Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Г		"I			- ад	-
	fla?;		%(х)		_-9(х)9,(х).			определение	умножения
[0(XJ		' ад/Г	OA)	'	Q(x)Q,(xJ '		Qfx]*
								определение	умножения
'	[Qtxj-QJ*)]		Qz(x)	'
								ассоциативность умноже
,	Wx)№(x)-		%(*)]	.
	0(x)[QJx)-		Oz(xJ]	'				ния многочленов

	1/(x) '	Q<(z) • Qt(x) '		ON]		QJx) ' QJxj\		определение	умножения
								рационаді чых	дробей
5) Дистрибутивность				умноже ;ия рациональных дробей относительно
	сложения их.
	9(х)	fyxll	% (*)		ÇWQfy+WM		fjz)	определение	сложения
\0(xj		* Q,(x)\' Q^x)"				6MsjQ,(x)'qq'^		рациональных	дробей

l?(x) Qjtyt	Q(xj fi (X)] %
[GM	Qbfl&W
[9(x)Q, (zj]f„ (x) + [Q(x) 9, fxj]			9X (x}_
Q(x)01(x)Oi(x)
f(x)Qi(x)P^x)		<?(х№(х)С>г(х)
Q(x) 0,(x)	Qz(x)	O(x) Q7(x) q	fx) '

9(x)%(x)Ç,(x) + 9t(x)%{xJ0fx) QMQityQH OffxjQtxjOfx)

Q(x)Qt(x! OJxjQz(x)~

9(x) <?Ф) 9jfxJ

Q(x) Gi(x) Q,(x) Q2(x).

!огределение умножения рац-іональнкх дробей

дистрибутивность в коль це многочленов

опоеделение сложения рацион?чьных дообей

\частный случай;

коммутативность умножения многочле"ов

теорема С стр.ч5)

определение умножения рацион-упннх дробей

Аналогично доказывается левый дистрибутивный за.;он.
Противоположной			для	ЯВВЛЛІІ..ЗЗТТС Я		рациональная дробь			- — ' -
			Д Л Я						О(х)
т . к .	9(х)	Пх)		Ç%x}-№)'-- О

	QM	G(x)		Q(x)
Итак, рациональные дроби образуют кольцо. Роль нуля играет
дробь	— ~	, роль единицы играет дробь					- — ^	Остается		уста
	С 'x)						<f(x)
ноэить	существование			обратного	элемента		для - в у	и	тогда
будет	доказано,		что множество				0(\			поле
					рационально: дрссо(! образует

( см.§ I гл .

I ) .

Обратной для

-757^]

можно очитать

рациональную дробь

воли

Çfxfît

. Действительно

Ш .

?(*;J2I?J • Последняя дообь

есть единица. Введение

обратного

эле-

W*)G(x)

мента равносильно однозначному определению деления (. кроме деле

ния на нуль, т . к .

Ф(я.)*0

) .

Итак,

множество

ра

циональных дробей

образует

поле.

Основные

предложения.

I . Дробные алгебраические выражения, даже самые простые,

ста

новятся при некоторых значениях входящих в них переменных бес

смысленными. Действительно,

из аксиомы 7 0'Cl-Ct-

О - О

сле

дует,

что

на

нуль

делить нельзя!

В самом деле, если

О* Л = О>

ірч любых

ЧИСЛОЕЫХ

значениях

Cl-

, то

запись

-^-

( п о

определе

нию деления),

не

имеет

числового

смысла. Именно поэтому

дробное

выражение

-—

не

имеет смысла

при

& = О.

. Из

О-&-О

следует,

что

О-at

» где

О,

Но это

значит,

что иа

нуль нельзя

делить и любое

отличное

от

нуля число. Так, дробное выражение

-^-j

не

имеет

смысла

при

X-Z

. Иначе говоря,

любое

дробное

рациональное выражение не имеет смысла при тех значениях перемен

ной, при	которых знаменатель ( делитель)		его	обращается	в нудь.
В связи с этим необходимо изменить определение понятия "тож-
дество",	т.к.,например, равенство	~ rct	не	является	тождеством
согласно	принятому в § 2 главы I	определению		тождества.

