Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зенова, Е. Ф. Статика учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Теорема 3. Характеристическое произведение системы сил не зависит от выбора полюса. _ _ _

Рассматриваем систему сил {F\, F2, ..., Fn) , приложенных к твердому телу. Характеристические произведения этой системы сил, вычисленные в произвольных точках О и Р, по определению записываются в виде:

Н0= (F0 -L0) ; # р = (Fp-Lp).

Нужно доказать,	что Н0= Нр.
Доказано в предыдущих теоремах, что
	Fp = Fo, Lp = L0— M0(Fp).
Поэтому	_ _	_	_
Нр= (Fр • Lp) = (Fа ■[Lq—М0 (Fр) ]) =
	= (F„-L 0) - { F n-M „(FP)),
но _скалярное	произведение	(F0 ‘Mo(Fp)) = 0, так как
M0 (Fp)A-F0, следовательно		НР = Н 0,	что и требовалось

доказать.

В связи с тем, что характеристическое произведение системы сил, приложенных к твердому телу, не зависит от выбора полюса, оно будет в дальнейшем обозначаться буквой Н без какого-либо индекса.

§ 3. Инварианты системы сил

Инвариантами системы сил по отношению к выбору полюса называются величины, не зависящие от выбора полюса (не изменяющиеся при перемене полюса). Как было указано в § 2 , такими величинами являются главный вектор системы сил (первый инвариант) и характеристическое про изведение (второй инвариант). Главный момент системы сил зависит от выбора полюса, поэтому ом не является инва риантом системы сил. Однако можно доказать следующую теорему:

Алгебраическая величина проекции главного момента системы сил, приложенных к твердому телу, относительно какого-либо полюса Р, на направление главного вектора системы, построенного при том же полюсе Р, не зависит от выбора полюса и является для данной системы сил вели чиной постоянной.

Рассмотрим систему сил (F\, J?2, ■.. ,F n),	приложенных
к твердому телу. Главный вектор FP и главный	момент этой
системы относительно полюса Р — LP —изображены на рис. 31.

Алгебраическая величина проекции вектора ЬР на направ лении вектора FP равна скалярному произведению вектора £ Р на единичный вектор FP°, характеризующий направление вектора />.

Проекция ppLp = (LP- FP") 1 Р• ] = —- (ГР• FP) - ~ ~

Рнс.	31	Рис. 32
и так как НР и	FP не зависят от выбора полюса, получаем,
что проекция fp Lp = -^-= const,		что и требовалось доказать.
С л е д с т в и я .	1. Проекция главного момента системы сил

на линию действия главного вектора этой системы не зависит от выбора полюса (третий инвариант системы сил).

2. Наименьшую величину главный момент системы сил будет иметь в той точке, где он коллинеарен с главным

вектором.

На рис. 32 изображены главный вектор и главный момент

системы сил в точках Р,	О и D. Наименьшую величину глав
ный момент системы сил имеет в точке D\ она равна
г	, ,	\| \|Я\|
"мин — L p *I COS ф \|

И Л И
.	_	\| F q x '!-о х ~t F p y L p y + F q z ' L qz 1

‘11

§ 4. Центральная ось системы сил

Центральной осью системы сил, приложенных к твердому телу, называется прямая линия, представляющая геометри ческое место точек, относительно которых главный момент рассматриваемой системы сил будет иметь наименьшую величину. Или, на основании второго следствия § 3, можно определить центральную ось как прямую линию, в каждой точке которой главный момент системы сил коллинеарен главному вектору ее.

Условие коллинеарности двух векторов имеет вид:

	Lp=aFo,	(9)
где	а — скалярный множитель;
D(x,	у, z) — точка центральной оси системы сил.

Векторное условие (9) эквивалентно следующей системе уравнений:

( Ю )

где LDx, LDy, LD:; Fx, Fy, Fz— алгебраические величины про екций главного момента и главного вектора системы сил, построенных в точке D на оси прямоугольной системы коор динат Oxyz. Уравнения (1 0 ) можно записать в развернутом виде, если учесть, что

Lu— La —Mo (Fd) .

(II)

В равенстве (11) каждый из векторов разложим на состав ляющие по осям Ox, Оу, Oz. Тогда получим

Fnxkw + TDi(/a2D+ Ff>zk3p = [L0a;—(yF .— zFy)]k ю +

T [^oy—(z^x~xFz)]k2v + [L0z— (xFu — у Fx)\k3o,

откуда, проектируя, находим:
Fdx= Fqx	(yFz	zFу");
Fuy ~ Foy	(zFx	xFz) ;
Fuz—Foz	у	■уFд-).

