книги из ГПНТБ / Ильинский, Д. Я. Обоснование решений при проектировании и эксплуатации машин и линий легкой промышленности учебное пособие

Рис. 7. Схема для нахождения оптимальной загрузка машин

31

Частное от деления количества продукции Х\, х2 и х3 (в штуках)

соответствующего вида на производительность Q шт' (см. табл. 10)

мес.

определит длительность работы (в долях месяца) по выпуску про­ дукции этого вида.

Рассмотрим вариант I. Ограничения по ресурсу времени:

мальный объем каждого вида продукции А и В, соответствует мак­ симально возможной прибыли.

F = 15 • 20,3 • 1 0 3 + 1 2 • 6,4 -,1 0 3 = 381,3 ■1 0 3 коп. = 3813 руб.

Рассмотрим вариант II.

В отличие от варианта I количество искомых величин в вариан­ те II увеличилось, так как необходимо найти максимальную при­

32

xz-m'3

Рис. 8. Схема для нахождения оптимального ассорти­

мента продукции (до реконструкции)

3.3 -

левую функцию с наибольшим лоложительным коэффициентом. В целевую функцию. (VI') с наибольшим положительным коэффи­ циентом входит переменная х2.

..Сравним величины отношений свободного члена уравнений (I"),

получена сложением уравнения (II"), предварительно умноженно­ го на (—2 ), с выражением (УГ).

Новое, улучшенное решение соответствует точке В (см, рис. 9):

При этом Fb =3080 руб.

В точке В многогранника допустимых значений OABCDEFG целевая функция достигает максимума, так как в выражении (VI") все коэффициенты отрицательны и переход от вершины В к лю­ бой соседней вершине G или С (в вершине А величина целевой функции уже определялась) только уменьшит значение целевой функции F.

Как уже указывалось, общий метод решения задач линейного программирования заключается в продвижении по построенному исходя из заданных неравенств и условий неотрицательности пере­ менных многограннику от одной его вершины к другой до тех пор пока значение целевой функции не достигает максимума (или ми­ нимума) .

Сопоставляя варианты I и II видим, что максимальная прибыль при варианте I больше максимальной прибыли при варианте II (так как 3813>3080). Следовательно, задача расширения ассорти­ мента выпуска продукции должна решаться не частичной модерни­ зацией производства, выпускающего продукцию А и В, а, например применением специализированного оборудования, предназначен­ ного для выпуска продукции С.

Рассмотренные задачи содержали всего две или три управля­ ющие переменные, поэтому легко решались вручную. Когда чис­ ло переменных в задачах значительно (:в частности, задачи поряд­ ка 50x100, т. е. задачи, содержащие 50 ограничительных условий, в которых фигурирует 10 0 переменных, обычно считаются задачами среднего размера), применяются универсальные и специализиро­ ванные ЭВМ.

Например, в результате решения одной задачи такой величины на универсальной ЭВМ «Минск-22» (машинное время решения составило около пяти минут) был создан оптимальный план рас­ кроя рулонной трансформаторной стали для сердечника трансфор­ матора. При этом раскройный коэффициент (отношение суммарной площади выкраиваемых деталей к суммарной площади исходного материала), характеризующий оптимальный план раскроя, вырос с 91 до 97%.

Использование специализированной ЭВМ — электронной маши­ ны ЭМРТ, предназначенной для определения-, оптимального пла­ на раскроя настила ткани (по критериям либо величины концевого остатка, либо количества длин настилов, на которые раскраивается кусок ткани и др.), по данным швейной фабрики имени СмирноваЛасточкина (Киев) обеспечивает экономию 11 тыс. руб. в год.

36

Применение линейного программирования для планирования за­ грузки трех групп .машин (каждая группа состоит из машин одного типа) многоаосортимеитиого пошивочного конвейера предприя­ тия кожгалантерейной промышленности позволило при той же про­ изводственной программе вдвое уменьшить количество единиц обо­ рудования.

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Задачи оптимизации, которые не укладываются в модель линей­

ограничения, но на управляющие переменные их наложены условия целочисленности),

Искомые переменные: скорости х\ и х2 рабочих органов соответ­ ственно I и II, функционирующих последовательно.

Ограничения, накладываемые на искомые переменные:

из условий надежной работы (величина параметра потока отка­

которой прямо пропорциональны приведенные затраты на изготов­

ление единицы продукции.

Построим в координатах х\Ох2 многоугольник ACDF, являю­ щийся областью допустимых значений искомых переменных Xi и х2

(рис. 1 0 ).

Целевой функции соответствует семейство квадратичных пара­

ось симметрии которых отстоит от оси абсцисс на расстоянии «I»,

37

равным

где а п b — коэффициенты трехчлена у = ах2 + Ьх + с.

Оптимальное решение определяется координатами точки Мх, в которой линия CD касается той из семейства парабол, которая соот­ ветствует искомому минимальному значению целевой функции. Найдем координаты точки М\.

Рис. 10. Схема для нахождения оптимальных режимов работы рабо­ чих органов машин

Из уравнения линии CD (см. выражение I), записанной в виде

получаем угол наклона линии CD, являющейся касательной к па­ раболе

х2 = х\ — 2хг — F .

Всоответствии с выражениями (VIII) и (IX) имеем:

откуда Я]'=0,66, а из уравнения (I) :лс2—1,55.

38

В точке М, (0,66; 1,55) целевая функция составляет:

F = 2 - 0 ,6 6 - 0,662 + 1 >55 = 2>44 = ^ ш(п.

Если условия задачи изменяются и принимаются иныеогранииония, вытекающие из условий надежной работы (величина пара­ метра потока отказов прямо пропорциональна квадрату скорости),.

то область допустимых значений искомых переменных х\ и х2 изо­ бразится в виде многоугольника ABEF (см. рис. 10).

Оптимальное решение, соответствует точке М2. В этой точке касательная к кривой BE, имеющей уравнение

2 * 2 + 3*2 = 6 ,

совпадает с касательной к тому семейству парабол, которое соот­ ветствует искомому минимальному значению целевой функции. Кроме того, точка М2 является общей для кривой

2 А. 2 —|—3*2 = 6

и для указанной параболы. Найдем координаты точки М2. Приравняем производные от уравнения (К), дифференцируе­

мого как неявная функция, и от целевой функции (IX).

- £2 = 2‘ х 1- 2 . (X)

Оптимальные значения переменных находятся из решения сис­

откуда *1=0,80; *2=1,26. В точке М2 (0,80; 1,26) целевая функция:

составляет

Е = 2 • 0,80—0,802 + 1,26=2,22=Fmln.

З а д а ч а 2 (метод поочередного изменения величины управ­ ляющих переменных или метод Гуасса-Зайделя). Определить оп­ тимальные (по критерию приведенных затрат) величины внутрен­ него диаметра D и толщины !г теплоизоляции трубы водопровода для подачи горячей воды.

Целевая функция имеет вид

F = — + 6ln[(D + h)jD]-1+ cD + dli

Z55

(первое слагаемое определяет стоимость энергии, необходимой для прокачки воды; второе—стоимость потерь тепла в трубопро­ воде; третье — стоимость труб; четвертое — стоимость теплоизо­ ляции) .

Параметры задачи: а=10,0; 6=1,0; с=0,5; d=l,0.

39

Таблица II

40