(

a*

é

)

JL

(следствие

5

теоремы 10 и теорема

2.

£ .

л л г / è lui

л

І . І 4-1*

I

(теорема

сначала

коммутативность

умножения,

затем

дистри­

бутивность

теорема

8 и

2 (

применена

двгжды)

теорема

б

теорема

2 (

применена

Определение.

При

а>0

,

fn.e JV

И п. е JV

а л -

•

Примеры?

3

г — г ;

=

3 г

•

.

Следствие:

при

а?0

,

т. е N

и

л-еУк

ft

- --fg , ^ л ,

ѵ / .

Действительно,

по

определения

— з . = —у

=

й

п

-fa­

il »

-О.'1

(теорема

I

I ) ,

Теоремы

о преобразованиях

со

степенями

с отрицательными

дроб­

Теорема

I .

При

Qr70i

*,еОи

l^Q

ft.

''О -О,

.

Доказательство. Пусть

m

, П- ,

р

и

-

натуральные

числа.

Л.

Р

&

I ) Ѵ л f

<? .

W - f e 0

. Тогда

Û".' ft

Л - -

(по

определению

степени с

отрицательным

показателем

и теореме

А 0)

Теорема 3. При U70,

к t в

О имеет

место равенство

Доказательство весьма просто: пусть

я

,

где

определение

степени

с

отрицатель­

ным дробным

показателем

m

•

л et.

теорема

3

CL 11

ê п

t tu

,

•/.а.

теорема

10

CL

ê

= an-

m

ê

_ ch.

определение

степени

с

отрицательным

Л •

дробным

показателем

г

я г.

согласно

принятому

обозначению;

= а

<5 .

Таким образом, предложение дог-азано.

Также

просто

доказывается

и предложение, аналогичное

следст­

вию 5 теоромы

10;

При

&7О

,

ê>0

и t £

О

имеет место равенство

1*1

в

nu

, тле ni е У1У

vi ne

Л

.

Доказательство.

Пусть

•к

J

определение степени с отрицатель­

[ ij

'{6j

-

щ г

ным дробным

показатели

_

at

аналогично

доказываемому

утвержде­

ние' для положительных

дробных

6*3

показателей

теорема

I I

0

ал

теорема

10,следствие

б

m

С

определение

степени с отрицатель- ,

кым показателем