книги из ГПНТБ / Ильинский, Д. Я. Обоснование решений при проектировании и эксплуатации машин и линий легкой промышленности учебное пособие

К задачам рационального .использования производственных ре­ сурсов обычно относятся задачи выбора:

оптимального плана раскроя исходных материалов как штуч­ ных .-(например, натуральных кож, листов стали, жести, фанеры, картона, полос, прутков, бревен и др.), так и погонных (например, тканей, рулонных искусственных кож, пленок, бумаги и др.);

оптимального распределения и назначения (например, видов изделий или видов работ между машинами), оптимального ассор­ тимента продукции (в том числе и в связи с рассмотрением воп­ роса целесообразности степени специализации предприятий), оп­ тимальной маршрутизации производственного транспорта п др.

Ниже рассматриваются некоторые типовые задачи линейного программирования.

З а д а ч а 1. Требуется определить оптимальный режим работы, штампа-автомата 1, вырубающего детали из одноили много­ слойного настила материала, рулоны которого находятся на стой­

кладываемые на искомые величины из условий получения заданной производительности,

/ — iiz2—>min,

21

поскольку произведению nzz прямо пропорциональна себестои­ мость машино-минуты (себестоимость одной минуты машинного времени).

Таким образом, следует найти такие значения п и z, при кото­ рых целевая функция достигнет минимума.

Прологарифмировав выражения I—V, обозначив \gn=Xi и \SZ—X2, /7=lgf, получаем систему линейных ограничительных ус­ ловий;

и линейную форму целевой функции

F — Х\ + 2x2— min, минимум которой следует найти.

Рис. 3. Схема графического решения задачи линейного программирования:

22

Решение задачи начнем с построения области допустимых зна­ чений управляющих переменных (рис. 3), для чего в координатах л- 1Ох2 нанесем линии

Элементарные правила аналитической геометрии, касающиеся построения линий на плоскости, иллюстрируются рис. '3, а.

указывают, какие полуплоскости в пересечении дают область до­ пустимых значений.

Следует отметить, что точка, соответствующая оптимальному решению, не будет находиться внутри области допустимых значе­ ний переменных, а будет лежать в вершине многоугольника (при количестве переменных более двух — многогранника) или на его границе.

Рассмотрим целевую функцию

F = х г + 2

которая является линейной функцией координат (х\,- х2) точки на плоскости. Проведем прямую Fi = xi+2x2 через произвольную точ­ ку ЛГ, (1,4; 0,4).

При этом следует «меть в виду, что коэффициенты при пере­ менных в уравнении прямой есть проекции иа оси координат век­

тора п, перпендикулярного прямой. В данном случае проекции

вектора п на оси координат Ох\ и Ох2 составляют соответственно одну и две произвольные единицы. Получаем'прямую

Fо—Xi+'2x2.

Прямая F\, проведенная через произвольную точку Л+ (1,4; 0,4) параллельно прямой F0, является геометрическим местом точек, в котором Fi = 1,4+ 2 • 0,4=2,2. Как известно, в данном случае зна­ чение F пропорционально расстоянию d прямой от начала коорди­ нат. Проведем прямую F2 = xi + 2x2 через произвольную точку М2

(1,6; 0,2), получим /72= sl,6+2 • 0,2 = 2,0.

23.

Очевидно, что полученные решения Fi и F2 не являются опти­ мальными, так как внутри области допустимых значений можно найти точки, где величина F меньше, чем /д и Р2.

Проводя параллельные между собой прямые F= x i + 2 x2 через различные точки М, получаем семейство параллельных прямых, каждую из которых принято называть линией уровня (линией рав­ ных значений) линейной формы F.

Видим, что при переходе от точки М\ к точке М2 величина F уменьшилась, следовательно, необходимо продолжить^двпженне в

л-! и х2 и лежит на прямой F = x\ + 2х2. Именно в этой точке целевая

24

данном случае параметрами задачи, а количество получаемых за­ готовок каждого вида — ограничителями.

Возможные варианты (жарты) раскроя показаны на рис. 4. Со­ ставим карту раскроя (табл. 7).

