книги из ГПНТБ / Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
- |
28 |
- |
|
|
|
|
* йх + йх + схч-сш+ви-+сфар>&>*сА трехкратное |
применение дистрибу- |
||||||||||||
- ^ t ^ r ^ + ^ / r p y t ^ |
uf |
Т Т\ тивности.. |
ассоциативность. |
||||||||||
Легко |
заметить, |
что последняя |
сумма составлена из |
произведений |
|||||||||
каждого слагаемого |
первого многочлена на каждое слагаемое |
второ |
|||||||||||
го |
многочлена. Так і: должно быть, |
потому |
что, применяя первый |
||||||||||
раз |
дистрибутивный |
закон, находили произведения первого многочле |
|||||||||||
на на каждый одночлен |
второго; второе применение |
дистрибутивного.: |
|||||||||||
закона дало |
нам произведения |
каждого члена первого многочлена на |
|||||||||||
каждый член |
второго; |
аналогично, |
в третий и четвертый раз приме |
||||||||||
нение |
дистрибутивного |
закона |
дало |
в результате произведения каж |
|||||||||
дого |
члена первого |
многочлена |
соответственно на второй и |
третий |
|||||||||
члены второго многочлена. Итак, доказана теорема 4: Произведение |
|||||||||||||
двух |
многочленов |
есть |
многочлен, |
члены которого есть произведе |
|||||||||
ния каждого |
члена |
первого многочлена на каждый член второго. |
|||||||||||
|
|
Теорема |
справедлива для произведения |
любых двух многочленов. |
|||||||||
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ф |
ЫЧ-fai*- |
3i*)(fa |
- Н)~ |
|
|
|
|
||||||
, a*, fa і-гаЧ-f* |
-Saé*-fa |
-Ъ$*-$а + а*(- |
4B)tZcizêHê}-faêi-iih |
||||||||||
-3ês{-4&)* |
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема 4 |
|
|||
- Зач+ №3ё- ZSalêl- 13а $*- Ч&ЧФ f±20al4tè |
'приведение одночлена |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к простейшему |
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приведение многочлена |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж простейшему |
виду |
|
|
|
Таким образом, после |
раскрытия скобок в произведении |
двух |
|||||||||
многочленов |
часто |
бывает нужно упростить полученный многочлен, |
|||||||||||
т , е . |
привести его х простейшему (а ѳце лучше х каноническому) |
||||||||||||
виду. Время от времени полезно при атом остаться |
на основные |
||||||||||||
предложения, т . е . обосновывать выполненные преобразования осад |
|||||||||||||
кой на основные |
аксиомы и определения. Так, в последнем примера |
||||||||||||
- 29 -
преобразование полученного иногочлена объясняется следующим об
разом: = 5а*а* 2-5а*ае - 5-$аа,&*-а-$(^*1.(.ч)я.Ч-1-*(-ч)а.лее-
|
|
|
|
|
|
|
|
іпряыенегга |
коммутативность |
умножения |
|||||
-jS-(-4)]a№ |
|
ß/'ß/'^/J/f |
|
|
|
(ассоциативность умножения |
|
|
|||||||
~М+7№Ч'-КьЧЧЫ*-Ш |
|
|
|
'рациональных |
умножения |
||||||||||
|
|
' |
|
|
1 |
|
|
|
чисел |
и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теооема |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коммутативность |
сложения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
li- ассоциативность |
сложения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дистрибутивность |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определение |
сложения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рациональных |
чисел |
|
||||
|
4. Раскрытие |
скобок |
с применением |
формул. |
|
|
|
|
|
||||||
|
В некоторых частных |
случаях, когда множители |
в |
произведении |
|||||||||||
многочленов |
или равны,.или |
обладают некоторыми другими |
особен |
||||||||||||
ностями |
(например, |
один из |
множителей |
есть |
сумма, |
а другой |
- |
||||||||
разность |
одних |
и тех же одночленов) удобнее |
воспользоваться |
спе |
|||||||||||
циальными формулами для сокращения выкладок. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Л |
Пусть |
л- |
и |
ê какие-то одночлены. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема 5. |
(О квадрате |
двучлена) |
(a+ê) г*аг'+ |
|
2а4+е1 |
|
|||||||||
|
Словесная |
формулировка: |
квадрат |
двучлена равен |
сумме |
квад |
|||||||||
рата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагае мого на второе и квадрата второго слагаемого.
Доказательство.
