книги из ГПНТБ / Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие

коммутативность

сложения

» (&*•'+iyf Va4g)*

приведение подобных

одночленов

дистрибутивность

и

коммутатив­

ность умножения.

В п.4 §

5 доказаны теоремы,

пользуясь

которыми,можно

быстрее

р а з ­

лагать на множители разность квадратов,сумму

кубов, многочлены вида

&*'І- faê'в*

и

Эг^е+Зае** і 3

.Следует

заметить,

что наиболее

"потребителъны формулы для разности квадратов

и

трехчленов.

I ) Разложение двучленов по формулам.

Двучлены, одночлены которых не имеют общих множителей, допус­

кают разложение на множители, если они имеют вид

разности

квадра­

тов или

суммы кубов. Как

уже

говорилось,

сумма

квадратов

( над полем действительных'чисел)

на множители

не .разлагается

^

Примеры

теорема

6

и

симметричность

равенства

теорема

б

и

симметричность

равенства

_

теорема

8

теорема

8

и

симметричность

равенства

дважды

применена теорема В

с.помощью теоремы Безу

устанавливается,

что

«ад полем дейсим -

тельных

чисел, ал*€л

при чэтном

показателе

я нельзя

оеэложжть

на множители, один'на которых вбтъа'£ } лрн нечетном пзжаазд»-

ле л

-

можно; а л-£

всегда разлагается

на

множители,

ОДЙЖ

жя

которых

есть

а S .

2) Разложение трехчленов по формулам.

Из трехчленог

по формулам можно разложить на множители

лишь

полные квадраты,

т . е . трехчлены вида ttx+ 2a-è+ ег

,где

а- и S

теоремы

5:

Пример:

qûSf'-ity1***'''*6-

*(43р'МйзрУГ-л*0

+ Н*Ул-

I

и к о м м у т а т и в н о с т ь

= (О,Зрл-£<У*

(теорема 5,

замена

вычитания сложением.

Если слагаемые заданного трехчлена расположены в другом поряд­

ке, чем

это требуется в формуле,

нужно,

пользуясь

комыутатив

-

ностью

сложения,

расположить слагаемые

ь требуемом

порядке.

В приведенном выше примере второе слагаемое в

трехчлене

имеет

Это вполне допустимо,

т . к . одночлены ( СХ- и

S )

могут

иметь,

вообще

говоря, как

положительные, так и отрицательные коэффициенты.

8)

Разложение

четырех члена

по формуле.

К разложению

на

множители

четырех членов -

полных

кубов

-

применяется теорема

7:

а

данном

четырехчлене

выделить

такие

два одночлена, чтобы

после Ш5Д=

Етановки их вместо

а-

и è

в формулу теоремы 7 левая часть запи­

салась

именно в таком

виде,

как это

задано в теореме 7.

Так,

многочлен

X3-

3%у

t іху^^гдовлетворяет

теореме

7, если считать

а*Х

,

ê = -y

І

Многочлен

же х

Зх^-Зху*"-у*

теореме

7 не

удовлетворяет (

если а*х , в*-у

, то

Злгё*-3х*у

,

в за ­

данном же

многочлене

это слагаемое имеет

вид Зхд

;

при этом жѳ

значении

è

третье

слагаемое должно иметь

вид

Зхул

,

а не

- 3xyz

» как это задано

в условии). Никакая

перестановка

слага­

емых и множителей ( на основании коммутативности)

не приводит за ­

данный многочлен к форме,

запиоанной в теорема

7. Применить эту

теорему

к разложение

на множители

заданного

многочлена

нельзя.

Ниже

приводится пример разложения

на множители

о помощью

теоре­

мы 1і

Коммутативнооть

сложения

=(Zf>f-bbf-*.* 0,54^+(-0,2*)

-

теорема

3

-*(2ff+3(2ifi-o^hî

МФЛ)

Ч'С~Ч

К

коммутативность

умножения

и

теорема 3

теорема

7

замена

сложения

вычитанием

Замечания,

выоказанные в этом

пункте,

полностью

отноятоя х

предыдущим

пунктам этого

параграфа. Но применение

теоремы 7 ж

разложению

на множители более

затруднительно,

чем теорем

5,6,8.

