книги из ГПНТБ / Ильинский, Д. Я. Обоснование решений при проектировании и эксплуатации машин и линий легкой промышленности учебное пособие

Результаты вычислений сведены в табл. II, из которой видно,: что1оптимальными значениями управляющих переменных будут Д)=1,85 см и Ло|=1,37 см (б — шаг изменения управляющей пере-, менной).

Принцип поиска состоит в «нащупывании» зоны оптимума (гари движении большими шагами) с последующим сужением зоны по:, иска п прохождением ее все более,.малыми шагами.

Стрелки вверх соответствуют возвра/ту в исходную (для каж­ дого цикла поиска) точку, чтобы начать из нее движение в ту же сторону более, мелкими шагами .или в противоположную сторону тем же шагом. Стрелки вниз соответствуют возврату в точку, «по-: дозреваемую» на близость к экстремуму, чтобы начать из нее дви­

Н. Н. Кулаковым и А. О. Загоруйко).

Выбрать способ повышения надежности (вероятности безотказ­ ной1 работы Р) системы, состоящей из четырех различных типов1 элементов, каждый из которых может быть заменен любым из трёх варйантов элементов того же назначения, но обладающих большей

Всего для повышения надежности выделено три единицы сто­ имости. В табл. 12 приведены показатели надежности всех трех вариантов каждого типа элементов. Например, если затратить одну единицу стоимости, то можно заменить любой из четырех

или.Ч. Исходя из того, что замена каждого элемента должна обес: печявать наибольшую надежность системы (исходя из очевидного стремления получить за одну и ту же единицу стоимости наиболь­ шийэффект) делается вывод о замене того или иного элемента. Такая же процедура осуществляется при распределении всех пос­ ледующих (второй н третьей) • единиц стоимости. Расчеты сведены.

41

в табл. 13, в которой обведены клетки, соответствующие элемен­ там, за счет которых решено повысить надежность системы при рас­ пределении каждой единицы стоимости.

Из данных табл. 13 видно, что следует затратить две единицы стоимости на повышение надежности элемента 3 (с 0,860 до 0,930) и одну единицу стоимости — на повышение надежности элемента

1(с 0,910 до 0,920).

Оптимальное распределение трех единиц стоимости обеспечи­

вает максимальную надежность системы Р=0,708.

Такие задачи являются типичными для оценки эффективности вложения определенного количества средств по различным нап­ равилеииям.

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Динамическое программирование, возникшее в конце 50-х го­ дов, является одним из наиболее перспективных и универсальных численных методов. Достоинства этого метода:

не накладывает ограничений на целевую функцию в омысле линейности, непрерывности, существования производных, выпук­ лости (каждая дуга кривой должна лежать не ниже своей хорды) и др.;

позволяет учитывать почти любые ограничения, накладывае­ мые на входные и выходные переменные;

устойчив к размерности задач, характеризующей общие объе­ мы исходной и получаемой информации;

дает возможность находить абсолютные (глобальные), а не локальные (местные) экстремумы;

относительно легко реализуется на ЭВМ.

В основе динампчеокого программирования лежит принцип оптимальности, сформулированный Р. Веллманом: «...каковы бы ни были первоначальное состояние и первоначальное решение, пос­ ледующее решение должно определять оптимальную стратегию относительно состояния, полученного в результате первоначаль­ ного решения».

Расомотрим решение элементарных задач методом динамичес­ кого программирования.

З а д а ч а 1, о. В условиях агрегатного машиностроения для конструктивной реализации каждого схемного решения машины обычно должно быть использовано несколько видов типовых агре­ гатных функциональных элементов (каждый вид предназначен для выполнения той или иной функции: рабочих операций, опера­ ций транспортирования и др.). Дано, что всего должно быть ис­

42

Дано, что для каждого из трех видов функциональных элемен­ тов А, Б и В может быть использовано: для А — четыре типа (А1,

ную стоимость С функциональных элементов машины-автомата, которой должна быть прямо пропорциональна стоимость машиныавтомата.

Для современного производства важно, чтобы при заданном темпе работы или скорости машины обеспечивалась заданная надежность ее.

Стоимость j-го типа i-ro вида функционального элемента, за­

теля надежности P>j при соответствующем режиме работы. Стоимость в условных единицах и надежность (вероятность без­

Примечание. В каждой клетке из нижнем строке целые числа указывают стоимость (в ус­ ловных единицах), дроби — вероятность безотказной работы.

Необходимо «айти такое сочетание типов всех функциональных элементов, используемых для конструктивной реализации функ­ циональной схемы машины, чтобы обеспечивалась надежность ее не ниже заданной Р *, т. е. Р>/Р *, а стоимость машины

с - 1 с „

/=,1

была бы наименьшей.

В данной задаче Р*=0,70.

Вероятность безотказной работы машины

Р = Р 1Х Р * Х ■ • • X P „ j = n P u .

/=1

44

при условии

Р= П Ри >уР*,

i- 1

соединению элементов соответствует операция логического умноже­

АХБ (табл. 16).

На первом и всех последующих шагах, кроме последнего, рас­ смотреть расположенные в клетках табл. 16 пары величии С и Р, соответствующие всем возможным сочетаниям вариантов типов обо­ их элементов, указанных в заголовках столбцов и строк таблицы.

45

Т а б л и ц а 16

Нуллифицировать (вычеркнуть) из дальнейшего рассмотрения все те клетки (пары С и Р), где

Р<Р*.