Поэтому дл? дробных рациональных выражений требуется уже иное определение тождества,

а Определение. Два дробно-рациональных выражения называются тождественными, если их значения совпадают при всех одинаковых наборах значений входящих в них переменных, за исключением тех значений переменных, при которых хотя бы одно из выражений теряет смысл.

-50 -

При выполнении тождественных преобразований дробно-рациональ ных выражѳнгй надо указывать множество значений входящих в них переменных, при которых допуотимы выполняемые гіреобразоваяия,или Свели ѳто проще) множество тех значений входящих в выражения пе ременных, при которых выполнять преобразования нельзя. При этом ясе значения переменных, при которых возмож.ю выполнять обозначен ные действия ( не приходитоя делить на нуль), называются допусти мыми;

2. Возможны различные определен.ія понятия "алгебраическая дробь". Можнѵ, определить алгебраическую дробь так, как была опре делена рациональная дробь в предыдущем параграфе. Тогда многочленчаотный Сличай алгебраической дроби (оо знаменателем I) . -

Многие авторы опрег.еляют алгебраическую дробь таким образом,

«по многочлены		уже не рассматриваются, как	частный	случгй алге
браической дроби. При этом обязательно знаменатель				алгебраической
дроби должьн содержать переменное; Последнее			определение		позволяет
строже дифференцировать понятиг " многочлен" и "алгебраическая
дробь",	поэтому	в школьном курсе такое определение		оправдано мето
дически. Такое определение и сформулировано в			§ 8.
8.	Возможны	по меньшей мере два подхода	к изложению		преобра

зований с алгебраическими дробями. Один из них аналогичен доказа тельству того, что рациональные дроби образуют поле (см. § I этой главы): операции сложения и умножения вводятся по определению, затем доказываются их свойства ( выполнимость законов операций), вводятся обратные операции. Второй подход состоит в следующем: законы арифметических операций постулируются ( что уже былЪ сде лано г гл 1), доказываются теоремы об арифметических операциях над алгебраическими дробями. Оба эти варианта допустимы в школе. Но поскольку в главе I уже были постулированы законы умножения и слокенит, в дальнейшем будет осуществляться второй вариант.

Так не будет нарушено единство изложения и- в то же время соблю

дена необходимая		строгость	его.
	В отличие	от обыкновенных дробей, так наэываемое"основное"
свойство дроби не		является основные для алгебраических дробей,
В школьном, курсе		едва ли целесообразно рассматривать отдельно опе
рации	сложения и	вычитания дробей, т . к . учащиеся уже			знакомы	с
понятием алгебраической суммы. Следует изучать преобразование						сум
мы алгебраических		дробей в одну дробь и обратное ему преобразование
алгебраической дроби в сумму алгебраических дробей (еоли это						воз
можно). Не целесообразно противопоставлять таісэ умножение и						д е
ление алгебраических дробей, лучше деление на дробь					рассматривать
как умножение на		обратную дробь.
§	3. Алгебраические дроби и преобразования о			ними.
I .	Определение алгебраической дроби.
Йз дробных рациональных			выражений выделяются	те,	в которых

имеется лишь одна операция деление,-Часто эта операция бывает пос ледней по порядку. Такие дробные алгебраические выражения назы -

веются	алгебраическими		дробями.
Определение		Т. Дробное рациональное		алгебраическое выражение,
в котором обозначена лишь одна операция деления, и эта операция
пойидняя по порядку,называется алгебраической дробью.
Примеры алгебраических дробей:				\ тг~г ;	—Ч	І
Clé	-ZS6plK%	. -%	. _ .			,
:	£ — „ •		. Дробные рациональные выражения

»алгебраическими дробями считать нельзя: в первом из

них деление не является последней по порядку операцией, а во втором операция деления не единственная. Нельзя отнести к алгеб

раическим	дробям и выражение -	- *<І-~5Ж-.	т > к < п о определению
2 § 2 г л .	І это выражение целое	( делитель	не содержит переменного).

