книги из ГПНТБ / Ильинский, Д. Я. Обоснование решений при проектировании и эксплуатации машин и линий легкой промышленности учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

гГервый шаг

Таблица 23

гГервый шаг

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

																		Т а б л и ц а		19
			Варианты конструктивной реализации функциональных элементов
Функциоиаль-	1			2			3									6
пые элементы	1			2			3			4			5			6			7
А1			А2			АЗ				-			—			—			—
А	0,940	2,5	15	0,950	2,3	30	0,930	1,2		-			—			—			—
10	0,940	2,5	15	0,950	2,3	30	0,930	1,2
Б1			Б2			БЗ				—			—			—			—
Б	0,960	1,2	12	0,943	1,6	43	(.993	0,5		—			—			—			—
18	0,960	1,2	12	0,943	1,6	43	(.993	0,5
В1			В2			ВЗ				—			—			—			—
В	0,980	3,5	41	0,980	3,1	74	0,995	3,2		—			—			—			—
86	0,980	3,5	41	0,980	3,1	74	0,995	3,2
■ Г1			Г2			ГЗ			Г4			Г5				—
Г						15	0,980	1,8	24	0,975	1,2					—			_ _
18	0,930	1,4	28	0,980	1,3	15	0,980	1,8	24	0,975	1,2	31	0,990	1,5
Д1			Д2			дз			Д4				—			—			—
Д	0,990	1,8	28	0,999	1,4	47	0,999	1,2	52	0,999	1,1		—			—			—
15	0,990	1,8	28	0,999	1,4	47	0,999	1,2	52	0,999	1,1
Е1			Е2			ЕЗ			Е4			Е5			Е6			Е7
Е	0,990	2,5	18	0,890	1,0	24	0,980	0,5	28	0,995	1,2	31	0,999	0,7	33	0,698	0,6	37	0,999	0,6
13	0,990	2,5	18	0,890	1,0	24	0,980	0,5	28	0,995	1,2	31	0,999	0,7	33	0,698	0,6	37	0,999	0,6

Требуется найти функциональные элементы А, Б, В, Г, Д, Е. таких вариантов, чтобы

С = 2 Сп ->- min

/ = 1

при г(> 0 385, t <8,0.

Применив метод пошаговой оптимизации, на пятом шаге полу чаем, что поставленным условиям удовлетворяют только четыре варианта сочетания типов функциональных элементов, образующих,

машину-автомат. Наилучшим					является		вариант		АЗ х БЗ х В2 х
х Г4 х Д2 х ЕЗ, для которого
	2 С„ ~		190,		т)=0,870		и t - 7 , 9.
	i=i
Решение свелось к рассмотрению						на первом шаге 3 Х3=9,				на
втором — 3 x 9 = 2 7 ,		на	третьем — 5 x 1 8 = 90,					на	четвертом	—
4 х 18 = 72	и на пятом —			7Х 16 = 112			вариантов, т. е. всего			310'
вариантов,	что составляет			менее 1 0 %		от того количества их, кото
рое пришлось бы анализировать при полном переборе (3X3X3 X
х 5 х 4 х 7 = 3780).		что полученный				вариант		решения является
Чтобы убедиться,

действительно наилучшим, имеется метод проверки оптимальности решения.

На сочетаемость элементов часто накладываются ограничения (например, элемент А1 используется только с элементом Б1, ис пользование элемента Б2 исключает применение элемента ВЗ и т. д.). В связи с этим в задачах примой пошаговой оптимизации целесообразно использовать алгебру высказываний, посредством которой находятся невозможные (или недопустимые) сочетания всех элементов, на условия сочетания которых наложены сколь, угодно сложные логические ограничения. Эти невозможные соче тания нуллифицируются, т. е- сразу же исключаются из дальней шего рассмотрения.