Воспользовавшись найденными значениями LDx, LDy, LDz, уравнения (1 0 ) запишем в развернутом виде

Lox — (yFz — zFy) Loy — (zFx — xFz)				Loz - (xFy—yFx )		/1 m
Fx	~	Fy	~	Fz	•	l 1^ )
Уравнение (1 2 )	есть	уравнение	центральной		оси системы
сил.

§ 5. Неизменяемость характеристических величин при простейших статических методах преобразования системы сил

Теорема. Характеристические величины системы сил, при ложенных к твердому телу, ие изменяются при преобразо1 ванни дайной системы сил в эквивалентную ей систему при помощи простейших статических методов.

Пусть

7*о= S	(F})0,	L0 = S	i	Mo(Fj), H ~ (F 0 -L0)
]~\			i

— характеристические величины системы сил (Fu F2, . .. , F n), приложенных к твердому телу. Теорема будет доказана,

°)

. 0

Рис. 33

если мы докажем неизменяемость главного вектора F0 11

главного момента L0 при простейших приемах преобразова ния рассматриваемой системы сил в другие системы, ей эквивалентные.

П е р в ы й п р и е м — прибавление или отбрасывание урав новешенной системы двух сил. Рассмотрим уравновешенную

систему двух сил {Fn+U Fn+2 ) (рис. 33). Так как Fn+i ——Fn+2 и силы колл'инеарны, то

(Fn+i)o= — (Fn+2)o	и	Mo(Fn+l) = - M 0(Fn+3).
Д о б а в и м эту систему сил	к	рассматриваемой _системе сил

(Д|, F2, ... , Fn) , тогда получим систему 2/г сил (Fь F2, ..., F„,

F„+1, Fn+2), эквивалентную данной. Вычислим в точке О главный вектор и главный момент новой системы 2 п сил

Fо '— 2 (Fj)o+ (Fn+i)o+ (Fn+2)o = %(Fj)o — F0'
j=\	j	- 1
Lq — S M o(Fj)+M 0(7r,i+\|) H-Al0	=	2 M0(Fj) = L(>.
/=i
Получили: F0' = Fo, L0' = L0, что	и требовалось доказать.*

Справедливость сформулированной теоремы для трех сле дующих статических приемов преобразования системы сил доказывается также элементарно и поэтому может быть предоставлена читателю в качестве самостоятельного упраж нения.

Г Л А В А II[

УРАВНОВЕШЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

§ 1. Необходимые и достаточные условия равновесия системы сил, приложенных к твердому телу

Теорема. Для того чтобы система сил, приложенных к твер дому телу, была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы характеристические величины этой системы сил, по строенные при произвольной точке, равнялись нулю.

Сформулированную теорему докажем для системы, со стоящей из двух сил, приложенных_к твердому телу.

Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть (Fu F2) — уравновешенная система сил. Докажем, что главный вектор и главный момент этой системы, построенные в произвольной точке О, равны

нулю, т. е. Fo= 0, Lo= 0.

То, что система сил (F1, F2) — уравновешенная, означает, что эти силы имеют общую линию действия, равны по вели

чине и противоположны по направлению		(рис. 34, а или б)
и, следовательно, выполняются условия:		F\ = —F2, M0 (F1 ) =
= —М0 (F2).
* Случай отбрасывания уравновешенной системы двух сил доказы
вается аналогично.	. .

Вычислим главный вектор и главный момент этой системы сил в точке О

F o = (F i)o + (F 2) 0 = (/Г1 ) о - ( Л ) о = 0;

L o ~ M 0(F 1) + Mq(F2) = Mo(F\) — Mo(F‘j) = 0,

что и требовалось доказать.								_	_
	Д о с т а т о ч н о с т ь .	Дано:	система двух			сил		(Fi,	F2)
имеет главный вектор		F0 = 0	и	главный	момент			L0 = 0;
нужно доказать, что эта система сил уравновешенная.
	а)			S)
	Н.			S)
	. О			F,		•0	5		"г
									"г

		Рис.	34
	Действительно, из определения главного				вектора			следует
	Fо= (F\)o+ (F2)о — 0 ,
т.	е. (Fi)o= — (F2)0i а это означает,			что силы Л и			F2 равны
по	величине (Fi — F2)	и противоположны			по	направлению.

Чтобы утверждать, что они образуют уравновешенную систему сил, необходимо к этим доказанным двум условиям добавить общность_их линий действия. Для этого рассмотрим

еще одно условие: L0= 0. По определению главного момента,

Lo = Mo(F\) -|-Mq(F2) —0,

откуда M0 {F\) = —M0(F2).

