Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.35 Mб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

Стра		Стро
ница		ка
4	4 снизу
8	2 снизу
16	5	снизу
30	10	сверху
40	14	сверху
40	3	снизу
45	4 сверху

55 8 сверху

65 11 сверху

7014 снизу

717 снизу

78 11 снизу

Следует читать

n+m V

£d dK хк

3+3+34-3=3 • 4 = 12 [a+( - b)p

(2p)3

40a"b2—135 ab5 =

a4n _|_ 4b'ln —a 4n+ 4a2nb2n +

._ 4b4n_432nb2n a Ф 3x

3)	meZ	, HEZ , iceZ
am = bn		, Ы = es.
1	i	i
a4	Ъ л -	b 2
	n+l

(ab) a

КИРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСІСИЙ ИНСТИТУТ имени В.И.ЛЕНИНА

контрольный экз.

Е.О. КАНИН

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Учебное пособие

Киров - 1972

s 1 гевиаретвмкч ЗійгяэтазаСвЯ?

1D?3 г.

Печатается по решению Редакциончо-иедатекского совета Кировского государственного педагогического института имени В.И.Ленина

Редакционная коллегия: Г.З.Мошкина (отв.редактор), П.А.Крупин, Л.А.Халевина.

іГее. Публичная —1

j	бнблиогоиа	СССР
I	Э К З Е М П Л Я Р
j	ЧИТАЛЬНОГО	З А Л А ;

Е.С.КАНОТІ

ТОІДЕСТВЕНШУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Учебное пособие

Редактор	О.С.Хронилова.		Техн.редактор Е.С.йеонина
Подписано к печати 20/У1-1972.				Тира»	1000.
Формат	60x84...I/16^	Еумега газетная.				Усп . п . п . ^ 5 , 1
	ÏE07210 .			Цена	16 коп.
ЯЭК9Э__5.0Й2.___:				.
Редакционно-ивдатепьский			совет	Кировского		государственного
	і педагогического		института им.В. И.Ленина -
	Г.Киров,		,уіииѳ	.Ленина,	111
	Областная	типография		управления		по	печати -
	.Г.Киров,		Динамовский проеад,				4

- 2 -

Введение

Для решения многих задач необходимо уметь преобразовывать

Алгебраические выражения в тождественно равные им, но чаще более просто изображающиеся. Замена одного алгебраического выражения другим, тождественно равный ему, называется тождественным преоб разованием. Раиомотренио тождеотвеявых преобравований рациональ ных выражений и степеней о рациональными показателями и является целью настоящей кгиги. Учитель математики должен внать математи ческие ооновы тождественных преобразований. В книге наложены эти

основы, установлено, что одночлены образуют полугруппу по умноже

нию, множество многочленов есть кольцо, а множество алгебраичес

ких дробей - поле. Конечно, такой подход пока невозможно осущест

вить в школе. Но выдать достаточно строгую теорию тождественных иреобразований рациональных выражений возможно и в УІ-УП классах вредней школы. 6 настоящей книге сделана попытка разработать ак сиоматическую теорию тождественных преобразований рациональных выражений и степеней с рациональными показателями, доступную длг

изучения школьникам УІ-УП классов. Таким образом, книга может быть жолѳзной как учителю математики, так и ученику.

В математике для обозначения чисел, других объектов (напри мер, точек, прямых и плоокоотѳй в геометрии), отноиѳний между объ ектами применяются различные знаки (их можно-назвать буквами?.

С помощью букв обозначаются также переменные и постояннее. Так,

буквой	X	в уравнении х1-	х - Z - О обозначается переменная,
т . е . все	те	числа, которые	обредают это уравнение > верное равен-

C S B O .

- 3 -

В роли переманной выступает букве X и в рав8нотве:с+-.&*.<!*х, котороѳ справедливо при любых числовых значениях этой буквы. Порвч ыенные далее будут обозначаться различными буквами латинского ал

фавита,	В настоящей книге понятие		"переменная" очитоэтоя первач-
ш , неопределяемым		понятием. Постоянные обозначаются			начадьпши
вуквакя	латинского	алфавита.
Из букв (если		считать бусвамя	и такие	знаки как	+, - ,	»,
	* т . д . ) можно составлять различвыо			выражения.	Под внраю-

ввея далее будет пониматься любое множество букв, раоподояэяных в квжок-вноудь разумном, -онятном порядке.