Необходимо определить минимум общего количества израсхо­ дованных листов исходного материала

5

S X/ — х2-{- х2-j- х3-|- х4 -р х5,

г = 1

раскрываемых по каждому из пяти возможных вариантов при ус­ ловии, что заготовки получены в заданном количестве (в заданном соотношении и комплектности).

В прямоугольной системе координат АОВ наносим точки k h k2, /г3, ka, п k5, откладывая по осям абсцисс и ординат количество за­ готовок соответственно а и в, выкраиваемых из одного листа по каждому варианту (рис. 5, а). Получаем многоугольник содержащий все допустимые планы раскроя.

По условиям задачи отношение общего количества заготовок а к общему количеству заготовок в должно составлять 4000 : 6000 = = 2:3. Через начало координат проводим луч ОМ, проекции лю­ бой точки которого на координатные оси имеют отношение 2 : 3. Оптимальным планом раскроя будет тот, которому соответствует точка, одновременно принадлежащая и лучу ОМ и многоугольни­

откуда

— • 1375 = 1250 листов,

И

по варианту k5 — • 1375 = 125 листов,

и

Оптимальность выбранного плана раскроя проверяется на осно­ ве критерия оптимальности, предложенного акад. Л. В. Канторови­ чем — первооткрывателем линейного программирования.

Смысл критерия оптимальности заключается в том, что для оптимального варианта решения всегда имеются такие оценки, что скалькулированная по ним результативная эффективность исполь­ зуемых способов будет равна нулю и меньше (или равна) нулю

26

для неиспользуемых способов. Иначе говоря, затраты на раскрой исходного листа должны компенсироваться полученными результа­ тами.

Произвольно припишем исходному листу оценку в 30 условных единиц стоимости (оценка не обязательно связывается с пло­ щадью). Тогда из условий рентабельности, сопоставляющих затра­ ты и оценку продукции в соответствии с вариантами раскроя k2 и k3 (см. карту раскроя),

(3/и + 4л.) — 30= 0, (2т + 8л) — 30 = 0.

Находим

Для неиспользованных вариантов раскроя ku kit /г5 получаем:

Согласно критерию оптимальности более экономичного плана раокроя не существует и применение иных вариантов не более рен­ табельно, чем вариантов k2 и k3.

З а д а ч а 3. Требуется определить оптимальный состав смеси (продукта), в который входят компоненты А, В и С и которая по­ лучается смешением исходного материала (сырья) I и II видов. Условия задачи сведены в табл. 8.

рые обеспечивают получение продукта заданного состава (А-.В-.С— =6:15:10) при минимальной стоимости его.

Ограничения, накладываемые на переменные величины (из ус­

ловия получения продукта заданного состава),

деляет оптимальный состав смеем. При этом стоимость 6+ 15+ 10= =31 кг продукта заданного состава минимальна и составляет

/го = 6 • 13,3+4 •33,0=212=/7mln.

Рис. 6. Схема для нахождения оптимального сос

тава смеси продукта

В том, что полученное решение наилучшее, т. е. целевая функ­ ция в точке MQдостигает минимума, можно убедиться, подсчитав

■28

F o < F l < F i < F 3.

З а д а ч а 4. Требуется определить оптимальную загрузку ма­ шин Л и В в течение смены. Каждая машина может быть исполь­ зована для выпуска изделий I и II видов, т. е. требуется определить

29

За целевую функцию принимаются суммарные затраты труда на выпуск продукции заданного объема

Для уменьшения количества переменных, воспользовавшись формулами (III) и (IV), выразим х\в и Хчв соответственно через Л'и и х>д:

Х\в = — (42 — 7 лгм);

Xiв и xiв соответственно через х \а и х-2а и приведя подобные члены, получаем:

В соответствии с методикой, изложенной выше, находим реше­

нитурного производства, состоящего из штамповочного, механичес­ кого и сборочного цехов.

При существующем положении (I вариант) выпускается про­ дукция А и В. Предполагается частичная модернизация (II вари­ ант), в результате которой это же производство будет выпускать продукцию А, В и С.

30