Поэтому

при разложении

многочленов

на.множители о помощью теоремы

7 следует соблюдать особую осторожность, иначе могут появитьоя

ошибки, преобразование может быть выполнено неверно.

Некоторые м-.огочлены допускают

применение

теорем

5-8

р а з л о ­

жению их на множители

лишь после вынесения за

скобки

общего мно-

жителя:'

коммутативность

умно­

жения и теорема

I

|дистрибутивны*

зеков

I дважды

использована, теорем* 8

= 5&ег[Яа? + (-ЩР&г)г-

2а (-3ê)

теорема о суше кубов (8)

. ÇoJt)*(2c£-tâ)l{Zaij*'- 2&(~3ê)t(-$&)*']~

(замена

вычитания

сложением

теоре,.;а

3 (

приме не ьа

дважды)

и прч

ведение

одно'йена к каноническому

виду.

ность сложения,разделить многочлен на группы слагаемых,

которые

имеют общие множители, причем

такие,

что после

вынесения

за

скоб­

ка общих мпожителзй в каждой

группе

слагаемых

оказывается многс-

члѳнный множитель, общий для

всех групп. Таким

образом,

новый

способ разложения на множители заключается"в группировке

слагав-»

мых заданного многочлена С применением коммутативного закона

сло­

общий многочленный

множитель в полученных группах.

Пусть Ajß.e.p

- одночлена. Тогда aè+ac

tpê+pt

„многочлен.

aßtct-c+pe tpt

=(a6tac)+(pê>t-pc) •

ассоциативность сложения

дважды

применена

= (a+p}(ê+C):

дистрибутивность

Iди стрибутй вно сть

Если многочлены

dtp

и ê+C'

непривэдимы,

то разложение за ­

данного многочлена на множители выполнено.

В рассмотренном случае одночлены,

имеющие

общий мнояитель,

[приведение подобных

одночленов.

Второй

пример:

ассоциативность

и

дистрибутивность

коммутатипость

умножения

теорема

5

замена

сложения

дичитанием

теорема

б

ассоциативность

для

выражения

в первых квадратных скобках и дистрибутивность - для вторых,

квадратных

скобок.

5.

Другие способы разложения на множители.

I )

Разбиение слагаемого.

Некоторые многочлены, не разлагающиеся на множители выше опи­

санными способами, могут быт., разложены, на множители

с помощью

такой прием «еобходим уже тогда,

когда

приходится

доказывать тож­

дественность равенства Ciz-t2cib +

futВ)г

без

предварительно^

г© доказательства теоремы 5: fatèji-u!tt2ciêt

Действительно,

разложение

слагаемого

в тождественную

ему

сумму

С ассоциативность сложения)

коммутативность

умножения

-

44

-

ассоциативность

сложения

левый дистрибутивный

закон

правый

диотрибутивный

закон

теореыа

I

Аналогично

поступают во многих других случаях. Вот

примеры:

С

с *+ Пс

1-32 = с *+(?+ч)с +3Z

разбиение числа

12

на

слагае­

мые

дистрибутивность

и

ассоциа-

_явность

коммутативность

умножения,

дистргбутивный

закон

(дважды)

дистрибутивный

закон.

Оба множителя-лине Иные двучлены,

разложение

на

множители

выполнено,

. 2 ) д ' ^ г л Ѵ я Ѵ ^ + У - х Ч г & х ^ + І х і - і .

замена

слагаемого

суммой

двух одночленов

(гссоциа-

тивный

закон)

ассоциативность

сложения

= х*(хг+2х

+ 1) +

(хх+2хН}*

дистрибутивный

закон

правый дистрибутивный

закон

=

(ххЧ)(хЧ]Л.

теорема

5.

* z W H xti

-

неприводййые

многочлены, разложение

на

множите­

ли

выполнено.

2) Введение

вспомогательных

слагаемых.