Последнее геометрическое равенство при доказанных условиях F\ — F2 и будет ]шеть_ место только в одном

единственном случае, когда силы F\ и F2 имеют общую линию действия. Таким образом, мы доказали, что в системе

(Fu F2) обе силы равны по величине, противоположны по на правлению и имеют общую линию действия; из второй части начала равновесия следует, что указанная система сил

(F], F2) является уравновешенной, что н требовалось дока зать.

Точно так же предложенная теорема будет справедлива п для уравновешенной системы состоящей из какого-угодно числа сил, приложенных к твердому телу, ибо любую систему сил, .приложенных к твердому телу, можно преобразовать в эквивалентную ей систему, состоящую из двух сил, при помощи простейших статических методов, и при этом харак теристические величины системы сил не изменяются.

Из доказанной теоремы вытекают векторные условия рав новесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу

F0= 0; L0= 0.

(13)

§ 2. Аналитические условия равновесия системы сил, приложенных к твердому телу

Система сил, как угодно расположенных в пространстве

Для получения аналитических условий равновесия про

странственной системы сил (Fu F2, . . . , F n) векторные усло вия равновесия (13) перепишем в развернутом виде. В силу того, что

условия (13) можно записать так:

2 (F})0= 0;

		П
		2 Mn(Fj) =0;
Л	_ _	;=\|	_ _	п
		п

Отсюда вытекает шесть следующих равенств:

ПЦ

(14)

ПП

2 Fjz= 0;	2 MOz(Fj)=0.
j=\ '	j =1

Три последних равенства можно переписать еще подроб нее, если вспомнить аналитическое определение момента силы относительно координатных осей, т. е.

S Mox(Fj) =		2 (yiFjz-ZjFUl)=0-
i t		j	i
2	Mov(Fi) =	i	(zjFjx- x jFu)=0;
J-	t	j-i
2 M0z(F}) =		2	(XiFjv- y iF jx)=0.

Вывод. Для равновесия пространственной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических величин проекций сил на три оси координат равнялись нулю и суммы алгебраических величин моментов всех сил относительно указанных коорди натных осей равнялись нулю.

Аналитические условия (14) являются наиболее общими, из них могут быть получены частные случаи равновесия плоской, параллельной и сходящейся систем сил.

	Плоская система сил
Пусть система	сил (A,,	F2, ... ,F n),	приложенная к твер
дому телу, такова,	что все силы ее находятся в плоскости хОу
(рис. 35). Тогда для каждой силы данной системы
FJz = 0; M0x(F})= 0;		M0v{F})= 0,	/= 1, 2,..., п.

Это означает, что из шести аналитических условий равно

весия (14)	остаются только три
	2 Fix= 0;	2 ^ „ = 0;	2	M0l( ^ ) = 0.	(15)
	j=t	/=1	j=i
Последнее	равенство	системы	(15)	можно написать	еще
и так:

2 Mo(Fi) =о, j-i

что следует из определения момента силы относительно оси. Вывод. Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических величин проекций

сил на любые две непараллельные оси, лежащие в плоскости сил, равнялись нулю и сумма алгебраических величин

моментов сил относительно оси, перпендикулярной плоскости сил, равнялась нулю.

Условия равновесия плоской системы сил можно записать также и в следующей форме:

2 М А(Ь ) = 0;	2 MB(F}) = 0;	£ Mc (Fj) = 0,
j~\	j - \	j~l

Рис. 35

причем точки А, В и С не лежат на одной прямой; или

	2 ^ , = 0;	2 M a (F}) = 0;			2 M B(Fj) = 0;
	j—i				/-1
в	данном случае	ось /,	на	которую		проектируются силы,
не должна быть перпендикулярной прямой АВ.
	Система параллельных					сил
к	Рассмотрим систему		сил	(Fu	F2, . . . , F n),		приложенных
к	твердому телу,,	таких,	что	каждая		из сил	этой системы

параллельна оси Оу (рис. 36)

FjWOy, / = i, 2,.... /i.

Тогда для каждой силы данной системы выполняются условия

/> = 0 ; Fjz= 0\ M0y{Fj) =0, 7 = 1, 2.......л

и, следовательно, из шести условий (14) остаются только три

Ё V О ,	Е М ОЖ( ^ ) = 0 ,	Б Л М ^ ) = 0.	(16)
_,=!	j - 1	/=1

Вывод. Для равновесия системы параллельных сил не обходимо и достаточно, чтобы сумма алгебраических величин проекций всех сил данной системы на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и суммы алгебраических вели-

4 З ак . 56

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