книги из ГПНТБ / Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие

Многочлен

одного

переменного имеет вид

^(х)-Сіст^Л-*

+Wt+..+bfl.x'l=

Z й-х x

*

,

где ClK ( ic-О/,

&,гъ)

_

действительные

числа.

Два многочлена

называются

равными, если равны их коэффици­

енты при одинаковых

степенях переменной.

Во множестве многочленов можно задать две алгебраические

операци': сложение

и умножение. Для сложения

выполняется

обрат­

ная операция. Обратная

же умножению

операция

не 'определена, т . к .

частное от деления

двух многочленов

(при делителе,

отличном от

нуля), вообще говоря, есть рациональная дробь.

Пусть даны два многочлена

р(х-) = Л-,+ Й . ѵ Я Г Л / І

*-...'ЛЛ

- 2_а<

Суммой их при

/г^/тг-^

называется

многочлен

f(<b)tÇ}(x)*

- c . ^ , a - ^ * V . . * Ç , x * s

Z

Л с * * где

СК-ал'К

•

/С *0

(при К?т . Ьк = О

)_

Произведением

многочленов / А У и

называется мно-

гочлен IM-aWd.^**

• • • + < г , п ^ ' П \ а , 1

Г , , У ' П * 1 а г

где &к\2-аР&с

"°

prg-K

- 9 -

Очевидно, wo

{M+$(x)*2fxhf{*J

ЧЛІ

CK*dSèK'

~êra?CK. Операция

сложения коммутативна.

Пусть дан еще многочлен *f(x)- Се

+ С,хт%х\../cdx

^ і&лгьп. .

Тогда

$(Ф$Щ^Ф]*[{Ъ+і)+[я^і.)хт/ъ'№'+...+

+ fa* k +

V . , т(а*. ^ 4 rbjx**-...

+(си++

сложение ассоциативно.

Роль

элемента

t-

при сложении

играет

многочгзн, все. коэф­

фициенты которого нули, т . е . 0:

Противоположный

(обратным по сложению)

многочлену

Л;

л-

х

^ ( % ) ' / . ^ ^ " можно назвать многочлен - •f(x) -

(-&к% J

и тогда

ï[x)r[-Hx)]'-0,

-f(x)tfM*0.

7°

Действительно.

f{x)r[-fi*)]

L

*<х

L

~-

Итак,

множество

многочленов

над полем

R.

есть

абелева

группа

по сложению.

Аналогично можно проверить коммутативность и ассоциатив -

ность

умножения и убедиться, что по умножению множество много­

членов

есть коммутативная полугруппа.

Можно убедиться

в выполнении

законов дистрибутивности умно­

жения

относительно

сложения. Для этого

достаточно

рассмотреть

коэффициенты при одинаковых степенях

X

в выражениях

f(^,'[f''-x-^^^'J

меняются

следующие знаки:

сложение

обозначается знаком +,

вычи­

тание

знаком - ,

умножение

знаком

который

часто опускае-ся, де­

ление

-

чертой

дроби.

Стоит пояснить, почему для обозначения

деления выбрана

дроб­

и делений, либо записывать деление дробью

"^З^р^Г

• В ъчаЬ

книге, как и в большинстве математических

книг,

принято

последнее.

2. К определению алгебраических выражений

следует

подходить

с позиции математического анализа, считая

многочлен целой, а ал-

обозначенных над переменными и постоянными.

Определение

I .

Рациональным

называется

такое алгебраическое

выражение,, которое

составлено

из

постоянных,

переменных,

знаков

арифметических действий

и скобок.

Определение

2.

Рациональное

алгебраическое

выражение

назы­

вается целым, если в нем не обозначено деление на переменное.

Оігеделение

3.

Рациональное

алгебраическое

выражение

назы­

вается дробным, если в нем обозначено деление

на

выражение,

содер­

жащее

переменное.

Определения одночлена и многочлена были сформулированы выаѳ.

Понятие алгебраической дроби будет определено

в

главе

П.

3.

Изучение

тождест .енных

преобразований

требует

хорошего

владения понятием равенства. Равенством называется два

вирам н и ,

соединенных знаком ( » ) :

Д -

-

равенство. Дальнейший

интерес

венства,

обладающие

следующими

свойствами

(ажсиоиамі

равеяст»):

Û

А = А

(аксиома

рефлексивности равенств).

' «#

2)

Если

А~ h

. то

Ь =

А

(аксиома симметричности ра­

венств).

3)

Еслн

A-fe

и

5*С

, , о

А = С

например,

так:

I )

Числа Сс ж è

имеют

противоположные

знаки.

по определению

умножения

коммутативность

умножения

положительных

-

êa

чисел

* '

по определению

умножения.

