книги из ГПНТБ / Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие

-

59

-

m t-

Zma

*• ri1

(

теорема

12 )

m / t

.•

(

теорема

4

)

Отсюда

ГУѴФ

п. .

б) Часто умножение числителя и знаменателя алгебр?'*ческой

дроби на число или выражение,

отличное

от нуля,

значительно упро­

щает вцкладки. Так, не сразу бросается

в глава,

что дробь

9х * бхр> * рг

легко

сокращается. Умножение se

ее

числите-

ля и знаменателя

на S позволяет быстро

сократить эту дробь, запи- *

сать ее в виде

многочлена:

5(9xz+6xp+ p*J _ З(3х+Р)я

_

теорема

5

3(х+

і)

Зх+Р

ди стриб утивность

следствие

о

сокращении

алгебраической дроби

= Ûx + Зр-

ди стрибутивность

в) Иногда значительно упрощаются преобразования,

если

приманить

функциональна

подстановку. Пример:

X*

і

x*t2x+4

'

оси

I ХНІ

теорема

5 (к

знаменателю)

и следствие 4 теоремы 10.

Обозначив

-T~TJ~~

H, имеем

по теореме 5

Вернувшись к старым

обозначениям, получаем (j+

~xf •/ J

« (Hi.

+ _ 2 _ ) г=

Ы +

*

)

\

|теорема 12

- f w / -

приведение,подобных

одночленов

Глава Ш.

СТПЕНИ С РАЦШГШЬНЫМЙ ПОКАЗАТЕЛЯМИ,

ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

Глава третья имеет свое£ целью определить 'степени с нулевым,

отрицательным и дробным

показателями,

распространить

на новые по­

нятия

свойства

степеней

с натуральными

показателями,

рассмотреть

В этой главе

приняты

следующие

обозначения

J\f

-

множество

всех положительных целых ( натуральных)

чисел;

^

-

множество

всех отрицательных

целых

чисел;

Q* -

множество

всех

положитель­

ных рациональных чисел ( все натуральные числа

и

все

положитель­

ные дроби);

Q

-

множество

всех

отрицательных

рациональных чи­

сел.

Ç

I . Степени

с

целыми

показателями,

их

преобразования.

I .

Степень

с

нулевым

показателем.

В главе

П (

§

3,

п.2)

установлено,

что

при

т>п.

и

А У О

(meß/

к

ru&ß/

)

справедливо

утверждение Л !

Л - т

,

Чтобы это утверждение было справедливым

и

при

m

• /г> ,

необходи-

мо ввести следующее определение степени с нулевым показателем:

Определение: Есл"

Cit

О

,

тс

л'-

/

Следствие: т . к .

а

т

,

.

.

т.-т.

е

* "1 ,то

—— = /

и С по определению)

<Х-

* ос

по

свойству

транзитивности

равенств

і~ =

ctn

т

•

Нетрудно установить,

что

теоремы

1,2,3

справедливы

к для

степени

о

с

нулевым

показателем:

1)

ат-

ас

= ат-

і - ат - а т г 0

(аксиома б ) . Аналогично

а

а

= а

;

2) ( ' й " , ^ i ' - ' / = û 0 • - ü л " ,

(аксиома

7 ) .

' л 7

= / ' 1--CI - a

Так устано^ена

сгргведлизостьѵгеорем

I

и

2

для

степеней

с нулевым показателем. Теорема же 3 для

этого

случая

есть

простое

седствяе двух только что рассмотрен* -х предложений.

Итак,

со

степенью с

нулевым

показателем

можно

оперировать

тсѵно

так

же,

как

и

со

степенями

с

натуральными

показателями.

2.

Степени с

отрицательными

показателями.

Определение.

Если

&Ф О

и

K&JY

,

то

сС

= — ,

Очень важно понять,

что степень

о отрицательным

показателем так

жѳ как и степень

с нулевым

показателем,

вводятся

по определению,

что записанные

в

этих определениях равенства

н е л ь з я

д о ­

к а з а т ь . Действительно,казалось

бы удобное " доказательство"

і _ x — = a."''=ft"*

» где K&JY

,

ошибочно, т.к. ра енство

а*

а 1

= и°~к

справедливо,

как было установлено

в гл. П (§

3,п . 2)

а

_

;

только для случая

к. & Z

Следствие:

J

„

fr

прж любых

целых

/С .