ГТавТ17'ТОЩСТБЕННЬЁ ІРЁШРАЗОВАШІ І Ш РШОЙЩШЛ

• . ВЫРАЖЕНИЙ,

	I .	Алгебраические операции.		^
	Тождеотвенные преобразования базируются ва основных понятиях
общей алгебры, понятиях алгебраической операции к множества с								за
данной		иа нем алгебраической операцией.
,	Определение.'		Алгебраической	операцией	называется		закон,	по
которому каждым двум элементам множества Jit					,	расположенным в		оп
ределенном порядке,			ставится в соответствие единственный				элемент
того'же		множества Л	.
	Лобов арифметическое действие			есть алгебраическая			операция
в .определенном числовом множестве. Сложение					и	умножение	- алгеб
раические операции,			определенные во множествах			всех натуральных/Я'

Рассматриваемые здесь алгебраические операции являются бинарными.

всех цалшс {£;J		, воех		рациональных	(Q.J	, всех	действительных^)
н воѳх	комплексных		fQJ	чисел. Вычитание		не является		алгебраи
ческой	операцией	во	множестве		натуральных		чисел	(разность

двух натуральных чисел не обязяяа быть натуральным числом), деле ние не всегда определено во множествах fil и ^ .

Алгебраическая операция может быть задана не только на чис ловых множествах, но и на множествах элементов произвольной при роды. В частности, некоторые алгебраические операции определяются на множествах одночленов (умножение), многочленов (сложение ж ум ножение, а также вычислив - операция, обратная сложению), рацио нальных дробей (сложение, вычитание, умножение, деление, кроме деления на 0) . Далее будет установлено, какие алгебракчевкке опе рации определены в названных множествах.

2. Множества с	заданными на дях,алгебраическими операциями.
Самым широким множеством является груопоид-миожеотво			с за
данной на нем алгебраической операцией.
Понятие группоида очень широко. Более узким, имеющим разно
образные применения понятием является группой,		в котором выпол
няется ассоциативный	зако^.
множество с заданной на нем ассоциативной		операцией,	« о с и
название ассоциативного группоида, ла полугруппы. Полугруппа				«
коммутативной операцией называется коммутативной полугруппой.
Ещё Долее узким яаляетоя понятие группы
Множество С*	называется группой омооитвлый nmrojpftf			за
данной на нем операции (назовем ее уиаоваювм),		вел* йиголиямма
следующие условия (аксиомы груипн)};
I ) Онерацая аеооіааюя (А«я любнх		л,*,Л£Ьу&(IеsO>fa))

2) Существует в этом множестве такой злэмѳну

, что

а)

для

любого

элемента

Cl.

этого

«южества

справедливо

ут

верждение

sCl£

- Ct ;

б)

для

любого

элемента

С1> этого

множества

сущэствует

такой

его

элемент

что

сіс^'

= и^'а

Если операция, заданная в группе, обладает свойством комму

тативности

(си В ' êcvj

то группа

навивается

коммутативной яла

абелевой.

Примеры.

Полугруппа по умножения

образуют

множества

ï>

Q. » ß

» С- • Они ке образуют полугруппы со оложенио. Одна

ко,

множества

не

являются группами

по

умножению,

т,кі

они

не

удовлетворяют

условиям

определения

группы. Множества

же

С-

образуют

группу

кав

то умножению

(воли

исклю

чить из них элемент О), так и по сложению (аддитивную группу).

Группу по сложению образует и множество

всех

целых

чисел

£ .

Существуют множества, на которых заданы.две

алгебраические

операции.

Множество, на котором заданы две алгебраические операции (их

можно назвать умаожением я сложением) называетоя кольцом, если

выполняются

следующие

условия

(аксиомы

кольца):

I )

Это

множество

является

абелевой группой

относительно

сло

жения.

Р) Операция умножения ассоциативна (полугруппа по умножению).

В рассматриваемом множестве выполняются

законы

дистрибу

тивности

сь($+с)-o,i>4Q,u

fS+cJa*

êarсо-

Из аксиомы 2 следует оупеотвование обратной операции.