-	52 -
Таким образом, отличив алгебраической дроби		от рациональной
по принятым определениям	заключается в том, что	многочлены, кото

рые можно считать частным случаем рациональных дробей, к алгебра

ическим дробям	отнесены иыть	не могут. В связи с этим можно ига-
че )пределить	алгебррическую	дробь:

Определение 2. Алгебраической дробью называется частное двух целых рациональных выражений, делитель которого содержит перемен

ное в степени не ниже

первой

не равен

Впредь алгебраические

дроби

будут

обозначаться

» где

в+О , Ci Y в

целые .рациональные

выражения.

Определение.

Две

алгебраические дроби

~jr

называют

ся равными,

если

выполняется

следующее

соотношение:

асі^

8с

х М ж + У

( * • " ) *

. Действительно,

Например, —

fj—••

x*_x

(х V Z * ч ) ( х

2- *) = (X+і)

г(* z

х) '

теорема

(х2-хУ*+-/)*

коммутативность умножения

диет риб утивно ст ь .

В частности

' "

самом деле,

а-О. S

(аксиома

8) .

2. Преобразования произведения и частного алгебраических

дробей в одну алгебраическую дробь.

Для доказательства последующих теорем потребуется такое

вспомогательное

утверждение:

Теорема

• ê

. •


Доказательство:		Очевидно		тождество g~~'jf~		• 0 т с и Д а п о
делению деления		а -	• $	, что и требовалось доказать.
Теореыа	9 применяется			при доказательстве		теоремы 10.
Теорема	1С.	A . Ü - _ - i i £			Іо,сі0

опре

е	І CL gel >

Доказательство?

По определению деления должно бы выполняться равенство

- 53	-
л Л - А IL.U* Оно действительно	выполняется, т . к
	коммутативность	умножения
	аосоциатчвносіь	умножения
	теорема 9

- 5

Г,

etc

*• с д а Д ° т : в и е

оимметричнооти

равенств.

Следствие

~сі

Следствие

( 0

сокращении

алгебраических

дробей),

ас

следствий I

ее

а.

следствие из определения равенства алгеб

раических

дробей

аксиома

Ѳ.

бедствие

Теорема

справедлива

для любого

конечного

числа

множителей.

Следствие

- лл'л,

если т,л,£#,

а*О.

Действительно,

ит*

а*~* а

*" ( теорема

I ) . Тогда

—ТГп-

согласно

олѳдотвию

/а.

і *

Следствие

(jy

-JT

. Доказательство очевидно.

Можно доказать

С по индукции)

справедливость

равенства

(ІУ г

Л И

О О г 0

натурального

Следствие

б.

a » ^ .

Замечание

I . Следствие

2 можно' применять к

сокращению

алге

браических дробей илько в том случае, когда числитель и знамена тель сокращаемой дроби разложены на множители. И сокращать мож

но только на множители,	на которые разлагаются		числитель	и энаме-
натѳль. Так, сокращение	алгебраической	дроби	~j^^JJ^	—^—
„правомочно при хФ-і .	Длгебраичеокую	дробь		нельвя

сократить на Сс , т . к . CL не является множителем в разложении знаменателя ( знаменатель этой дроби неприводим). Иными словами, знаменатель нельзя представить в виде произведения, одним из

-.54 -

множителей которого было бы выражение СО.