по определению степени с натуральным показателем
• асиает êa. г @£ = |
|теорема 4 |
- |
30 - |
|
|
теорема I |
|
|
коммутативность |
умножения |
* а,**{а$+аЛ)+$іш |
ассоциативность |
сложения |
|
приведение |
подобных |
членов. |
Теорема |
доказана. |
|
|
Далее раокрывать скобки в квадрате |
суммы двух слагаемых (в |
||
рассмотренном |
олучае - двух одночленов) |
полезно |
о помочью стой |
теоремы. |
|
|
|
|
|
Следствия: |
|
|
|
|
|
1) fa-W-Cat/'iJ']' |
• |
замена |
вычитания |
сложением |
|
••:а*+*я{-і) |
|
теорема |
5 |
|
|
|
|
коммутативнооть |
умножения. . |
||
|
|
определение |
произведения двух |
||
|
|
рациональных |
чисел; |
||
2)(-я**)*-**-******-
Следствия 2 и 3 предлагаются читателю для самостоятельного доказательства.
Нет необходимости запоминать все 4 формулы, полученные при
доказательстве теоремы 5 и ее следствий. Достаточно знать лишь первую Формулу (теорему 5), т.к; в трех других случаях знак (-) может быть отнеоен к одночлену, что и было сделано гри доказа тельстве следствия X, В практических применениях теорѳмь 5 одно члены д и і мсч ут, иметь как подовительные, так и отрицательныв коэффициенты.
Примеры:
I ) А«£*У; е*О.Чх*у |
|
^%У + 0,Чх'#)1*(іхУ)І2ІхУ*<*х#> |
!«opeua 5 |
-SI -
-^-%\6+01х*1/+1Р4ех6у* (приведение одночлена к каноническому
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема |
3 |
|
1° |
е> |
|
|
ППЯЛЙПЯШ |
одночлена к каноническому |
|||
|
|
|
|
|
приведение |
||||
|
|
|
|
|
виду. |
|
|
|
|
|
В качестве упражнении читатель может рассмотреть другие |
|
|||||||
случаи знаков у коэффициентов одночленов; |
|
|
|
||||||
К |
Теорема |
б. |
(a,+$)(a-èj-Cl1- |
êx |
|
|
|
|
|
Словесно: |
произведение сумхга и разности |
двух |
одночленов равно |
||||||
разности их |
квадратов. |
|
|
|
|
|
|||
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|||
(a+ê)(a-ê}*a л |
-aêtêa.têf-ë)- теорема |
4 |
|
|
|
||||
= аа -aé *-аЗ- êê ' |
коммутативноотз |
умножения |
|
||||||
-aay-aSt-ct,SJ-êê'. |
ассоциативность |
сложения |
|
||||||
- аа * о - êê ' |
|
определение |
суммы двух |
|
|||||
|
противоположных |
выражении |
|
||||||
- |
act |
- Sê* |
|
|
аксиома |
6 |
|
|
|
* аг~ |
ег |
|
|
теорема |
I . |
|
|
|
|
|
Следствие: |
|
|
|
|
|
|
||
(а-вІ(сс+е)*{сц.е)(а-е^ аг- Іг |
коммутативность |
умножения |
|
||||||
|
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
||
|
fßp *+ 1к *)(бр |
U У*ГрШ |
теорема |
б |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
теорема |
8; |
|
|
|
?) a » - 6 p z , / е * 1 к * . |
|
|
|
|
|
||||
теорема 6 теорема 3,
|
|
|
|
|
- |
82 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорему б можно |
назвать теоремой о разности квадратов. |
|
|
1 |
|||||||||||
|
Теоремы |
5 и |
б |
очень |
часто |
применяются |
в расчетах, |
например, |
|||||||
в связи с применением теоремы |
Пифагора. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
I |
Теорема |
7. |
|
( |
О xyde |
двучлена) (са-в^а1* Зл*е+ ЗаЛ \ |
ê\ |
||||||||
Иначе: куб двучлена оавѳн сумме куба первого слагаемого, |
утроен |
||||||||||||||
ного |
произведения |
квадрата |
первого |
и второго слагаемых, |
утроенного |
||||||||||
произведения первого и квадрата второго слагаемых, куба второго |
|||||||||||||||
слагаемого. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема |
^ |
|
|
|
|
• » ab'-гSaaéaé^a*'*Ш*+ |
|
S*- |
|
коммутативность |
умножения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теорема |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коммутативность |