и)

обоснования

будут

записываться справа,

для краткости

Далее

не будут

употребляться

слова

"на основании",

"вследствие" и т . д . ,

а будет писаться только само основание. Например, вместо "по

свойству коммутативности умножения" будет записываться "коммута­

тивность

умножения".

вах

JY

,

2

•

Q *

ß

и

С F а

также

в кольце

многочленов

(над произвольным полем). В полугруппе одночленов выполняются

свойства

коммутативности

и ассоциативности

умножения лобогэ чис­

ла

множителей.

Итак, ооновные предложения (акоиомы), на которых отроятся

тождественные

преобразования:

I .

Соглашение: Действия

над алгебраическими

выражениями только

обозначаются,

П.

I )

Сложение

целых

рациональных выражений

коммутативно, т . е .

2)

Сложение

ассоциативно, т . е . (at $}+с

= &*• (

ère).

3)

Умножение

коммутативно:

aê^êa..

4)

Умножение

ассоциативно:

(aêjc

' л

(4с)

ft/^ej»o«tM

;

(è*cja

-

êa

иг

Здеоь

буквы

сс) ê, ô обозначают

любой одночлен

или многочлен

(далее - любое рациональное алгебраическое

выражение).

Кроме этих аксиом

выполняются

аксиомы

о действиях

с нулем

и единицей и аксиомы равенств:

Ш. 6)

л +

Огсь - а,;

дг.

9)

а

' Си

7)

а,-0~

0 ci - О-

Ю) Еоли

»

J

, M ^ « f t .

ѳ )

У • а

- а> •

и )

Если

а--

&

и

è>* е

,чо а°-е

Вое остальные преобразования должны быть обоснованы осылкой

на эти аксиомы, введенные определения

или доказанные уже предло­

жения

Пример.

Доказать

справедливость

равенства

а - ê - Cl г (- &) •

свойство уменьшаемого

(выражено

через

разность

и вычитаемое)

ассоциативность

сложения

(аксиома 2)

определение суммы противоположных чисел (выра­

жений)

= ci •

'

аксиома

§ 3. Степени с натуральными показателями и их преобразования

Аналогично тому, как сумма нескольких одинаковых слагаемых

заменяется произгчдекием ( 3+3+3+4 = 3»4 -

12 )

к

записывается

записать

короче:

3 ' 3 ' 3 ' Э

= 34 = 81,

4-t-4 = 43 = 64,

2-2-2-2-2-2

-2-2 - 2 е » 256

Такая сокращенная

запись произведения

нескольких

множителей

-

17

-

часто

употребляется и называется степень».

Определение.

Произведение

нескольких равных

множителей

на­

зывается степенью. При этом каждыГ из разных множителей называ­

ется основанием степени, а число разных множителей в произведе­

нии -

показателем

степени.

В степени

З^

основанием

является

число 3 (равными мкожите-

Л.ІНИ являются

тройки),

а

показателем

-

число 4 (число множителей-

троек равно четырем). Осноинио степени

пишется в отроке, а пока­

затель

степени пишется

справа

вверху

от

основания.

к

Неправильно

будет

говорить,

будто

3

означает,

что "3 умно­

жается

само

на

себя

4 раза" .

Если выполнять

умяоиение,

то

тольтсо

З ' З

есть умноЕвниѳ числа 3 на себя самого. Уиѳ

3-"»3

=

9*3,

т . е .

далее

на

3

умножается

уже

число

9,

а не 3. Кроме того в сте -

пени

3 = 3-3«3»3

обозначено

не

4,

а 3

действия

умножения (это

множителей

4) .

Символически

степень

записывается

в

виде

д л

,

где

а.

-

основание,

ft

-

натуральный

показатель

степени.

Для степеней с натуральными показателями справедливы сле­

дующие

теоремы:

Il

Теорема

I .

а

•

ft

=

ft

Доказательство.

3

произведении

&

-a

U

берется мно­

жителем

tu-

раз

в

а

14

и еще

П

раз

в

а* .

Таким

обра­

зом,

в

заданное

произведение

Ci

входит

в

качестве

множителя

mt

п

р а з ,

что

по определению

степени

записывается

Û.

Замечание:

удобно

считать

^исло множителей

в

произведении

5

4

Гос. публичная

{

.?. -2

содержится

5

Поэтому

и ^ множителей 2,

т . е . 9 множителей 2.

каучно -

тс.лч,-, .

'-ГГ.»

;

2 5 - 2

Ч =

г 9 .

библиотека

С ••...•

ѵ

>

Э К З Е М П Л Я Р

'

ЧИТАЛЬНОГО

3'К'Г