Замечание '2;-' Нельзя производить сокращение алгебраической дроби и на множитель, равный О С или алгебраическое выражение,

обращающееся в нуль при ьекоторых значениях переменных). При сок

ращении на алгебраическое выражение поэтому бедует						указывать,
при каких значепях переменной можно (или гзльзя)					выполнить		сок
ращение.
Пример.	~j^^pr-=	ä+6 ^?"	a + htO ,т . ѳ	при		А* - *»
Замечание	3. Следствие второе		применяется	не	только к		сок
ращению алге'раических		дробей, ко и к "расширению"				их. Дело	в том,

что во многих случаях приходится умножать числитель и знаменатель

алгебраичечкой

дроби на одно

и то же вараже ;ие ( отличное от ну

л я ) .

Например,

^VS^^f!'

(следствие

2 теоремы

определение

степени в ч/олителе

гг-Ч

и теорема б в знамеш-іеле.

Теоремл

I I .

- £ - -- ~

(&*•<>, е-О, ci *

о)

Доказательство.

По определению деленик

должно

бп б ы ь

7s "" § г

* Гі-

«Но это действительно

так:

теоро-ма

'et

~éc<

ассоциативность умножения в числителе и знамена

" S

fed)

теле

&(cai

Коммутативность

умножения

чиил.ітеле

~ J(cä) '

следствие

2 теоремы

10.

Примеры применения доказанных

теорем

I )

Ci,

~ 2(m-Kj.

fad

следствие 3

теоремы 10

(т+п)(гп-п)

6л (т -к)

S/n+ic, т. * о, a * о) .

коммутативность

умн-жения

т. • (-а. ( m -rz)

многочлеиов

(mrn )(іъ,-п)[Ça

(п-с)]

ассоциативность

умножения

m ßa,

(ni

- *) ].

многочленов

S3 -

rn.
схг- За*	fa*-3x)-3fa _
-/äx	fa*-3x)-3fa _
а*-Зах.	•І2х(аг-3ах)~

х- [M fa >-За*) J

- *a<

(-5)4*

(

'2f4"M'a'

34Q,lêx[3''25a.ei*]

3 V *

емдотвие 2 теорэмы 10

творена 6.

теорема I I

коммутативность и ассо циативность умножения

следствие 2 теоремы 10

( а.* О ,а ~Jz.)

следствие ч теоремы 10

теорема 8

теорема 10

теорема I, ассоциативность

и коммутативность умножения.

следствие 2 теоремы 10

( at О , в+û )

3. Проеобразование	суммы алгебраических дробей в одну
алгебраическую	дробь.
Теорема 12.	* f - к	Jt	>
		Jt	>

Доказательство. I ) По дистрибутивному закону умножения по от ношению к сложению можно вынести за скобки множитель -^- :


jer	je	,с к i"-TVT*-J-			^	,	по следствию		к теореме Ю.
2) Можно доказать эту теорему					умножением			обеих частей		доказыва-
%мого	равенства		на k '	f•%•+•$• +Ц^-) • t				= ft.^6	по	свойству
				I *С .	К-	1С /		£
равенств		Гвелис.а. ~ê, то Ож = &сt					к-1о).
( к.	к,	ю J	>с	к. 'Кі'Лс",с		~ J дистрибутивность
sCLtêrâ		•	(трехкратное		применение			терремы 9.

Правая часть равенства преобразуется на основании теоремы 9:

—+-	• le - a , êV e	. Такии образом,			правая я левая частя
равенства	тождественна,	что к являвтоя доказательством				теоремы.
Следствие} теорема		справедлива для любого натурального числа
слагаемых.
Примечание. Поскольку			я	лг	- много члени,	то речь в
этой теореме идет об алгебраической				оуммѳ рациональных		дробаі.

Следовательно, теорему 6 разности алгебраических дробей специаль

но рассматривать		не надо»
Пример:			,
р+і p-Z		З.р+5	рч*(р-г)-(2р+з).	I	•
f^tJ=r--p-=T=			\ — \| т в о р в м а Е .
P+4+P-Z-ZP-5			ассоциативность	сложения и дистри
	р~4		бутивность
	р~4
р+р	Лр+4-г~г		коммутативность	сложения
	M		приведение подобных членов в числи
р-1			теле.