сложения |
||||
= a |
(ta *ë+dSJifaé \ |
Xa*y + |
|
ассоциативность |
сложения |
||||||||||
*а*+ ЗаЧгЗаЛг+Р- |
|
|
|
|
приведение |
подобных членов. |
|||||||||
|
Эта теорема |
имеет следствия, аналогичные следствиям |
теоремы 5. |
||||||||||||
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
(Р,*Сг-йЭеУ* |
(О, «cfi-3-/№*J |
• l'W) |
|
|
|
Û3e*J*r |
||||||||
|
+[-0,ЗеУ3* |
|
|
|
|
|
|
|
|теорема |
7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I теорема |
S |
|
|
|
|
|
-- 0,064с'-QiWc |
|
|
|
|
|
(приведение |
одночленов к |
||||||||
|
е + ОутсѴ-ѴоЩ^ычъющ |
|
виду |
7 |
|||||||||||
II |
Теорема |
8. |
/ |
а + ê)(a *-а£+ ê *JciJV |
83 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(ccrêlfa ~- аЛ с ëlJ |
» а а \ |
ScÔtaf-a 6Jr |
теорема |
4 |
|
|
|
|
|||||||
= ctaJ!tuië |
+ {-ikitxë+(-i)aêê<• a6ut |
ßß |
коммутативность |
умножения |
|||||||||||
- a3 |
ha *f V - f)a H |
/- *Ш ** ta |
*+éJ- |
теорома |
I |
|
|
|
|
||||||
*83 •*
» в. *+(azê-аЧ/+(*ai*+ |
(têlJ + ê |
Следствие! (a-êj(a*+aê+ |
a*- |
ассоциативность оложения определение оуммы двух
|
ваме.іа вычитения |
сложением |
|
|
теорема в |
|
|
|
теорема |
I |
|
- a3- é3. |
іамѳна |
сложения |
вычитанием |
|
ПримерГ"/"^-ЗіХѢ*' |
|
Ш+9ІІф+(-М)Ж2а)-Ы'3е^{'3Ѵг1'-' |
||||||||
|
Te oj ем g 5 - 8 |
сокращают |
время, затрачиваемое на преобразова |
||||||||
ния произведения многочленов |
в рассмотренных |
частных случаях» |
|||||||||
Именно |
повтому их полезно |
запомнить. Но чтобы |
пользоваться |
этими |
|||||||
форму**мщ безошибочно, нужно провергть, можно ли применять |
какуг- |
||||||||||
либо ив атих |
формул, |
говоря |
иными словами, нужно воегда уотанав- |
||||||||
ливать, |
соответствует |
ли |
заданное для преобразования алгебраи- |
||||||||
чеокоТвыраженив~хако8~нибудь |
ив доказанных |
выше формул,1 Осо |
|||||||||
бенно |
важно вто для теоремы 8. |
Воегда надо |
проверять, будет ли |
||||||||
второй множитель ( |
трехчлен) |
иметь именно тот вид, который он имеет |
|||||||||
в |
формуле |
теоремы 6. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Воли |
воспользоваться |
свойством симметричности равенств |
|
|||||||
( |
если |
Äsf)t |
т о Ь~'/\ .аксиома |
10), то теоремы |
5-8 можно записатй |
||||||
еще в таком |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
u'-Sa'St 3a£ltP ={a-8Ja,
|
|
|
- |
34 |
|
|
|
|
Эти формулы будут использованы в следующей параграфе для |
||||||||
разложения |
многочленов |
на множители. |
|
|
||||
Теоремы |
5-8 |
справедливы и |
при |
условии, |
что Л и 6 - |
многочле-. |
||
ны или |
другие |
алгебраические |
выражения. |
|
|
|||
§ б. |
Разложение многочленов |
на множители^ |
|
|||||
I . |
Общие |
положения. |
|
|
|
|
||
Из |
заголовка этого |
параграфа |
ясно, что |
речь пойдет |
о преоб |
|||
разовании многочлена ( суммы одночленов) в произведение многочле
нов ( или одночлена и многочленов). Поэтому разложение |
многочленов |
|
на множители можно считать преобразованием, |
обратным |
раскрытию |
окобок в произведении одночлена и многочлена, |
двух и более много |
|
членов. |
|
|
Сднако, не всякое представление многочлена в виде произведения является разложением его на множители; Подобно тому, как для нату ральных чисел решается задача разложения в произведение простых чисел, для многочлена отавится задача преобразовать его в произве дение многочленов ( считая одночлен частным случаем многочлена), каждый из которых далее ( в рассматриваемом числовом множестве) на множители разложить НВЛЬЕТ.
