книги из ГПНТБ / Зенова, Е. Ф. Статика учебное пособие

образом заполняющих его объем. Объемы этих элементов будут ДаУ|, Дго2, ...,; к каждому из них будет приложена

соответствующая элементарная сила тяжести Aq±=Aqik\j,

Mc(Aqj) = [СМ3Х (Д?3-)с] = [CMj X M t] = [CMjX/Mr^ic].

Так как qj — скалярный положительный множитель, то

M,,(,\qj) = [Л<7;-СМ,-хМ.

Поэтому

~Le = lim 2 [Дг/;СЛ1^хЛ|с]. ^'/у-п7“1

с о

Единичный орт k\c может быть вынесен за знак суммы и за знак предела, ибо k\c= const. Следовательно,

Lc= [(lim 2 Aqj-CMj) Хк\с].

у-1

л - * СО

Из определения интеграла следует, что

lim 2 Aqj-CMj = §CMdq.

4«Г*о/=1 (?)

п-*со

8 0 ’

Значит,

По определению, эта система сил уравновешена, поэтому

CM dq \ x k = 0.

07)

Полученное векторное произведение должно равняться нулю

при любых углах между векторами СМ и k\c (на основании определения центра тяжести твердого тела), следовательно,

поскольку k\r=?(=0, первый множитель

векторов центра тяжести твердого тела в подчиненной и главной системах координат.

1. В подчиненной системе координат положение центра тяжести определяется радиусом-вектором рс. Из рис. 51

J Рс dq = J р dq,

(?)(17)

НО

IРсdq =ре 5 dq = qpc.

(?)(9)

Значит,

Яре = Ipd-q,

твердого тела (|, ц, £). После проектирования формулы (25) на оси Рц, Pt, найдем

Формулы (26) определяют координаты центра тяжести твердого тела в системе координат, неизменно связанной

ствердым телом.

2.В главной системе координат положение центра

(?)

Обозначим (хс, ус, zc) координаты точки С в главной системе координат, (х, у, z ) — координаты произвольной точки твер­ дого тела в тон же системе координат. Проектируя фор­

мулу (27) на оси Ox, Оу, Oz, получим

х е = — I xdq\ ус = - у J у dqzc = ~ J zdq. (28)

Формулы (28) определяют координаты центра тяжести твер­ дого тела в системе координат, неизменно связанной с вы­ бранной системой отсчета (Землей).

Рассмотрим частный случай, когда твердое тело одно­

по сравнению с двумя другими, например, тонкая плита)

82

Для каждого из этих тел можно получить формулы для радиусов-векторов и координат центра тяжести как в под­ чиненной, так и в главной системах координат из соответ­ ствующих формул (25), (26), (27), (28). Эти результаты по­ мещены в таблице, которая показывает, что положение центра тяжести однородного твердого тела зависит не от ма­ териала, из которого оно изготовлено, а от его геометриче­ ской формы.

называются статическими моментами объема w относительно координатных плоскостей РцС,, РЬ) соответственно. Статические моменты площадей и линий относительно тех же плоскостей определяются формулами

(/)(b w

Аналогично можно было бы определить статические моменты объемов, площадей и линий относительно координатных плоскостей Oyz, Ozx, Оху.

§ 3. Способы нахождения центра тяжести твердого тела

Для практического определения положения центра тя­ жести твердого тела существуют следующие способы:

метод разбиения; метод определения положения центра тяжести симмет­

ричных тел; определение положения центра тяжести твердого тела

с помощью теорем Паппа — Гульдина; графический метод; экспериментальный метод.

На двух последних способах — графическом и эксперимен­ тальном ■— мы останавливаться не будем.

Метод разбиения

Этот метод может быть применен для нахождения центра тяжести как однородного, так и неоднородного твердого тела. Для его использования необходимо, чтобы твердое тело могло быть разбито на конечное число частей, для каж­

дой из которых вес qj и положение центра тяжести С,-(г легко могут быть найдены (рис. 52). В этом случае фор­ мула (27) может быть записана так:

(29)

&4

В данном случае пластинку целесообразно разбить на три части:

1)прямоугольник со сторонами 2,5а и 2b (центр тяжести

С| находится в точке пересечения диагоналей);

2 ) прямоугольный треугольник с катетами а и 2 b (центр тяжести Са находится на расстоянии */з от каждого катета); 3) круг радиуса 0,5b (центр тяжести С3 находится в его

центре).

Для каждой нз этих частей вычислим площадь и найдем координаты центра тяжести.

Координаты центра тяжести 'пластины находим по формулам

.. __-SiA'i 4- S^x3 —

Ус = $лУ\ 4~5зУз —^зУз

5

86

Метод определения центра тяжести симметричных тел

Этот метод позволяет определять положение центра тяжести у однородных симметричных тел. Основывается он на следующих теоремах:

У

л

Рис. 53

то его центр тяжести расположен на этой оси; 3) если однородное твердое тело имеет центр симметрии,

то его центр тяжести совпадает с центром симметрии. Докажем первую из этих теорем. Пусть твердое тело имеет

плоскость симметрии (рис. 53), которую мы примем за пло­ скость xOz. Нам нужно доказать, что центр тяжести этого тела лежит в плоскости xOz, т. е. что ус= 0.

Разобьем твердое тело на бесконечно большое число бесконечно малых элементов, сплошным образом заполняю­ щих его объем. То обстоятельство, что плоскость xOz есть плоскость симметрии, означает, что каждому бесконечно

87

малому элементу с объемом Дои,- тю одну сторону плоскости, положение которого можем определить координатами Xj, у,, zjt будет соответствовать равный ему элемент объема Aдо3по другую сторону плоскости симметрии; прямая, соединяющая эти элементы, MjM/, будет перпендикулярна плоскости сим­ метрии и в точке пересечения с нею будет делиться пополам. Последнее означает, что координаты элемента будут

X}, ~Уь zi-

Обратимся к формуле, определяющей ординату ус центра тяжести. Известно, что для однородного объемного тела

Воспользовавшись определением тройного интеграла, это выражение запишем теперь так

но из только что . сказанного следует, что п всегда четное число, а каждому положительному слагаемому у,Ащ обяза­ тельно будет соответствовать такое же по величине, но отри­ цательное слагаемое —yj&Wj,^ Поэтому

чго и требовалось доказать.

Две другие теоремы доказываются аналогично.

В качестве примера применения метода симметрии уста­ новим формулу для определения положения центра тяжести однородного тела вращения. На рис. 54 изображено одно­ родное тело вращения высотой Н, осью симметрии которого

является ось Ох. Тело ограничено плоскостями, перпендику­ лярными оси симметрии. Плоскость yOz совпадает с пло­

скостью нижнего основания тела. Так как ось Ох — ось сим­

Для этого твердое тело разбиваем на бесконечно большое число бесконечно малых элементов сечениями, перпендику­ лярными оси симметрии. Эти элементы сплошным образом заполняют объем данного тела. Выделим один элемент

88

рассматривать его как цилиндр с радиусом основания RXj- Тогда

Окончательно положение центра тяжести однородного тела

вращения, ось симметрии Лторого совпадает с осью Ох, определится координатами

89