книги из ГПНТБ / Горюшко, В. Е. Планирование эксперимента в бытовой химии [обзор]

отрицательное влияние содержания пирофосфата и концентрации СМС на моющую способность.

Наглядное представление о характере поверхности отклика, моделирующей моющую способность рецептуры, можно получить при помощи кривых равного выхода.

Например, при фиксированной концентрации композиции СМС 12,9 г/л (х3=1) уравнение (III.31) приобретает вид

у = 29,48-(-0,1385 х2+ 1,169 х гх 2.

Подставляя последовательно вместо у значения выхода (мою­ щей способности), равные 27, 29, 31, 33, получим уравнения кри­ вых равной моющей способности (рис. 3).

Рис. 3. К выводу уравнений кривых равной моющей способности.

Можно, в частности, записать уравнение равной моющей спо­ собности для у —29:

jc2(0,1385+1,169 * 1)= -0,48 .

Подставляя в это уравнение значения х%, получим значения Х\, при которых моющая способность равна 29.

Анализ поверхности отклика показывает, что мы находимся в почти стационарной области типа симметричного седла, сечениями которого являются гиперболы. Это подтверждает правильность вы­ бора плана эксперимента.

61

Г Л А В А IV

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДИАГРАММ СОСТАВ — СВОЙСТВО

Свойства многокомпонентной системы зависят как от природы и качества компонентов, так и от их относительного содержания в системе.

Можно утверждать, что целью исследования многокомпонент­ ных рецептур являются определение количественных зависимостей между пропорциями отдельных компонентов и свойствами рецеп­ туры в целом (зависимости состав — свойство), а также оптимиза­ ция тех или иных свойств рецептуры.

Планирование эксперимента применительно к рецептурам раз­ вивается в двух направлениях. Первое из них предполагает опти­ мизацию состава смеси, второе — изучение диаграмм состав — свойство.

Для первого направления характерно исследование свойств сме­ си с помощью ортогональных факторных планов [7, 9]. Поскольку сумма компонентов равна 10 0 %, это условие приводит к коррелированности факторов. При математическом описании системы обычно опускают один компонент, а для остальных применяют полные и дробные факторные планы (см., например, [10]).

Второе направление характеризуется постановкой задачи интер­ поляции зависимости свойств смеси от всех компонентов, интересу­ ющих исследователя, что определяет необходимость учитывать ус­ ловие нормировки суммы факторов.

Факторное пространство представляет собой правильный симп­ лекс с

2 ^ = 1 , x i> °> * '= 1 , 2 , . . . , ? i=i

и q вершинами .в (q — 1 ) -мерном пространстве, где х* — относитель­ ное содержание t-ro компонента в смеси [12—15].

Предполагается, что изучаемые свойства описываются непре­ рывной функцией аргументов и могут быть с заданной точностью описаны полиномами от q переменных. При этом свойства смесей описываются не обычными полиномами степени п вида

63

а приведенными полиномами, получаемыми из (IV. I) с учетом ус­ ловия

При переходе к приведенной форме постоянный член Ь0 был ис­ ключен из (IV.2) путем умножения обеих частей (IV.3) на Ь0:

Квадратичные члены исключали, подставляя в уравнение зна­ чения X]2, х22 и Хз2:

xi --х1 ЧЛ2‘

Х ‘ = Х 2 — Х хХ 2 — х 2х 3,

*а = *з- -х,х.

1Х 3 Х 2Х 31

образованные умножением (IV.3) на Xj, х2 и х3 соответственно. Таким образом было получено выражение

у—{Ьо4~ )х1~\~{Ьз~\-^2 +^22)-^24“(А4 ^“г^ззАзЧ-

= Ь0 + Ьг+ Ь-с3, придем к приведенной форме (IV.4).

64

маковых индексов — на количество компонентов смеси, число оди­ наковых индексов — на повторение дозировки.

Так, отклик #12зз соответствует сочетанию рецептурных факто­ ров, имеющих координаты решетки четвертой или неполной четвер­ той степени.

Три различных индекса указывают на трехкомпонентную систе­ му с пропорциями */4 + lU= '/г Для компонента 3 и — Для каждо­ го из компонентов 1 и 2.

Рис. 4. Симплексные {3, п)-решетки.

Рассмотрим один из планов, в частности план, принятый нами для исследования моющей способности СМС:

66

План составлен таким образом, чтобы использовать свойство композиционное™. По этому плану могут быть построены в трех­ компонентной системе модели состав — свойство второй, неполной третьей и неполной четвертой степени.

Коэффициенты математических моделей вычисляют по резуль­ татам опытов.

Подставляя в уравнение (IV.4) координаты точек х и х2 и Хз. лежащих в вершинах концентрационного треугольника, получим

соответственно у i = pb у2=р2 и Уз= Рз-

Подстановкой в это же уравнение координат точек, расположен­

и т. д.

Аналогично определяют остальные коэффициенты модели. Модель первого порядка для трехкомпонентной смеси имеет вид

Построив математическую модель, проверяют ее адекватность, В случае неадекватности необходимо приступить к построению по­ линома более высокой степени.

67

Поскольку планы симплексных решеток являются полностью насыщенными, адекватность модели оценивается по результатам опытов в контрольных точках, расположение которых зависит от постановки задачи и экспериментальной ситуации.

По-видимому, контрольные точки должны быть расставлены в областях, наиболее интересных для исследователя.

Надо иметь в виду, что результаты опытов в контрольных точках можно использовать для достройки симплекс-решетчатых планов.

Как и ранее, принимаем, что величины х, определяются без оши­ бок, а значения отклика у являются усредненными результатами от­ кликов в каждой экспериментальной точке.

При числе параллельных опытов в кажой точке, равном п, дис­ персия среднего значения может быть рассчитана по формуле [12]

(IV. 13)

Множитель | появляется в результате неортогональности плана и зависит от местоположения точки на плане.

Например, для модели второго порядка

< ^табл-

Доверительные интервалы значений свойств, определяемых мо­

где k — число коэффициентов модели.

Перейдем к примеру. Требуется исследовать композицию, вклю­ чающую три поверхностно-активных вещества, с целью получить моющее средство для автоматических стиральных машин.

Обозначим факторы (содержание ПАВ) через Х\, Х2 и х3. Матри­ ца и результаты эксперимента представлены в таблице:

68

Пользуясь методикой, изложенной выше, получим коэффициенты уравнения регрессии

исобственно уравнение регрессии

у— 2 4 , 2 5 , 6 5 ^ 2 + 17,55+3 — ЗОД^х*,— 9,3X3X3— ll,32x2xs.

рольных опытов. Контрольные точки были расположены таким об­ разом, чтобы в случае неадекватности их можно было использовать для построения моделей более высокой степени.

Для числа контрольных точек /= 4 и выбранного уровня значи­ мости а = 0,05 величина а //—0,01. Число степеней свободы при опре­

Гипотеза об адекватности модели в проверочной точке не отвер­ гается, так как /эксп^Чабл-

69

Аналогично проверяется адекватность модели в остальных

Поскольку во всех точках 4ксп</абл, гипотеза об адекватности модели не отвергается.

Рис. 5. Кривые равного выхода на тройной диаграмме.

Полученную модель можно представить в виде набора кривых равного выхода на тройной диаграмме (рис. 5).

70