книги из ГПНТБ / Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике

2. Решить систему уравнений

| х + ху2 = 104;

\х — ху = — 16.

3.Решить уравнение

ковой грани, образующей с плоскостью основания угол 60°, равна 16. Найти объем пирамиды.

В а р и а н т Б (Каунасский политехнический институт)

1. Два поезда отправляются одновременно навстречу друг другу со станций А и В, расстояние между которы­ ми 300 км. Первый из них приходит на станцию В на

1 ч раньше, чем второй на станцию А. В то время

как первый делает 250 км, второй проходит 200 км. Най­

60

В а р и а н т 6 (Ленинградский электротехнический институт имени

В. И. Ульянова (Ленина))

1. Перпендикуляры, опущенные из двух вершин пря­ моугольника на его диагональ, разделили ее на 3 равные

части. Большая сторона прямоугольника равна Y 2. Найти другую сторону.

2. Решить уравнение

3.Найти сумму семи членов арифметической прогрес­ сии, 6-й член которой равен 6, а сумма 2 и 5-го членов равна 3.

4.Решить уравнение

Ф lg (Xй — 10х + 25) +■ lg (хг — Ъх 4- 3) = 21g (X — 5) -f

•+ 4 - 1 8 25,

5.Доказать тождество

В а р и а н т 7 (Ленинградский орденов Ленина и Трудового Красного

Знамени горный институт имени Г. В. Плеханова)

3. Решить уравнение

2 sin2* — 7sin х cos х -f- 6 cos2a: = 0.

4. Треугольник со сторонами 9, 10 и 17 ем вращается вокруг высоты, проведенной из вершины его меньшего угла. Определить объем полученного тела вращения.

tg (-£- + *) + tg* — 2 = 0.

4. Площадь равнобедренного треугольника равна S, а угол при вершине а. Вычислить объем тела, образованно­ го вращением этого треугольника около прямой, перпенди­ кулярной к основанию и проходящей через один из его концов.

В а р и а н т 9 (Калининградский технический институт рыбной

промышленности и хозяйства) 1. Упростить выражение

^ ~ х) 3 + Г о - * ) 3. : .

62

2. Решить неравенство

lg(x + 3) + l g x < l g ( x + 8).,

3.Решить систему уравнений

| sin2x + sin4*8y =

*+ у = 75°.

4.Диагональ d прямоугольного параллелепипеда обра­ зует с его боковой гранью угол а; проходящее через эту диагональ и боковое ребро сечение параллелепипеда обра­ зует с той же боковой гранью двугранный угол р. Оп­ ределить боковую поверхность параллелепипеда.

ихолодильной промышленности)

1.Решить систему уравнений

2.Найти модуль комплексного числа

cos a — sin a —cos 3a + sin 3a

4. Основанием пирамиды служит параллелограмм, диа­ гонали которого пересекаются под углом а. Высота пира­ миды проходит через точку пересечения диагоналей осно­ вания и равна Н. Неравные боковые ребра образуют с плоскостью основания углы Р и у. Найти объем пирамиды.

Ва р и а н т 11 (Новосибирский инженерно-строительный институт

имени В. В. Куйбышева)

1.В -основание конуса вписан квадрат, сторона которо­ го равна а. Плоскость, проходящая через вершину конуса

иодну из сторон квадрата, дает в сечении с поверхностью конуса треугольник с углом а при вершине. Найти объем конуса.

2.Решить уравнение

34Х+ 8 — 4 .32ЛГ+5 27 = 0.

3. Решить уравнение

3(1 — sin х) — 1 + cos 2х.

В а р и а н т 12 (Львовский политехнический институт)

1.Ремонт пути проводили две бригады. Каждая из них отремонтировала по 10 км, несмотря на то, что вторая бригада работала на один день меньше первой. Сколько километров пути ремонтировала каждая бригада в день, если обе вместе ремонтировали в день 4,5 км.

2.Решить уравнение ■

log7 (2х — — ) — log7x — log7 (х — 3).

3. Преобразовать в произведение

cosec а — sin а — sec а + cos а 1 + sin а cos а

4. Треугольник вращается вокруг его стороны, приле­ жащей к углам а и Определить поверхность тела вра­ щения, если сторона треугольника, лежащая против угла а, равна а.

64

|/ 3 sin х + 3 cos х = 0.

3. Решить уравнение

* + lg (1 + 2х) = л- lg 5 -f lg 6.

4. В правильной треугольной пирамиде каждое из боко­ вых ребер равно b и наклонено к плоскости основания под углом а. Найти поверхность шара, описанного около пи­ рамиды.

65

4. Боковое ребро правильной треугольной пирамид равное а, наклонено к плоскости основания под углом а. Определить объем пирамиды.

В а р и а н т 15 (Рижское высшее командно-инженерное училище

имени Маршала Советского Союза Бирюзова С. С.)

1. Двое разносчиков продали различное количество яблок, но получили поровну денег. Если бы первый про­ дал свои яблоки по цене второго, то получил бы 80 коп., а если бы второй продал свои яблоки по цене первого, то

Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собой тупой угол (5; две дру­ гие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом а. Найти боковую поверхность пирамиды.

В а р и а н т 16 (Военная инженерная академия имени Ф. Э. Дзержинского)

1. Перевозка 1 т груза между двумя городами по ж лезной дороге обходится на 20 коп. дороже, чем водным путем. Сколько тонн груза можно перевезти из одного го­ рода в другой по железной дороге за 1000 руб., если вод­

66

4. В основании прямого параллелепипеда лежит парал­ лелограмм с тупым углом а и сторонами а и Ь. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали осно­ вания. Определить объем параллелепипеда.

Приложение 2

ОБРАЗЦЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ

Билет № 1

1. Комплексные числа в алгебраической форме и четыре действия над ними. Тригонометрическая форма комплекс­ ного числа.

2. Теорема Пифагора и ее доказательство (алгебраиче­ ское).

3. Вывести формулы синуса суммы и разности двух углов.

Билет № 2

1.Геометрическая прогрессия. Формула любого члена геометрической прогрессии и суммы ее членов.

2.Теорема об объеме пирамиды.

3.Тригонометрические функции двойного угла.

67

Билет № 3

1.Зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

2.Теорема о площади боковой поверхности призмы.

3.Радианная мера угла. Соотношение между градусной

ирадианной мерами углов.

Билет № 4

1.Показательная функция, ее свойства и график.

2.Теорема о биссектрисе внутреннего угла треуголь­

ника.

3.Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Билет № 5

1.Теорема о трех перпендикулярах.

2.Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

3.Указать область определения функции

Билет № 6

1.Теорема косинусов и ее доказательство.

2.Общие свойства логарифмов.

3.Параллелограмм с острым углом ср при основании описан около круга радиуса г. Определить значение угла <р, при котором площадь параллелограмма имеет наименьшую величину.

68

Билет № 7

1.Двугранные углы. Измерение двугранных углов. Перпендикулярные плоскости. Признак перпендикулярно­ сти двух плоскостей.

2.Преобразование в произведение суммы и разности двух тангенсов.

3.Решить уравнение

| х2 - Зх - 7 1= Зх.

Билет № 8

1.Прямая и обратная пропорциональные зависимости.

2.Теорема об объеме усеченного конуса.

3.Решить неравенство

10g± f =:!•

I2

4.Найти период функций

у== sin4x.

Билет № 10

1. Доказать, что

sin a sin Р = -j- [cos (а — Р) — cos (а + Р)].

69