Введение в

многочлен

суммы двух противоположных

одночленов

позволяет иногда разложить многочлен на множители. Так над полем

Действительных

чисел можно разложить

на множители

двучлен

иѵл^£*?

где

л É И

:

в

аксиома

б и

определение

суммы двух

противоположных

одночленов.

теорема

5 и

ассоциативность

сложения

фіа+

è^fla'êif^è^-fZa'ê*].

|теорема

б.

Двучлен aV r t + 4'é Ѵ л можно разложить

на множители

и над

полем

рациональных чисел

аксиома

6

и определение

суммы двух

противополож­

ных одночленов

ассоциативность

сложения

и теорема

5

теорема

б.

Пример*.

ассоциативности сложения

теорема

5

= (хгг2

+

2х){хг+Я-2х).

теорема

6;

1)

вынести ofчай множитель за скобки,

если таковой

имеется}

2)

применить одну нэ рассмотренных формул, если возможно;

'а)

если применить формута не удается,

то проверить

возможность

множителя за скобки, ия* изученные

формулы;

5) выполнить дополнительные

преобразования, способствующие раз­

ложению многочленов на множители (

разбиение

слагаемого,введение

вспомогательны): слагаемых и д р . )

и

приводящие

к одному из преды­

дущих пунктов.

46

-

Глава

П. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

§ I . Поло рациональных дробей.

Определение

I .

Рациональной дробью ( или дробно-рациональной

функцией)

называется алгебраическое

выражение вида

. ^ х -

,

Q(x)

где

Ь'(х)

и Q(x-)

многочлены

одного

переменного,

причем

Q(x)t0,

Поскольку всякое целое рациональное выражение можно тождест­

венно

преобразовать

в многочлен,

то

понятие

"рациональная

дробь"

распространяется и на частное двух любых целых выражений,

лишь бы

соблюдались условия, наложенные на знаменатель.

Далее

будут рассматриваться

рациональные дроои, числители

и знаме­

натели

которых

есть

многочлены.

0/х)

Ф fr)

Определение

2.

Две рациональные

дроби

назы-

-î— и

îllsz.

Q(X)

Qf(Xj •

ваютоя равными, если выполняется равенство

9(х) • Qfx)*. Q(x)- <%(х)

Теорема.

,

Ш*0.

к

Q(X)

Q(x)Afx)

)

ш

J

Для доказааельства достаточно проворит*, справедливость равенства

Wx) [О(х) hM]

х

ОМ[?(х) &/*)] Д е Яствительно,

ассоциативность

умножения в

і.эльцѳ многочленов

коммутативность

умножетия в

кольце многочленов

- Q[x)l$rx)№)].

ассоциативность

умножения в-

кольце многочленов.

Теорема доказана.

I

Операции сложения и умножения вводятся по определению:

Q(x)

QMQiCx)

2)

Oï*l

?i(*J

• O(x) Q<(x)

•

Q,(x)~

ЗЙК ^(Х)І-РІ(Х)

Частный случай

сложения:

Ю. *

Qfx)

Qtxj-

ç>/xj

•

по определению

~ & (*)(?{*)

коммутативность

уыгожения

в кольце

многочленов

коммутативность

сложения в

кольце

многочленов

Гу(х)

M l

0<Х)9>ІМ

.<*AJ

определение

\Щ*

Qjvf

Q(x)G>if*J

®*{x)~

сложения

определение

сложения

-

W * ) O i t v j t

(?(*)№'(*)QtM+

Q,MW*l_

дистрибутивность

и

ассоциативность

в

кольце много­

членов

9(x) Q1 (*) Qx (x)+Q(x)%(x) Q/*)+ Q(*)Q,№ M

ассоциативность

умножения и дис­

трибутивность в

кольце многочле­

нов

определение

сло­

жения

9(*J

_ _

определение

сло­

~-

Q(*)

[<?,(*) '

(?/*)].

жения

8)

Коммутативность умнож'чия рациональных

дробей

определение умножения

коммутативность в кольце

многочпноз

определение умножения

ч)

Ассоциативность

умножения рацконельннх

дробей;