Например, для данных условий в табл. 16 вычеркиваются все клетки, кроме А1ХБЗ, А2ХБЗ, АЗХБ2, АЗХБЗ, А4ХБ2, А4ХБЗ.

Вычеркнуть клетки (пары С и Р ), в которых величины С одина­ ковы, оставив клетку с наибольшей величиной Р. Например, для данных условий в табл. 16 вычеркивается клетка АЗХБ2, которая сравнивается с клеткой А2ХБЗ.

Вычеркнуть .клетки (пары С и Р), в .которых величины Р одина­ ковы, оставив клетку с наименьшей величиной С. Например, для данных условий в табл. 16 должна была бы вычеркиваться клетка

(ai X “о X аэ X «л- 2 ) X «л-ь

принцип построения которых, заключающийся в последовательном прибавлении всех последующих элементов к логическому произве­ дению всех предыдущих, идентичен изложенному выше.

пару с наибольшей величиной Р. Этой паре будет соответствовать сочетание элементов ось а2, . . . , а,„ обеспечивающих мини­ мум целевой функции С при заданных ограничениях, наложенных на Р.

В данных условиях для второго (последнего) шага получаем табл. 17 для А X Б X В.

46

T ft 0 л н ц а 1 /

шины-автомата накладывалось бы ограничение С < С * (напри­ мер, С-<9), то из табл. 17 получаем, что оптимальным сочетанием заданных пипов элементов будет А2ХБЗХВ2, т. е. для данных усло­ вий нельзя получить машину с надежностью выше 0 ,6 8 , затратив 9 единиц стоимости.

Общее количество возможных сочетаний составляет произведе­ ние всех типов элементов всех видов ( в данном случае 4 x 3 x 3 = 3 6 сочетаний).

Увеличение количества видов и пилав элементов ведет к резко­ му увеличению возможных вариантов их. Например, если необхо­ димо использовать элементы пяти видов, для каждого из которых можно использовать четыре пипа, то общее число возможных вари­ антов составит 5x5x5X 5=625.

Аналогично рассмотренной задаче, решается задача оптималь­ ного резервирования.

Рассмотрим усложненный вариант задачи 1, а.

З а д а ч а 1, б. Найти такое сочетание типов всех используемых для конструктивной реализации схемы машины-автомата видов функциональных элементов, обеспечивающих заданный темп ра­

нимаются затраты времени на переналадку машины в связи с из­

C= E s , . Q , -

г- 1

наименьшей. Здесь s, — количество одинаковых экземпляров г-го элемента в машине, C,j—стоимость /-го типа i-ro элемента, завися­ щая от его надежности и переналаживаемое™, т. е. С/у= /

47

Оценивающий надежность всей машины-автомата коэффициент готовности (по ГОСТ 13377—67) составляет

где Tij h Tbij соответственно наработка на отказ н среднее вре­ мя .воостановления /то элемента /то варианта.

Показатель перепал аживаемостн машины-автомата

Приходим к задаче оптимизации выбора типоразмеров функци­ ональных элементов машины.

Находим минимум стоимости

48

в) Если внутри группы есть триады, в которых величина С оди­ накова, то следует вычеркнуть все триады, кроме той, где величина ■t наименьшая, т. е. эффективность системы наибольшая.

г) Если внутри группы есть триады, в которых величина t -одинакова, то следует вычеркнуть все триады кроме той, где вели­ чина С наименьшая.

д) Выбрать триаду с наименьшим значением t. Величины, ко­ торыми характеризуется эта триада пометим знаком ■—,т. е. вы­ бранная триада описывается как (С, ц, t ). Все триады, у кото­

рых О С и t > t, вычеркнуть.

Перейти к триаде со значением t, ближайшим большим по отно­

шению к величине t, п повторить ту же процедуру.

Процедуры проделать для групп триад, соответствующих всем зонам. Оставшиеся триады всех групп используются для построе­

■способ построения которых, заключающийся в прибавлении поодн ■ ночке всех элементов последующих видов к возможным сочетаниям всех типов всех предыдущих видов идентичен, описанному в пунк­ те 1 .

4. На последнем (п—1)-м шаге анализ таблицы с^Х ^Х • •« X Х«л принцип построения, т. е. синтез, которой такой же, как и всех предыдущих, заключается в том, чтобы из триад этой табли­ цы выбрать те, величины которых С < С * , •»]* и £<£ *, а ве­ личина С наименьшая. Полученное на (п—1)-м шаге оптимальное решение (точнее решение, подозреваемое на оптимальность) прове­ ряется, чтобы убедиться в том, что примененный способ пониже­ ния размерности задачи не внес погрешности в результат и полу­ ченное решение действительно является оптимальным, либо, чтобы уточнить результат и выявить тем самым оптимальное решение.

Все варианты, у которых С < С * , ■?]>?)* и f < t*, можно счи­ тать конкурентоспособными, и наиболее приемлемое для конкрет­ ных условий решение (не обязательно такого, у которого С min)

•следует выбирать исходя из соображений, не нашедших отражения в принятой модели оптимизации.

Обычно результативных вариантов, удовлетворяющих ограниче­ ниям, не так много и их полезно обозреть, чтобы в случае необхо­ димости внести коррективы в исходные величины.

В ходе решения задач пошаговой оптимизации может выявить­ ся «органическая недостаточность» исходных данных, свидетельст­ вующая о возможности решения ее и о необходимости применения

50