З а д а ч а 2. Оборудование эксплуатируется в течение четырех периодов времени (каждый период составляет некоторое количе ство лет, одинаковых для всех, периодов). В конце каждого пери ода (кроме последнего) может проводиться модернизация обору дования.

Необходимо выбрать такую стратегию	модернизации (образ
действия) в течение .всех четырех периодов,	чтобы суммарная при

быль за все время эксплуатации оборудования была максималь ной.

При модернизации доход от оборудования увеличивается на I периоде — на 20, на II — на 15, на III — на 10% (табл. 20).

Затраты на модернизацию составляют (в процентах от дохода соответствующего периода): на I периоде—20, на II—50 и на III—

70%.	Стратегия выбирается по критерию суммарной прибыли за
I, II,	III и IV периоды.

Таким образом, при модернизации			часть дохода,		полученная
от использования оборудования		в течение (/—1)-го			периода, ис
пользуется для покрытия затрат на модернизацию,				но в результате
•модернизации доход от использования			оборудования в			течение
/-го периода возрастает.
Задача решается методом	попятной пошаговой			оптимизации,
т. е. сначала рассматривается	IV	период, затем III		н т. д.		Набор

оптимальных стратегий, соответствующих каждому периоду (ша гу), составляет оптимальную стратегию модернизации в течение всего отрезка времени, состоящего из I, II, III и IV периодов.

Принцип обозначения прибыли: нижний индекс содержит пере чень тех периодов, за которые подсчитывается прибыль, а верхний

— обозначение стратегий, принимаемых на этих периодах. Нап ример, означает суммарную прибыль за II, III и IV пери

оды при стратегиях 0 на II и IV периодах и стратегии I на III пе риоде.

Приступая к решению задачи, рассмотрим суммарную прибыль за III и IV периоды (первый шаг решения):

Д4 = С3 + С*.

Вконце III периода (7=3) можно:

1)не проводить модернизацию (выбрать стратегию 0), тогда

суммарная прибыль за III и IV периоды составит

q (4>= q .fC 2 .

гдеСз=£>3 и С° = Д . a Д = Д ,

следовательно,

С™ = Д + Д = Д + Д — 2Д ;

2)проводить модернизацию (выбрать стратегию 1), тогда

суммарная прибыль за III и IV периоды составит

Г	10 _	Г 1 _i_ С °
где Сз = 0,30Д и С°±=	Д ,	а Д = 1,1ОД,
следовательно,

q ° = 0,30Д + Д = 0,30Д + 1 ,Ю Д = 1.40Д.

Из дву'х альтернативных стратегий 0 или 1 на III периоде при нимаем стратегию 0, так как независимое от того, какие стратегии принимались раньше (на I и II периодах), оиа обеспечивает боль шую суммарную прибыль на III и IV периодах, т. е: является оп тимальной.

Период

эксплуатации

( / = 1 )

( / = 2 )

III ( / = 3 )

			Т а б л и ц а 2 0
Начальные условия задачи		Решение задачи
Модернизация не проводится	Модернизация проводится	Модернизация не проводится	Модернизация проводится
(стратегия 0)	(стратегия 1)	(стратегия 0)	(стратегия 1)

	6 , = 0 , с л е д о в а т е л ь н о ,	й] = 2 0 % , с л е д о в а т е л ь н о
	3 1 = 0 и C°1-= D 1	3 1 = 0 ,2 0 Д ;
	3 1 = 0 и C°1-= D 1	С } = Д — 0 ,2 0 Д = 0 , 8 0 D l
		С } = Д — 0 ,2 0 Д = 0 , 8 0 D l