Доказанная теорема дает возможность .преобразовать в одну дробь сумму алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями; Чтобы применять эту теорему к преобразованию алгебраической сум мы рациональных дробей с различным! знаменателями достаточно преобразовать каждое из слагаемых так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это очевидный факт,- не требующий доказательства. Таким образом, чтобы преобразовать сумму алгебраических дробей с

различными знаменателями в одлу тождественную этой сумме алгебраи ческую дробь, достаточно прежде применять к слагаемым суммы след ствие 2 теоремы 10, a заіем уже теорему 12. 8 этих целях часто бы вает необходимо знаменателя слагаемых предварительно разложить на множители.

- 57

Пвимер.

a.1- H

a -3ê

g +г£

g*--et

д~з§

а+я_ё._

а^аі

t ßc-ав

2а

'За,-Зс '('и -e/a-cj + zfa-ô)

f 3(<*-с)~

С разложение

каждого

знаменателя

на мпожител.. пусть

пояснит чи

татель) „

6(a.-è.)(a^)

e(u-t)(&~e)

6(a-è)(a-a)

следствие

теоремы Ю

, €fal- âcJ+fa-3£J- oÇa -cj >• 2fa - Bjfa f H)

i т

е о

р е м а

эта дробь монет

быть упрощзна раскрытием скобок и приведе

нием подобных

членов

в числителе и, если возмехно,

последующим

разлояениеь: члелителя

н? множители и сокращением полученной ал

гебраической

дроби. Во всех проведенных

преобразованиях

следует

учитывать область существования рациональных дробей,

над которыми '

выполняются преобразования. В рассматриваемом

случае,

очевидно,

данные дроби имеют Змь-сл при

а*-&

к Л*& .

Таким образом, доказанных

выше

предлокений достаточно для

выполнения

преибразозанпк произведения,

суммы и частного

алгеб

раических

дробей.

О других

преобразованиях

с алгебраическими

дробями,

а)

Не следует

забывать, что законы арифметических

действий

применяются не только

при доказательстве

теорем о

преобразова

ниях алгебраически;, дробей (

см, например,

теорему

10). Так же

как и при выполнении

преобразований

целых

рациональных

выражений,

коммутативные, ассоциа.йвныѳ

и дистрибутивный

законы

часто облег

чают преобразования с рациональными дробями. Поэтому надо быть

внимательными и применять эти законы там, где они облегчают

преобразования ( выкладки). Низке приводятся примеры применения

законов действий к преобразованиям с рациональными

дробями.

e+cL

cet

' e-i-ct ~ tra

~ е-сс

коммутативность

сложения

t+x	t-x	ce
td.	e ••<•/	C-CL

J J

ассоциативность

сложения

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202317.3 Mб35Кан К.Н. Механическая прочность эпоксидной изоляции.pdf
#
19.10.20231.25 Mб17Кан, К. Н. Оценка работоспособности полимерных компаундов.pdf
#
21.10.20238.84 Mб21Канаев, А. А. Парогазовые установки. Конструкции и расчеты.pdf
#
29.10.20233.74 Mб14Канев Н.Ф. Лесная почвообрабатывающая фреза (особенности конструкции и эксплуатации).pdf
#
19.10.20237.49 Mб33Каневский, В. М. Пособие стрелочнику.pdf
#
19.10.20233.35 Mб17Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf
#
23.10.20234.9 Mб95Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf
#
23.10.20238.61 Mб18Канунников В.Ф. Вентиляция заводов производства строительных материалов.pdf
#
19.10.20236.2 Mб47Канцепольский, И. С. Глиеж-портландцемент для гидротехнических сооружений.pdf
#
19.10.20232.26 Mб8Каныгин, Ю. М. Научно-производственный цикл (вопросы теории и организации).pdf
#
29.10.20234.1 Mб21Канюка Н.С. Памятка машиниста башенного крана.pdf