книги из ГПНТБ / Зенова, Е. Ф. Статика учебное пособие

3) Re — сила реакции стены, приложенная в точке Е — точке касания цилиндра со стеной и направленная по ра­ диусу цилиндра к центру 0;=

4) сила реакции в заделке А представлена смлой_ RA, которая изображена _через ее составляющие RAx и RA„ и моментом заделки Мзад, направленным перпендикулярно плоскости чертежа (по оси Аг).

Силы взаимодействия между цилиндром и балкой не изображаем, ибо они взаимно уравновешиваются. Осп координат изображены на чертеже.

Так как рассматриваемая система сил плоская, то со­

Система трех уравнений содержит четыре неизвестных: RAx, Rav, Мгзад, Re- Из этой системы можно решить только урав­ нение (б), из которого находим RAy=Q + P.

Для нахождения остальных неизвестных необходимы еще. дополнительные уравнения, которые мы получим, если рас­

60

смотрим условия равновесия сил, действующих на цилиндр. К цилиндру будут приложены силы RE и Q, о которых мы уже говорили, и сила R d, характеризующая механическое

действие балки АВ на цилиндр. Сила Rd направлена по радиусу цилиндра к его центру О (рисунок 6 к данному примеру). Получили, что к цилиндру приложены силы, линии действия которых пересекаются в точке О. Поэтому состав­ ляем два условия равновесия (сходящаяся плоская система сил):

•гивоположны им по направлениям; в заделке А составляю­ щие силы реакции R a x = — Q ctga, R a v = Q + P и реактивная

пара, момент которой yM3n,l=0,5Q-/'cosec2-^- + 3P-r sin а и

О

направлен так, как_показано на чертеже (М:зад>0).

Что касается Rax, то полученный при расчетах знак минус означает, что в действительности эта составляющая

направлена противоположно оси Ах. Эту же задачу можно

61

было бы решить, рассматривая по отдельности условия рав­ новесия системы сил, приложенных к цилиндру (рисунок б)

и балке АВ (рисунок в), учитывая, что Rd ——Rd, Rdi\ \ R d- Пример 8 (условия равновесия пространственной системы сил). Груз весом ф=100кГ равномерно поднимается с помощыо_ворота. Рукоятка Л/( = а=10 м и приложенная к ней сила Р лежат в плоскости, перпендикулярной к оси АВ

ворота, причем сила Р составляет с вертикалью угол (3=60°. Веревка сходит с барабана под углом а = 30° к горизонту. К колесу D. жестко скрепленному с воротом, приложена пара

Ре ше ние . Так как ворот равномерно поднимает груз Q, то система сил, приложенная к нему, уравновешенная. Силы, действующие на ворот:

Для удобства проектирования на оси координат силы Q

62

н вычисления ее моментов относительно координатных осей сделаем вспомогательный рисунок б к данному примеру. Так как система сил пространственная, то составляем шесть условий равновесия:

/?Л*= 116 ■0,866-100-0,866 + 12,5= 26,4 кГ.

Вывод. В результате проделанных вычислений получили, что для равномерного поднятия груза Q необходимо при-

63

Г Л А В А IV

НЕУРАВНОВЕШЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

В этой главе рассматривается вторая задача статики — замена системы сил, приложенных к твердому телу, другой, более простой системой, ей эквивалентной. Простейшими неуравновешенными системами сил являются: 1) равнодейст­ вующая сила; 2) пара сил; 3) динама.

§ 1. Необходимые и достаточные условия эквивалентности систем сил

Теорема. Для того чтобы две системы сил, приложенные по отдельности к одному и тому же твердому телу, были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы их характе­ ристические величины, построенные при какой-либо точке, были соответственно равны:

телу. Сформулированная теорема может быть принята без доказательства *, ибо из определения характеристических

величин системы сил и определения эквивалентных систем сил условия (20) очевидны.

* Доказательство теоремы дано в кн.: Б. Н. Окунев. «Статика».

ЛМИ, 1956.

64

иию (21). Нужно доказать, что тогда эта система сил имеет

ной системы сил условие неравенства нулю главного вектора

{РРф 0) является необходимым и достаточным, для сущест­ вования равнодействующей.

2. Если система сил имеет равнодействующую, то момен равнодействующей данной системы сил относительно любого полюса равен геометрической сумме моментов сил, состав-

66

ляющнх систему относительно того же полюса (теорема

Варнньоиа) MP(S) = I MP(Fj).

j= i

3. В аналитической форме условия существования раино действующей системы сил имеют вид

2) Ррф0\ ЬрфО-, LpLFp (рис. 41,6). Уравнение линии действия равнодействующей может быть найдено как урав­ нение центральной оси системы сил, для каждой из точек которой главный момент системы сил равен нулю. Однако это можно сделать и непосредственно, спроектировав на оси координат Pxyz векторное равенство

В данном случае D(x, у, z) — произвольная точка, нахо­ дящаяся на линии действия равнодействующей системы сил;

го равенство (22) в развернутом виде запишется так:

О= Lp/?2p—zFk^p+yFkzp.

Проектируя это равенство на оси координат, получим

0— 0;

0— LP—zF;

0=yF,

откуда

Уравнения (23) определяют уравнение линии действия равнодействующей системы сил. Из них следует, что равно­ действующая лежит в плоскости, перпендикулярной глав­

ному моменту L P и отстоит от главного вектора FР на рас-

откуда поворот от FP к LP на наименьший угол происходит против часовой стрелки).

В заключение необходимо обратить внимание на раз­ личие понятий главного вектора и равнодействующей системы сил.

§ 3. Пара сил

Парой сил называется система двух параллельных сил

(Fi и F2), равных по величине, противоположных по направ­ лению и неколлннеарных (рис. 42).

Плечом пары сил называется расстояние между линиями действия сил, образующих данную пару; в дальнейшем его будем обозначать /г. Плоскостью действия пары называется плоскость, в которой расположены силы, образующие.-дай* ную пару.

Действие пары сил (как и любой другой системы сил) на твердое тело полностью определяется ее характеристиче­ скими величинами. Для удобства их вычисления выберем

68

.Так как главный вектор и характеристическое произве­

пары сил па твердое тело будет определяться только глав­

ным моментом Lq. Покажем, что главный момент пары сил не зависит от выбора полюса (является инвариантом для данной пары). Действительно, зависимость между главными моментами данной системы сил, вычисленными в разных точках О и Р, записывалось формулой:

Li> = Lo~M 0(Fp) ,

но главный вектор Fp для пары сил всегда равен нулю, поэтому ~LP — L0.

В соответствии с полученными результатами введем_поня­

тие момента пары сил. Моментом М пары сил {F\, F2) называется векторная физическая величина, изображаемая свободным вектором, численно равным произведению вели­ чины одной из сил, составляющих пару, на плечо пары и на­

мится повернуть твердое тело, к которому она приложена, против часовой стрелки.

_ В рассматриваемом случае (см. рис. 43) момент пары сил

(F,, F2) M = L0, M = y2Fkзо, где y%= h — плечо пары, F= FX= F2.

Из полученной формулы следует, что момент пары сил может быть определен как момент одной из сил пары относительно точки приложения другой силы этой пары.

На рис. 44 изображены две пары сил и указаны их моменты. В различных задачах, где действуют пары сил, изображают не пары, а их моменты в виде стрелочек, пока­ зывающих направление вращения пары, лежащих в пло­

69