Т р ет и й ш а г р еш ен и я

П р и б ы л ь з а I — IV п е р и о д ы С ш =Сх-\-Ст

/->0000	/■>() \/->000	/-•1000	/->1	1 /->000
/->0000	/■>() \/->000	° 1234	—*и 1	234 —
° 1234	— и 1 "Г0 234 —	= 0 ,8 0 D , 4 - 3 D 2=
= n i + 3Z)2= Z ) 1+ 3 D 1= 4 D 1		= 0 ,8 0 D , 4 - 3 D 2=
= n i + 3Z)2= Z ) 1+ 3 D 1= 4 D 1		= 0,80 д + з - 1,2 д = м д
		= 0,80 д + з - 1,2 д = м д
В ы в о д .	П о с к о л ь к у	< С } ! ^ ,	т о на I п е р и о д е
	п р и н и м а е т с я с т р а т е г и я 1

В с о о т в е т с т в и и с о с т р а т е г и е й н а I п е р и о д е :		В т о р о й ш а г р е ш е н и я
е с л и f t j = 0, т о а2= 0,	с л е д о в а т е л ь н о , £>2= Д ;
		П р и б ы л ь з а II, III и IV п е р и о д ы С 534= С	5+ С з 4
е с л и Ь±1= 20%, т о д 2= 2 0 9 6 , с л е д о в а т е л ь н о ,

/	2 0 \

^ = ( 1+ шо) D l = 1 ’2 D l

b2= 5 0 % , с л е д о в а т е л ь н о ,

й2= 0 , с л е д о в а т е л ь н о ,

3 2= 0 ,5 0 D 2,

3 2= 0 и С ? = £ > 2

C l2= D 2— 0 ,5 0 /) j= 0 , 5 0 £>,

В с о о т в е т с т в и и с о ст р а т е г и е й на II п е р и о д е :

е с л и	Ь2 = 0, т о		а г =	0 , cjч е д о в а т е л ь и о , D B — £>,;
е с л и		&2= 5 0 % , то		й 3= 1596, с л е д о в а т е л ь н о ,
		° - ( ,+ sfj z j i - и б д
				&3 = 7 0 9 6 , с л е д о в а т е л ь н о ,
= 0, с л е д о в а т е л ь н о ,
З в =	0	и С £ =	D s	Д = 0 ,70 О я,
З в =	0	и С £ =	D s	С ‘ « Д - 0 , 7 0 D3 = О .ЗО Д
				С ‘ « Д - 0 , 7 0 D3 = О .ЗО Д

	/--•100		/~*1	\| /-00
С ™ = С 2° + С 3° ° = Д + 2 Я 3=	и 234		— и 2	1 ^ 3 4 —

= D 2+ 2 £ ? 3= 3 Z ) з	=	0 ,5 0 Д +		2 Д =
	= 0 ,5 0 Д	+	2 - 1,15	D 2= 2 , 8 0 / ) г

В ы в о д . П о с к о л ь к у	> ^ 23i ,	т о н а И п е р и о д е

н е з а в и с и м о о т с т р а т е г и и н а I п е р и о д е п р и н и м а е т с я с т р а т е г и я 0

			П е р в ы й ша г р е ш е н и я
П р и б ы л ь		з а	III и IV	а ер и о д ы			С \|4= С 3 -{-			С ,
jZ-'Oi)		\|	L‘-l—			c'ai		— Д	“г Д	—
u 34 — ^ 3		i	L‘-l—			= о . з о д - \|- д -
=			D * « 2 0 g			= о . з о д - \|- д -
=			D * « 2 0 g	= < х з п д + ] , 1о						-н а д
				= < х з п д + ] , 1о						-н а д
В ы в о д .	П о с к о л ь к у С !^			> С	^	,	т о	зга	ЗП	п ер к о д е
н е з а в и с и м о	о т		с т р а т е г и й	на	[	и	II	п е р и о д а х згриагк-

м а ет с я ст р а т е г и д 0

В с о о т в	е т с т в и и	с о	с т р а т е г и е й н а 111 п	е р и о д е :
е с л и Ь3 = 0,	т о в 4= 0 , с л е д о в а т е л ь н о , Д = Д			и С < = Д ,
е с л и &3= 7 0 % ,		т о	«4= 1096, с л е д о в а т е л ь н о ,