Определение. |
Многочлен, который |
не |
может быть |
представлен |
в |
|
виде произведения |
двух |
многочленов |
иди |
одночлена, |
содержащего |
хо |
тя бы одно переменное, |
и многочлена |
, |
называется |
неприводимым, |
||
или неразложимым на множители, многочленом,* -* |
|
|
|
Таких многочленов |
бесконечно много. Всякий линейный многочлен |
||
от одного переменного |
неприводим. Таковы многочлены |
X*Z, |
Зх-6 |
и^ др . конечно, двучлен \3я - 6 можно представить в |
виде пронэведе- |
||
*5 Имеется в виду, что коэффициенты каждого из упомянутых в оп ределении многочленов С й одночлена) должны поинадлежать одному числовому множеству, т . е . многочлены рассматриваются над одним числовым полем.
-S5 -
ния I |
Зх-&' |
3fx |
- Z)-* Z > ( - j X - s j - • • |
• • |
но при этом |
|
|||||||||||||||
выносится |
за скобки |
постоянный мнокитель. Поэтому |
согласно сфор |
||||||||||||||||||
мулированному выше |
определению |
Зх- |
6 |
-неприводимый |
многочлен. |
||||||||||||||||
Если многочлен является линейным по совокузности |
переменных ( т . е . |
||||||||||||||||||||
каждый его одночлен - линейная |
функция |
одного |
из переменных), |
то |
|||||||||||||||||
он токе неприводиы. Например, |
3c^rZ t |
У£>-*С _ неприводимые |
|
||||||||||||||||||
многочлены. |
Что касается |
многочленов, |
содержащих |
нелинейные |
одно |
||||||||||||||||
члены ( одночлены от нескольких |
переменных |
или одночлены, |
в ко |
||||||||||||||||||
торые |
переменное |
входит в |
степени |
выше первой), то гэпроо о их иди |
|||||||||||||||||
водимости |
или неприводимости |
решается |
значительно |
|
труднее. Сущест |
||||||||||||||||
венную роль |
при этом |
играет |
выбор |
числового множества, |
из которо |
||||||||||||||||
го берутся |
|
коэффициенты |
многочлена. Так многочлен |
X^-Z |
будеі |
||||||||||||||||
неприводим, |
если |
поставить условие, |
что коэффишенть. многочленов- |
||||||||||||||||||
множителей должны |
быть.обязательно |
|
рациональными |
(говорят, что |
|||||||||||||||||
этот |
м:*>гочлен |
неприводим |
над полем рациональных |
чисел). Если же |
|||||||||||||||||
допустить |
выбор |
коэффициентов из псля действительных |
чисел, то |
||||||||||||||||||
разложение |
|
на линейные множители возможно: хг |
Я ~(х |
*/Ijfx-{£). |
|||||||||||||||||
Многочлен |
|
ê" непризодим над полем действительных |
чисел, но |
||||||||||||||||||
допускает |
разложение |
на множители |
над полем |
комплексных |
чисел. |
||||||||||||||||
Далее |
многочлены |
будут рассматриваться |
над полем |
действитель |
|||||||||||||||||
ных чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
разложением многочлена |
на множители |
называется |
пред |
|||||||||||||||||
ставление его в виде |
произведения |
неприводимых |
многочленов. |
|
|||||||||||||||||
Конечно, |
общая |
теория |
разложения |
многочленов на множители |
недо |
||||||||||||||||
ступна для учеников школ, |
тем более, |
для учеников |
|
восьмилетней |
|||||||||||||||||
ыколы. Но в некоторых простых |
случаях |
они вполне |
справятся |
с р а з |
|||||||||||||||||
ложением многочлена |
на множители. Именно эти простые |
случаи и |
|
||||||||||||||||||
будут |
рассмотрены |
далее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.Лынеоенкв общего множителя за скобки»
Вынесение общего множителя за скобки есть преобразование, об ратное раскрытию скобок в произведении одночлена и многочлена. Вынесением общего множителя sa скобки можно разложить на множители те многочлены, в каждый одночгзн которых входит один и тот же мно
житель, содержащий переменное. Пусть |
a. è с |
X - какие-то одночлены, |
|||||
содержащие |
переменное. Тогда |
многоѵлен |
aß * ас -г их |
можно |
|||
прообразовать E произведение |
одночлена |
и многочлена |
следующим |
||||
образом: |
оЛ+аг |
у ах - afßtc |
+xj |
- |