Л Н Е Ь

- б -
Пример кольца - множество всех целых чисел	• Как уже г о

ворилось, по сложению это множество есть абелева группа, по умно

жению же -	полугруппа,			кроме	того, законы дистрибутивности,	как
известно,	во	множестве		2"	Р ^ П О Л К Я Ю Т С Я . Кольцами являются	и
иноке ства	Q	Л	и	С .
Кольцо называется полем, если все отличные от нудя его эле
менты образуют аоѳлеву группу по умножению.
Множества Q			, R	и	С являются полями.
Если в		кольце	определены		2 алгебраические операции (сложе

ние, умножение) и существует операция, обратная сложению Сабелѳва группа по сложению), то в.поле определены те se 2 алгебраические

операции,	что	и з кольце,		и для каждой	из них существует обрат
ная операция		(кроме деление на О).
Следует.определить еще понятие "алгебраическое выражение".
Гиражение,	составленное		из	постоянных	и переменных с помощью зна
ков операций		и скобок,	называется алгебраическим заражением.

Понятий полугруппы, группы, кольца и поля вполне достаточно для построения теории тоадеотвенных преобразований рациональных

алгебраических	выражений.
3. Полугруппа		одночленов.
Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором
обозначены только,операции			умножения.
Согдасно этому определению, одночленом является алгебранчес-
	"« лі,		л		'
кое выражение	СіХ1		хл	, где	- целые неотри
цательные числа, ft-		- постоянная,		хс -	переменная. Действитель

но, над переменными и постоянными обозначены лишь умнокеішя.т.к.

натуральная степень есть частный случай умножения.

Во множестве всех одночленов монет быть определена

_ 7 -

одна алгебраическая операция,операция уілтожения. Ее можно опреде лить следующим образом (см.Курош, Высшая алгебра,М-62,стр.313):

	••(aSjx,	хг
Как видно,	произведение двух одночленов есть тоже одночлен,
т . к . в нем над	переменными и постоянными обозначены только умно

жения. По индукции это определение можно распространить на про изведение 3 и более одночленов,.

Очевидно, что определить сложение как алгебраическую опера цию на множестве одночленов нельзя, ибо суша двух одночленов не


обязана быть одночленом			(может быть двучленом). Операция, обрат
ная умножению,		токе не	определяется. Действительно, частное			дв;»х
одночленов	(при	делителе,		отличном от 0)	в общем случае есть	не
одночлен,	а рациональная			дробь.
Таким образом,множество одночленов есть множество с одной
определенной на		нем алгебраической операцией, т . е . группоид.
Не трудно установить ассоциативность умножения одночленов.
Пусть даны	три	произвольных одночлена			* л

и ггы

- неотрицательные целые ч:сла.

Г /,7 17	X,	* W * < W	k^l^mj
, [ф-j]	X,		%

г^е J/

по определению умножения

по ассоциатив ности умножения действительных чисел и сложения целых чисел

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202317.3 Mб42Кан К.Н. Механическая прочность эпоксидной изоляции.pdf
#
19.10.20231.25 Mб18Кан, К. Н. Оценка работоспособности полимерных компаундов.pdf
#
21.10.20238.84 Mб22Канаев, А. А. Парогазовые установки. Конструкции и расчеты.pdf
#
29.10.20233.74 Mб14Канев Н.Ф. Лесная почвообрабатывающая фреза (особенности конструкции и эксплуатации).pdf
#
19.10.20237.49 Mб35Каневский, В. М. Пособие стрелочнику.pdf
#
19.10.20233.35 Mб18Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf
#
23.10.20234.9 Mб100Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа.pdf
#
23.10.20238.61 Mб20Канунников В.Ф. Вентиляция заводов производства строительных материалов.pdf
#
19.10.20236.2 Mб48Канцепольский, И. С. Глиеж-портландцемент для гидротехнических сооружений.pdf
#
19.10.20232.26 Mб10Каныгин, Ю. М. Научно-производственный цикл (вопросы теории и организации).pdf
#
29.10.20234.1 Mб22Канюка Н.С. Памятка машиниста башенного крана.pdf