A = ( i + ^ j ) А г = М 0 Д

	й4 = 0, с л е д о в а т е л ь н о ,	С т р а т е г и я 1 п о у с л о в и я м
	Д = 0 и С°л= а 4	з а д а ч и в ы б р а н а б ы т ь н е
	Д = 0 и С°л= а 4	м о ж е т
		м о ж е т

Примечание. Доход от эксплуатации									оборудования в течение (у—1)-го
«ода составляет				DJ.-1			./-ом периоде доход от эксплуатации обору
На	каждом		последующем
дования составляет				Dr		(‘ + ~ )		°]	г
где a j				}		\	100/	Г”1
	— прирост прибыли в результате модернизации, проведенной и конце
предыдущего периода.					%.	предыдущем			периоде не проводилась, то а -=0
Если модернизация					на
Затраты		на	модернизацию				в конце каждого /-го периода составляют
	bj
/	юо	•*

где bj— отчисления па модернизацию от доводов, подучеши.* а теченпа этото периода. SJ.

Если модернизация не проводится, то bj~ 0 н 3 ^ — 0.

Прибыль за /-и период составляет Су = D j	— 3 ~	/	*/\
Прибыль за /-и период составляет Су = D j	— 3 ~	II	- ——- / О у
Если модернизация не проводится, то Су =	Яу.

Периоды III и IV рассматриваются вместе, так как на IV периоде модернизация проводиться не может, т. е. на IV периоде нет выбора стратегий.

Описанная процедура на I шаге коротко записывается так:

о : q х q			=	max	0 !	Ds + Ds
•СЯ( = шах	L: q + q				1 :	0,3003 + 1,ЮО;)
=	0	;	2D3		= о :	2D3.
	max	:	1,40.
	1
На втором и третьем шагах				ход решения аналогичен описан

ному (см. табл.20).

Таким образом, набором оптимальных стратегий, обеспечива ющих макоимум суммарной прибыли за все периоды, является на бор «1000». Общее количество возможных вариантов стратегий составляет 23= 8 (число стратегий на .каждом периоде возводится ■в степень, равную числу периодов, на которых возможен выбор). Если число стратегий на каждом шаге увеличивается, например, до 4, а общее число шагов увеличивается, например, до 6, то об щее, число (вариантов стратегий составляет 4°=2048.

Аналогично задаче 2 решаются задачи оптимального распреде ления допусков, передаточных чисел в ступенчатой зубчатой пере даче (по критерию инерционности), 'межмашинных бункерных за пасов, задачи оптимизации процессов сушки, охлаждения, замены катализатора, складских запасов и т. д.

При анализе моделей замены оборудования также рассмат ривается задача обновления оборудования, решаемая методом попятной пошаговой оптимизации.

Общее решение задач 1 и 2 может быть интерпретировано, как многошаговый процесс принятия решений на каждом шаге. При этом множество возможных решений графически представля ется как упорядоченная сеть, т. е. ориентированный граф. Одна и

та же	задача может интерпретироваться	как	ярусный	граф
(рис.	11), иллюстрирующий задачу 1,а,	или	ветвящийся	граф

(рис. 12), иллюстрирующий задачу 2. Чаще, целесообразно пополь зовать ярусные графы, количество элементов на каждом ярусе ко торых соответствует количеству .выбираемых на каждом шаге зна чений, управляющих переменных (возможных управлений). В за даче 1,а возможные управления состоят в том, чтобы тип А1 при менить в сочетании с типом Б1 или Б2, или тип А2 в сочетании с теми же типами и т. д. В задаче 2 возможные управления состоят в применении стратегии 0 или 1.

Количество ярусов определяется количеством шагов, па кото рое разбивается общее решение задачи.

На графах (см. рис. 11, 12) жирными линиями показаны вари анты, соответствующие оптимальным решениям. Цифры слева от каждого графа показывают общую нумерацию шагов. Стрелки по казывают направление, в -котором осуществляется пошаговая оп тимизация.


