книги из ГПНТБ / Зенова, Е. Ф. Статика учебное пособие

Момент силы относительно оси

Пусть к твердому телу приложена сила F, начало которой

находится в точке Н, а I — некоторая ось. В произвольной

точке Р оси / проведем плоскость (Q), перпендикулярную

оси / (рис. 24). Силу F спроектируем на плоскость (Q) и обозначим эту проекцию Fq. Моментом силы F относи­

тельно оси I называется момент проекции этой силы на пло­ скость, перпендикулярную данной оси, относительно точки пересечения данной оси с плоскостью, т. е.

Ml(F ) ^ M P(FQ).

Воспользовавшись известным нам определением момента силы относительно точки, запишем

Mp (Fq) = \7qX (Fq)p\,

Из определения момента силы относительно оси следует:

1.Момент силы F относительно оси I изображает

скользящим вектором, являющимся отрезком оси /, т. е.

Ml(F)=Ml(F)F>,

20

где Mt(F) — алгебраическая величина момента силы F отно­

сительно осп I, 1°— единичный орт оси I.

2. Момент силы F относительно оси I равен нулю, если

сила F ъ ось I компланарны (линия действия силы F и ось I параллельны пли пересекаются).

Связь между моментом силы относительно оси и моментом этой же силы относительно произвольной точки данной оси

Теорема. Момент силы F относительно оси I равен проек­

ции на эту ось момента силы F относительно любой точки, лежащей на данной оси.

оси I, примем ее за начало системы координат Oxyz, ось бу

Рис. 25

которой проведем так, чтобы она совпала с осью I (рис. 25). Тогда нам нужно будет доказать, что

Mt{F) =M 0y(F) - (zFx - x F z)k2о

—проекции на ось Оу M0(F) (см. формулу (3)). По опре­ делению момента силы относительно оси Mqv(F) =Mr)(Fxi),

21

относительно оси / равна алгебраической величине проекции на эту ось момента силы относительно какой-либо точки, расположенной на данной оси.

3. Момент силы F относительно оси I равен моменту это силы относительно точки О, лежащей на данной оси, если

силы F, перпендикулярна оси / (рис. 26).

22

4.Момент силы F относительно начала координат О раве

геометрической сумме моментов силы F относительно коор­ динатных осей (рис. 27), т. е. формула (3) может быть записана так:_ _ _ _ _ _

А10 (F) =M0x(F) +M0u(F) +M 0z(F).

Вспоминая определение момента силы F относительно начала координат, получим значения алгебраических вели­

чин моментов силы F относительно осей координат

Теорема о моменте равнодействующей сходящейся системы сил относительно произвольной точки (оси)

Момент равнодействующей сходящейся системы сил отно­ сительно произвольного полюса (оси) равен геометрической сумме моментов всех сил данной системы относительно ука­ занного полюса (оси)-, т. е.

где О и / — произвольная точка и ось соответственно, а

23

координат T= Tx+Tv-\-Tz. Вычислим Тх, Tv, Tz — алгебраиче­ ские величины проекций силы Т на оси координат:

”ozM

матических вычислений искомых моментов силы Т на осно­

25

мулы (б) координаты точки А и алгебраические величины проекций силы Т на оси координат, получим:

Анализируя полученный результат, заметим, что равенство нулю М0х(Т) очевидно, ибо линия действия силы Т проходит через ось Ox. MOv(T)>0, означает, что момент силы Т

относительно оси Оу направлен по этой оси в сторону ее поло­ жительного направления. Поэтому изображаем М0у(Т) век-

торомЛ направленным по оси Оу в сторону положительной оси. Moz(T) <0\ следовательно, момент силы Т относительно оси

Oz направлен в сторону отрицательных z, поэтому этот век­

тор откладываем по оси Oz в сторону, противоположную

этой оси.

Второй способ основам на теореме, доказанной в данном параграфе (см. стр. 23), т. е.

М, (?) = М, (Тх) + М, (?„) + М, (Т\ ) .

-^ ..>.

Или, применяя данную теорему для осей координат Ох, Оу

-->*

и Oz соответственно, получим:

М0х(Т) =M „,(fv) + M0s(?„) -1-М0х(?г) ;

Моу(Т) —М0у(Тх) +М0у{Ту) +М 0у(Тг) ;

Мог(Т) =М0г{Тх) +М 0г(Ту) +М Oz(Tz).

Как и в предыдущем случае, вычисляем алгебраические

26

M0x(Tu) = \Ty\-DC=& -Ta -

О

MoATz) = - \ T z\ - B C = - £ j - T 2 a -

Мох( Т ) = & - Т а - ¥ 2 - Т а = 0.

Оо

Известно, что М0 (Т) =М 0х{Т) +М 0у(Т) -\-M0z(T). Поэтому

величину момента силы Т относительно точки О находим как величину диагонали 'прямоугольного параллелепипеда, реб­

рами которого являются моменты силы Т относительно коор­ динатных осей

М0(?) = Mqx2(T) +М0у2{Т) +M0z2(T) Мо (?) = о ^ Г.

27

Направление вектора М0 {Т) определяется с помощью на­ правляющих косинусов

cos [Ох, /И0(7')] =0 означает, что М0(Т) ±Ох, т. е. М0 (Т)

лежит в плоскости Oyz. Этот результат непосредственно сле-

§ 6. Статические методы преобразования системы сил

Статическими методами преобразования системы сил, приложенных к твердому телу, называются приемы, при по­ мощи которых некоторая система сил преобразуется в новую систему сил, эквивалентную первоначальной. К простейшим статическим методам преобразования системы сил, прило­ женных к твердому телу, относятся: 1) прибавление или отбрасывание уравновешенной системы, состоящей из двух

§ 7. Основная теорема статики

Всякую систему сил, приложенных к твердому телу, можно преобразовать в эквивалентную ей систему, состоящую из двух сил, при помощи простейших статических методов.

мощью простейших статических методов эту систему мы преобразуем к эквивалентной ей системе, состоящей из двух

сил. Пусть это будет система сил ( / , F2, F3), каждая из ко­

28

торых приложена к твердому телу в точках Я ь Я2, Я3 соот­ ветственно (рис. 29).

Построим плоскость (Q2), проходящую через начало пер­

вой силы — точку Н\ — и через линию действия силы Fs. Точно так же построим плоскость (Q3), проходящую через точку И] — начало первой силы — и линию действия силы F3. Плоскости (Q2) и (Qз) будут пересекаться по некоторой прямой, проходящей через точку Нх.

Через точку Н\ и точки Я2 и Я3 проведем прямую Я]Я2,

расположенную в плоскости (Q2), и прямую Я]Я3, располо­ женную в плоскости (Q3). На линии пересечения плоскостей

проведем прямую Я4Я2, расположенную в плоскости (Q2), и прямую Я4Я3, расположенную в плоскости (Q3).. В резуль­ тате произведенного построения получили, что через точки Я2 и Я3 проходит по две прямых Я)Я2, Я4Я2 и Я ,Я 3, Я 4Я3 соответственно. Поэтому воспользуемся четвертым простей­ шим статическим методом преобразования системы сил — разложение силы на две составляющие_по правилу геомет­ рического разложения векторов. Силу F2 разложим на две

29