-~ -

а

В самом деле,

если

K&JY

, то утверждение спргзедливо вслед­

ствие

свойства

симметричности равенств. Если

С=0

, утверждение

очевидно.

Пусть

с е г?

. Тогда ~

-

~4~

с

по определению

степени

отрицательным

целым по­

казателем

( - t e

N

)

-1С

согласно

теореме I I .

й-

ми показателями

формулируются также как и для степеней с

натураль­

ными показателями. Поэтому оставлена та же нумерация теорем.

I

"jopeua I .

Если те

£ и

п в 2 ,

то а?1-ал=

а****

Доказательство..

(

Для случая натураль-чх показателей

степеней

m

и п

тео­

рема была доказана ( это теорема I,§ S,

гл. I ) . Если хотя бы один

показатель

есть 0,

то равенство справедливо, как это

установлено

з предыдущей п. Г.

Iljcïb

один из

показателей

степеней

отрицателен.

I )

И Ь Z

m£jV. Можно

обозначить

, где

ß/ .

-

62

-

.ter**

a"

л

* - am-

Â

определение степенг о от­

п.

рицательным

показателем

a

теорема 9.

Возможны даме

2 варианта: а)

согласно следствия t из теоремы 10,

воли

л*0,

m уц. А следствия I из пре­

дыдущего

пункта.

б)

гп<1

. тогда

с^ггс+р

,m-q,*-P ,

peJY

а"1

лт

,

я (П.

теорема I

А

"vT*"

следствие 2 теоремы Ю

опредзление отѳпени о рациональным

показателем

^ /71-4

„т+П.

2)

-ce

2

.

-а

/Ь 6

JV

, іо

стоит

только

воспользоваться ком

m 6

Воли

мутативностью

умножения:

Л

• а,

~ и • л

,

Дальнейшие

раосуяде-

ння такие

же,

как и в

п.І.

s )

те

Z'

и

п е

2" .

определение

степени

й

•

Cl

=—^п

с отрицательным пока­

зателем.

а

а т

а"1

теорема

10

теорема

I

( - m £

JV

и

- л - е

)

-m + 1-nJ

-пх-п.

определение

сложения двух

рациональных

чисел

ди стрибутивно ст'ъ

-

а

определение степени с отрицательным показателем.

d

Все воьпожные варианты рассмотрены, теорема доказана,

Следствие

I : При Пиеіѵ.

п Ь 2г

^ ^ а м ' л

В самом деле,

^

= а

•

а'п

а'

Следствие

2:

£ t m

а

= •/

,

где

m е

£ , Действительно,

_т

„ -гк

m-m

о

а.

• &

= а

-

л-

ф чорема 2.

При те

і ,

л- £ £

и

а *

справедливо

равенство

(ааі)\ат'я:

Доказательство.

Если показатели степеней положительны или равны 0,

то

равен­

ство справедливо

( с и . т . 2 г л . І

и

предыдущий

пункт).

Остается рассмотреть те варианты, когда хотя бы один из по­

казателей

степеней

отрицателен.

I )

Кб 2'

^е^>[ат]

a

i

[определение степени

с

*J7nF~n-=

<а

J

отоипател-

показателем

теорема I

(

-neJV

)

отрицателным

а

4

коммутативность

умножения

я.

=

(X.Т П ' .

(определениее

степени

сс отрицательным показателем.

2)

^ /

/ ;

m e

r

Y

^

/

^

j

"

определение

степени с

отрицательным показа­

телем

следствие

к

теореме

10

теорема I

(-/п

£

)

=

а тп.

определение

степени

с

отрицательным показателем.

определение

сте­

la"1

пени

с

отрица­

тельным

показа­

телем

64

-

т. л

ассоциативность

умножения

и определение

умно­

жения рациональных

чисел.

Все варианты рассмотрены, теорема доказана.

Эта

теорема

имеет

интересное

оледств:-з:

(ам)Л-(ап-)т'

: действительно,

(а"*}"-атп=

Сѵппі--(сіл)'*

Здесь дважды применяется теорема 2 и

коммутативность

умножения

рациональных

чисел.

Таким образом, возведение степени в степень коммутатив-

но"*относительно

показателей

степеней.

Теорема

Р. При

те

1 1

tie

2,

к £ Z t

ê*Q

^сі^О

справед-

ливо

равенство

(а

Ь

)

»

&

Ъ .