ча основании дистрибутив |
||
ности. |
|
|
|
|
|
|
|
В некоторых случаях прежде надо |
так преобразовать |
многочлен, |
|||||
чтобы возможно было применить дистрибутивный закон или свойство |
|||||||
дистрибутивности умножения по отношению к сложению. |
|
||||||
aêt Ca +ах = сс$>+а,е+их^коммутативность |
умножения |
|
|||||
|
|
дистрибутивность |
умножения |
по отношению |
|||
|
|
к |
сложению. |
|
|
|
|
или aê+cu |
+ая - Sa *ta txa=коммутативность |
умножения С применена |
|||||
|
|
дважды) |
|
|
|
|
|
^fêrCtxJa |
• |
[дистрибутивность, |
|
||||
Во всех рассмотренных случаях |
удалось |
представить многочлен в вг"е |
|||||
произведения одночлена іі многочлена ( или многочлена и одночлена);'
Если многочлен |
|
ß>tt+x |
непривсдии, |
то разложение на множители |
|||||||
выполнено. В противном случае |
нужно искать способы представить «тот |
||||||||||
многочлен в виде произведения непризодиыых многочленов. |
|
||||||||||
|
Легко видеть |
|
что это преобразование |
обратно преобразовашю |
|||||||
раскрытия скобок в произведении одночлена и многочлена: оно |
|||||||||||
выполняется в |
обратном порядке. |
|
|
|
|
|
|||||
' |
Примеры: |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
I ) |
Пусть |
дсі^х |
' |
Zasx'-a.i |
- |
|
многочлен переменных |
СС % X |
|||
*>,,1т. |
а } : -, |
*ил |
у ? , > , , • ) , |
ѵ , |
у |
„ | определение степени |
с нату- |
||||
Эи-л f |
кил |
-хщх^ахл |
|
|
' ^ | р а л ъ и |
ы и |
показателен |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
37 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
= Залх |
+2хах |
+ /• ах. - |
|
|
|
гоммутстивность умножения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дистрибутивность. |
|
|
|||
Многочлен |
|
|
+ і |
линеен |
относительно |
яходящи;: в него |
перемен |
|||||||||
ных, |
значит |
неприводим. Разложение |
на множители |
выполнено. |
|
|||||||||||
2) %5ху-0,Н'хх#1- |
|
хугі |
хуР *qtf-Wty-О,tS-xx-yy. |
- (Ц5хууЪц25- |
9ф/>= |
|||||||||||
определение |
степени |
о натуральным |
показателим и умножение |
рацио |
||||||||||||
нальных |
чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коммутативность умножения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дистрибутивность, |
|
|
|||
Многочлен в |
окобках |
соотавлѳн из членов, |
не имеющих общего |
множи |
||||||||||||
теля, |
другими |
способами его представить |
в виде |
произведения нг |
||||||||||||
удается. Разложение на множители выполнено. |
|
|
|
|
||||||||||||
Если задано |
целое |
алгебраическое |
выражение, |
представляющее |
||||||||||||
из себя |
сумму |
произведений |
одночленов и многочленов ( или нао |
|||||||||||||
борот, |
многочленов |
и одночленов), |
а |
многочленный множитель |
в каж |
|||||||||||
дом слагаемом |
один и тот же, то его на основании акоиомы |
дистри |
||||||||||||||
бутивности также можно вынеоти за |
скобки. Иными словами, |
рассуж |
||||||||||||||
дения, |
проведенные |
при вынесении за |
скобки |
одночленного множи |
||||||||||||
теля, |
справедливы и в том случав, |
хогда общий множитель-многочлен. |
||||||||||||||
Более |
того, |
эти раооуждвния |
справедливы |
и в |
случае, если |
не |
толь |
|||||||||
ко й, |
, |
но |
и 6 , |
о, |
* |
- |
многочлены.Все |
рассуждения |
пов |
|||||||
торяются. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по дистрибутивности ум |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ножения по отношению к |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сложению |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коммутативность |
|
|
||
f((*+fy-yt(2b-U+c)+M(e-*)]- |
|
|
умножения |
|
|
|||||||||||
|
|
дистрибутивность |
|
|
||||||||||||
« (а**В%л-*+ U |
-38+с -с ta.) - |
|
|
вторые |
скобки раскрыты |
|||||||||||
по ассоциативности |
сложения, |
третьи |
- на основании дистрибутивности" |
|||||||||||||