Сущность					динамичес
кого	программирования
состоит именно в возмож							>г
ности замены решения N-
шаговой задачи решением
сначала		задачи,				рассмат
ривающей			один шаг, за
тем задачи, рассматрива
ющей два			последователь
ных шага и т. д.,						вплоть
до задачи, рассматриваю
щей все N шагов.
Решение задачи на /-м
шаге получается из реше							Рис. II. Ярусный граф возможных ре
ния	задачи			на		(г—1)-м	шений задачи динамического программи
шаге путем					добавления		рования:
i-ro	шага		(табл.			21).	I, II — шаги решения задачи 1, а
Структура					и	процеду
ра решения, а также так							С=С„
называемые				фазовые пе
ременные У,				которые опи
сывают		состояние проек
тируемой			иди		планируе
мой системы, не зависят,
т. е. инвариантны относи
тельно числа шагов.
Решение, принимаемое
на каждом шаге, состоит;
как	уже		указывалось, в
выборе		таких			значений
переменных					X,	чтобы
максимизировать						(или	шепни задачи динамического программиро
минимизировать)						целе
вую функцию F (У).							вания:
							I, И. Ш — шаги решения задачи 2

Решение эквивалентно

преобразованию я в соответствии с выбранным управлением X, за ранее сформулированными правилами, уравнениями и т. д.

Акт управления может состоять в выборе того или иного ва рианта управляющей переменной, стратегии, процедуры преобра зования и т. д.

Целевая функция чаще всего имеет аддитивную форму, т. е. получается простым сложением величин целевых функций, полу ченных на отдельных шагах. Целевая функция является в общем' смысле доходом (для задачи 2 это буквально так), зависящим от

количества	употребленных	ресурсов	(в задачах 1,а и	1,6	этими
ресурсами являются типы элементов)			и выбранных вариантов ме
роприятий	(процессов,	производственных способов		и	др.).
Целевая функция оценивает полезность распределения				ресурсов,
в целом.

5Т

Характеристика задачи

1Управление движения н

количество шагов

Значения управляющих переменные, Л:

на первом шаге

„втором

„третьем стратегия 0

. 1

Фазовые переменные У

Ограничения

Целевая функция Я (У)

Преобразование л ( )

	Табл ii ца 21
	Задачи
1а	о
Прямое, 2	Попятное, 3
Л1, А2, АЗ, А4	—
Б1, Б2, БЗ	—
Bl, В2, ВЗ	—
—	tij=0
	aj>0

Вероятность безотказной работы Рj

Р> Р*, где Я =

=ЯА X ЯБ X я в

Стоимость элементов А, Б, В

С= J (ЯА) + /(Я Б) +

+/(Р В) -*п,|п

Присоедпмеппе элемен тов и выбор домини рующих стратегии

Доход Dj п затраты на модернизацию 3j

В явном виде пет

Прибыль от эксплуата ции оборудования на четырех этапах

23| = Ct + Са ф-

+с3 -г

1)Cj = Dj — 3j

2)Выбор на каждом эта пе той стратегии, ко торая обеспечивает

максимальную при быль

В процессе пошаговой оптимизации составляются так называе мые рекуррентные, уравнения вида

Fk (У) = max \fk (Хк, У) + Fft_, (к (Хк, У))\,

	А',,
пде вместо знака max может фигурировать знак min.			«дохода» на
Первое	слагаемое уравнения — это	значения	«дохода» на
k-м шаге,	которые могут быть получены	в зависимости от выбо

ра того или иного управления Хк; второе слагаемое — суммарное значение целевой функции, полученное на (/г—1)-м шаге при использовании соответствующих управлений X к и соответствую щих преобразований я ( ).