Для неотрицательных целых покгэателѳй степеней

т,

п-

и

/с тео­

рема

была

уже доказан?

(

ом. теорему

3 гл.

I

и

предыдущий

пункт).

При т££,л^2ккеіѴ

доказательство

легко проводится при­

менением

следствия

о возведении дроби в степень.

Читателю

предос­

тавляется

возможность

сделать

это самому.

Ниже рассмотрены вари­

анты, при которых показатель

степени

к

€ Z

j

I ) -

mtjV.neJV

,*eZ'.

(атèn)K*

—1

определение

(йт6п)'

отрицательного

показателя

степени

теорема

3

(

- /

C Ê

fil

)

4

ПК

коммутативность

умножения

4

.

теорема 10 к свойство симметричиооти равенст­

_

Л-т<

$„•1

ва

-

а

/ПК

$п

ПК

определеиие

степени

с отрицательным

показателем

(

дважды)

2)

meJV

,ПѲ

1~

,

к е

1 \

I

n "

I

й

" 1

-

I-

[определение

степени

с отрицательным

/•

~ { £ - п

!

{показателем

и

определение степени с отрицательным пока­

9а

зателем

(применено

4 раза)и

нулегчм

пока­

зателем

2. Упростить следующее дробное выражение:

(К + р)(х- 4)4-

(кг 2

р

)

( х .

(к*р-м-гр)(х-Ѵ1

ди стриб утивни сть

1-х

(

дванды)

_;Ktp-K. + Zp)(x

-1)г_

определение

степени

с

отрицательным

показателем

приведение

подобных

членов

2ïf>*

тп орема 10, следствие 2.

х- Y

следствие

о сокращении

алгебраической

дроби ( к теореме 10)

§

2.

Арифметический

корень.

Дальнейшее

изучение

степеней

с рациональными

показателями

возможно

путем

введения

нового

понятия,

понятия

корня

(радикала).

I .

Определение.

Корнем

И - ой степени из

числа

Л-

назгва-

ѳтся такое число і> ,

fb - ая отепень

которого

равна

а,.

Обозначается

п[й

= b

,

отсюда

следует

ê"-- Ci

. Здесь

-

корень

П - о й степени

из

Д,

,

&

-

осьование

коркя,

n&flt

-

показатель корня. Так,

"f/6 = 2

кі^6'-Я

,

т . к .

Z "•fè и (-z)4--fB

С другой

стороны,

3{G4 = H

,

но 3/бѴ t-Ч

»

=• - k .

к)

Можно доказать . что корень четной

степени

из

положитзльного

действительного

числа

имеет два противоположных

действительных

значения, а корень нечетной степени

из дѳйствительно/о

числа име­

ет

одно действительное

значение.

Очевидно,

что

"|~сГ•= 0

,

т . к . 0*- О

Легко

установить

также,

что корень

четной

степени

из;,отрищ>

тельного

члела

не имеет

действительного

числового

значения.

*)

См.например, Д.К.Фадеев

и И.С.Соминский, Алгьбра,

час.ь П.

Учпедгиз,

1954, стр. 12.

1)

, т . к .

(й*)***1'*

(

теорема 2).

2) 6(c7471=t(aêi

т . к . (-ut>*-)^Hfci4U=

( т ѳ о р е м а 3 и 2)

= а6&'^)

в с ш о

о ч е Р е Д ь »

( а ^ )

Ï a6è'1.

{ теорема 8 и 2 ).

Иными словами: неотрицательный

корень

/ V - ой степени из не­

отрицательного числа называется арифметическим корнем / t - г й

степени из этого числа.

Итак, по определению,арифметический

корень

имеет неотрицатель­

ное основание и неотрицателен сам.

Примеры арифметических корней:

и *\cf êu---af.

еота<0;

J(a-e)\*a-ê

,

е с л и « * £

и

i(a-ê)z--è-ct

, если л

^

é . .

Применяя

приведенное "выше" определение

арифметического корня,

можно выполнять

некоторое

тождественные

преобразования.

Пример.

Упростить следующее алгебраическое

выражение:

(im

-Zn.}**

Jf3m-2n.)*

I )

Если

Ът> 2ѣ t т . е . лг?—,

т о ftt/n -2п)"

-Зт-2п

(

по определения). Поэтому [З/п - 2^гV^3m-2aJz^

(Зт -fnj**

г[Ьеп-2л]

im -2л)\5т -2п +і)

|по дистрибутивности.