книги из ГПНТБ / Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие

- 19

-

В приведенных примерах

имеются одночлены,

записанные

впол­

не удобно (например, а,Ч

и 0,%х-хр*£ ) .

в других одно­

членах имеются явные неудобства: рчоднократно

вотречается

в К Е - Ѵ

честве множителя одно и то же переменное

, За,і>а,с

и д р . ) ;

дважды встречаются числовые

множители,

запиоанныѳ

с помощью цифр

( 3aê • Zù,c~)) в различных

одночленах

различен

порядок

записи

ночлена, сделать

ее более побной, вводится понятие

канонического

вида одночлена.

Определение.

Каноническим видом

одночлена называется одно­

член, в котором постоянный и..;ояитель

пишется первым, переыѳнпѵч

же записываются в алфавитном порядке

каждое в виде

степени один

р а з .

3aê • ZcbC =3 Zaa êc -

|коммутативность

умножения

ассоциативность

умножения

*( 3-2

теорема I

л

~- е&Чс •

определение произведения патуральных

чисел.

- ао

-

одночлене не

пишется.

Определение.

Два

одночлена называются

равными, если

они

имеют одинаковый канонический вид.

Пример.

За-Иас -

аг3ёе

2. Приведение подобных одночленов.

Определение.

Подобными

раэываотся одночлены,

канонический

ВИА которых

отличается

.ибо

только

коэффициентами,

либо ничем

не отличается.

Примеры подоі-яых одночленов:

& о и

° > г*

д >

d

il èaêxy;

2,3 и

1969

Такое преобразование называется приведением подобных одно­

членов'. Это

именно

преобразование,

а

не алгебраическая

операция:

как

было установлено

в § I , .п.З, в

полугруппе

одночленов сложе­

ние

не

определяется.

Поэтому, обозначая сумму одночленов, надо

иметь

в виду,

что

не

всегда эта сумма есть одночлен. В приведен­

ном выше примере сумма одночленов

преобразовалась в одночлен.

В следующем

примере

этого

сделать

нельзя: 3,У&л$с'2,2

&*е*с -

- 2 Za^ê'c і

•

К а

к

Б И Д н ° і

второй

одночлен этой суммы не явля­

ется

подобным двум

другим,

а

первый

и третий

одночлены

подобны.

И хотя

преобразовать

данную

сумму

в

одночлен

не іредставляется

возможным,

привести

подобные

одночлены все же

можно:

û,Lêt*-

их рядом,

применяя

коммутативность я ассоциативность

сложения, а

затем применить

дистрибутивность.

3.

Просто идя й вид многочлена,

Многочленом выи была названа

сумма одночленов: раоомотреи-

ныѳ в прѳдыдувем пункте суммы одночленов и есть многочлены. При­

ведение подобных одночленов упрощает многочлен. Однако, одночле­

ны в многочлене

могут быть дани и не в каноническом виде. Чтобя

привѳотн подобные одночлены в каком-либо многочлене,

нужно

преж­

де

запиоать его одночлены в каноническом виде.

Определение.

Многочлен, все одночлены которого

имеет

кано­

нический вид и среди них нет подобных, называется простейшим ви­

дом

многочлена.

Tas в ириведением выше примере простейший вид многочлена

1,ЧаЧс*-1,ГлЧ*е

- *,*ал*с'естъ

многочлен 1,1Лл6г-

2,*аЧлс

Пример приведения многочлена к простейшему виду:

IX

fx

- /Ра*

Ъ -Га*х+ 9л *х -

/ 2 * *à х + Уа.1 =

приведение

одночленов к

каноническому виду

* и***х"+9х*+ fax*- Пах *-m*x'-faii>h\

сложения

'коммутативность

ассоциативность

сложения

дистрибутивность

оппеделение

суммы рацио­

нальных чисел

-

22 -

--Их"-

?ах'~

J0"**

г-

* a

' x t *a*\

замена сложения вычитанием.

Всякий многочлен

можно

привести

к простейшему

виду. В тоы

случае,

когда все одночлены,

входящие в многочлен,

подобны между

собой (или могут

быть

преобразованы в подобные), после приведения

многочлена к простейшему

виду получается одночлен.