.53

Часто рекуррентные уравнения записываются в виде

Sl = 71 (s k + ^л-О-

Для задачи 1, а я( ) означает преобразование на основе воз можных управлений, реализуемое

1) прибавлением поодиночке к тем сочетаниям типов элемен

тов	S А_ь которые получены на {к—1)-м	шаге, всех типораз
меров элементов S k, присоединяемых на /г-м шаге;
2)	выбрром на каждом шаге наилучших	сочетаний из общего

числа сочетаний, которые получаются при использовании управле ний данного шага.

Например, в задаче 1,а на втором шаге (k = 2) имели:

S* - А1 X БЗ; А2 X БЗ; АЗ X БЗ; А4 х БЗ;

S2 = В1ХВ2-ХВЗ; о* = АЗ X БЗ X В2.

Для задачи 2 фигурирующее в рекуррентном управлении преоб разование л ( ) по существу означает процедуру

I/ , !	. • • - ,(/г — 1), п] — шах О : Ста.\[у"Ь1 >• • • j (л —1)> Н1+С0(у) 1
	. I : Сш.1х [у + !,•••> (11— 1), ^ Н -С 1(/) J
где /= 1 ,	2, 3, 4.

В математической литературе указывается, во-первых, на воз можность 'существования необозримого множества задач, уклады вающихся в схему динамического программирования, во-вторых, на необходимость только общего и несколько неопределенного трактования характеристик динамического программирования и круга задач, которые могут быть сформулированы в его рамках.

В связи с этим укажем еще на одну разновидность задач ди намического программирования, несколько отличающуюся по своему характеру от изложенных выше.

Рассмотрим задачу составления оптимального расписания ра бот.

Найти такую последовательность запуска изделий- 1, 2, 3, 4 и 5, чтобы суммарное время обработки партии из всех пяти изделий

на .машинах А и В было бы минимальным.			на	каждой	машине
Заданы длительности	обработки	изделий	на	каждой	машине
(табл. 22).
				Таблица 22
		Изделие,		1
Длительность обработки изделия,		2
мин, на машинах А и В	I		3	4	5
	I		3	4	5
*А1	4	3	10	6	2
h i	5	1	4	15	3

Общее количество возможных вариантов обработки, которое следовало бы проанализировать при полном переборе, равно чис лу перестановок пяти элементов (рис. 13), т. е.

51=1 -2-3-4-5 = 120.

Рис. 13. Ветвящийся граф возможных вариантов последовательности обработки изделий

Процедура решения задач такого типа следующая

1.	Отыскать среди значений t ai	и tai	наименьшее.
2.	Если таковым окажется одно из ta i ,		поставить соответству
ющее изделие первым в табл. 21.
3.	Если таковым окажется одно из t Bi, поставить соответст
вующее изделие последним в табл.		21.	из описка.
4.	Вычеркнуть оба значения tAi	и t в;	из описка.

5.Повторить этот процесс с 2(i—1) оставшимися величинами tAl и t Bi •

6.При нескольких минимальных значениях элементов с одина

ковыми значениями t для определенности описания способа реше ния выбрать изделие с меньшим номером. Когда tAi = tB-, , упо рядочить список изделий по значению tAi ■

Решаем задачу (двойная вертикальная линия в табл. 23—26 отделяет характеристики тех изделий, которые переставляются на данном шаге).

					Таблица	24
		Второй шаг
/	5	1	3	4		2
	2	4	10	6		3
*В1	3	5	4	15		1
		Третий шаг			Т а б л и ц а	2 5
		Третий шаг
i	5	1	3	4	2
*А1	2	4	10	§	3
*А1		4	10	§	3
	3	5	4	15		1
		Четвертый шаг			Т а б л и ц а	26
		Четвертый шаг
i	5	1	4	3		2
*At	2	4	6	10		3
*В1	3	5	15	4		1
*В1

На этом процесс перестановок заканчивается, оптимальной по следовательностью запуска будет 5, 1, 4, 3, 2 (см. рис. 13).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