4.

Канонический

вид многочлена

от одного переменного.

К простейшему виду можно приводить многочлены как одного,

так и нескольких

переменных. Но простейший вид многочлена еде не

оамый удобный для запиои

его . Многочлен от одного переменного

удобнее,

например,

записывать так, чтобы члены его были располо­

жены по убывающим

степеням переменного. Например:

'

-

коммутативность сложения

= lux*- 34X1 * О, Зх+ %ч+ 2 '

приведение подобных одночленов

* х^-ЗЧх'+^бх2*

О/Зхч-Z •

канонический вид многочлена.

коммутативность сложения

приведение подобных одночленов

Если обозначать коэффициенты одночленов канонического вжда

многочлена буквами

Ci0>aii

^xjai

и т . д . , то многочлены от пере

менного

SO запишутся так:

Си -

многочлен

нулевой

степени

-

24 -

ft Sc V к A]t

QH'c

{jic

t- ей J=

ассоциативность

сложения

= 5есл+С1хВ*с

f #Ъ f êe*.

приведение

подобных одночленов

коммутативность

сложения

приведение

подобных одночленов.

Многочлены

имеют

один

и тот ке

простейший

вид,

значит

ния и будут

заключайся

в том, чтобы правильно раскрыть постав­

ленные

при обозначении

операций

скобки,

преобраэуя.получениое

:,еуюе

рациональное

выражение в

многочлен

простейшего вида.

I . Раскрытие скобок в произведении одночлена и многочлена.

Пусть

а,І>,с

и

d какие-то

одночлены. Для простоты можно

Сигать их

заданными в

каноническом

виде. Е,лн же это не так, то

- 25 -

одночлены всегда можно

привести

к каноническому виду.

По определению ê+t

+ d

есть многочлен,

а(£'+

d) _

произведение одночлена

Л- и многочлена е*-с?сС

.

Применяя

умножения

спргведлива по отношению н сложению

любого

натурально­

го числа

слагаемых, то и многочлен

в скобках

ыожес содержать не

только 3,

но и 2,4,5,6 и т . д . любое

натуральное число

слагаемых-

одночленов. Одночлен же перед

скобками

может

как содержать пере­

менные множиіеди, так и быть постоянным.

Например: I ) 15(лЧ+л*1)*

Zïa4

+г5а$\

- Зх

г

-

-zzyx і г ху/•/;/•

дистрибутивность (раскрытие скобок

в произведении одночлена и много­

члена)

-

26

-

<- Хл,3,і-

ftr-/*

э-ъ-3и -h У ЖІЛ (приведение одночленов к ханоничѳс-

-ЭЬУ

~

$

g

іѵ01<:у виду

добных одночленов ссылкой

на дистрибутивность, а приведение

од­

ночленов

к канекичзскому виду - ссылжой на коммутативность

и ас ­

социативность уинонекия, теорему I и определение умножения рацио­

нальных

чисел.

2. Раскрытие скобок в сумме и разности многочленов.

Пусть даны многочлены

a,tê> + c

и х+у

+ р

.

Здесь

выбраны

многочлены из трех

слагаемых -

одночленов,

хотя

число

(но конечно . ! ) .

fcc + ê+c

) -г fx

TJ/rpJ

.-

сумма двух

многочленов,

(а + егс)

-

fx

+jp тр)

-

разность двух многочленов.

В первом случае скобки раскрываются применением ассоциатив­

ного закона:

(cti-êrc)t(xt^

t-p)

=

= Cltêi-C

t{х+утр>)

-

определение суммы нескольких

слагаемых

- fc + êi-О

І-хт^т

р

ассоциативность

сложения.

Во втором

случае (в

разности многочленов) первые

скобки, в

ления

сложения

нескольких слагаемых, скобки же,

в которые заклю­

чено

вычитаемое

(перед

которыми стоит знак ( - )),

раскрываются по

дистрибутивному закону (множитель перед скобками - I ) :

(а,+е+с)-(х+у

+р) •

« CL+ê-rC ~ (х+у'tр)

»

[определение слЬкения несюзлыкх слагаемых