Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

2.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

что приводило к		записям		==cos я — COS X',
		cos (л — х)
		t g a +	tgP = tg ( a + Р);
		s i n ( 2 л: —	1 0)		= sin {x — 5).
29.	Допускались,		как		и в алгебре,	ошибки при сокра
щении дробей.
Примеры.
1)	sin а + cos а — 1		1 +		cos а — 1 = cos а.
	sin а
2)	sin а -f- sin 2а — sin За			= tg а -f tg 2а — tg За.
	cos а + cos 2а — cos За
Рекомендуем		читателю		найти ошибки		самостоятельно.

30.При решении вычислительных задач логарифми ровались тригонометрические функции, когда они имели отрицательные значения. Например, пытались находить логарифмы cos а и tga, несмотря на то, что угол а окан чивался во II квадранте.

31.Абитуриенты допускали записи

>/ sin2 a = sin a;

V tg2a = tga;

] / (sin a -f- cos a )2 = sin a

cos a j no условию я < a <

<забывая о том, что понятие арифметического

корня, установленное в алгебре, распространяется и на действия с тригонометрическими функциями. Следовало писать

sin а,	если	sin a > 0	(угол	а	оканчивается
—_	если	sin a < 0	в I или		II квадранте);
* sm а — — sin а,	если	sin a < 0	(угол а оканчивается в
			III	или	IV квадранте)

и	tgcc,	если	t g a ^ -О (угол			а	оканчивается	в I

	— tg а,	если	tg а <	или	III		квадранте),	во
				0 (угол		а	оканчивается
				II или IV квадранте).
У (sin а +	cos а )2 =	— (sin а +		cos а),	так		как в III квад
ранте sin а	и cos а	отрицательны.

32.Многие, зная, как строятся графики функций

У=	sin к;	у = cos х;	y ^ t g x ;	y = ctgx,
не смогли этого сделать для функций
у = 3 sin лс; у = cos 5х; у = tg (х — 1);				у =	ctg х +	\| и т . д.
Постоянно	наблюдается путаница			в построении графи
ков функций	г/ = sin 2л: и у =		sin	Поступающие в вузы
часто утверждают:		«Чтобы	построить		график	функции
у = sin 2х, нужно		график функции		i/ =	sin.* растянуть

в направлении оси абсцисс в два раза, а чтобы построить график функции у — sin -|-, нужно график функции

г/ = sin л: сжать в направлении оси абсцисс в два раза». Неверно. Правильно построенные графики функций

у — sin 2х и у = sin

показаны на рис. 2 и З.

Приведенное выше говорит о том, что значительная

часть абитуриентов не имеет достаточного понятия

опреобразовании графиков функций.

33.Нечеткое представление об абсолютной величин действительного числа приводило к существенным ошиб кам в построении графиков. График функции y = |tgx| строился так, как показано на рис. 4. Правильно построен ный график показан на рис. 5.

34. Область допустимых значений при решении триго нометрических уравнений, как правило, не определяется, что является одной из причин появления ошибок. Так, решая уравнение

tg Зх — tgx = 4sinx,

пишут

	sin 2х	4sinx;
	cos Зх cos х	4sinx;
	cos Зх cos х

sin 2x = 4 sin x cos x cos 3x; sin2x = 2sin2xcos3x; ‘

.sin 2x — 2 sin 2x cos 3x = 0; sin 2x (1 — 2 cos 3x) = 0.

42.

Отсюда находят
sin 2х =	0;	2х = kn\		хх =
1 — 2 cos Зх — 0;	cos Зх —			Зх = ±	-2- +	2£я;
		',	я .	2Ы
Х2 ~		— Т		3 ~ ‘
Абитуриенты записали			ответ:	х±=	х2 =	z t -5- +

+Здесь допущена грубейшая ошибка. При хх ==

о		теряет			смысл.		2.
данное уравнение						Ошибка появилась
в результате того,		что не была установлена область до
пустимых значений неизвестного.
35.	При решении уравнений и доказательстве тождеств
часто не учитывались ограничения, накладываемые на
аргумент.
Пример. Уравнение cos 2 L					— cos х =		1
при условии, что 0 < х < -4р					решалось		так:
	х	(	,	х	. ,	х \	,
	cos ~y	— l^cos2		- у	— sm2-j- J = 1;
	COS	----- cos ~2~ ~r sin“~2_ — ’ I
	cos 2L---- cos2 ~y			+ ^ — cos2			= 1;
	cos		---- 2 cos2 2L. =			0;
	cos -g- ^1 — 2 cos -y-j =						0.
Отсюда:
1) cos ~	= 0;	=	- j- +		&я; x —-• я + 2Ы\

2)	1 — 2 cos-\|- = 0;	c o s - ^ - Ь	JL = + JL ^ 2 к я \
x — ±	-Щ- -f 4kn.
О т в е т : xx = я (2k +		1); x2 —	(6k ±: 1).

Абитуриенты не обратили внимания, что ни одно из полученных решений не принадлежит интервалу 0 < х <

36.	Решение тригонометрических уравнений чаще всего
заканчивалось указанием частного решения или же не
правильной записью общего решения.
Примеры. 1) При решении			уравнения
	sin х — cos х — 0,
как правило, давался' ответ х =				вместо		х =	+ kn.
2)	Решая уравнение
	cos (45° — х) = 0,
многие записывали 45° — х = 90°				вместо	45° — х — 90° +
+ 180° &.
3)	Для уравнения
	tgx =		/ 3
указывалось значение х =			+ 2kn вместо х =				+ Art.
4)	Общее решение уравнения
			1
		sm x = - y
записывалось в виде х — ( — 1)* arcsin					+	kn вместо
х — (— 1)*arcsin-^- + kn		или х =		(—		+ kn.
Чтобы не допускать		подобных		ошибок,		надо	знать на
память решение уравнений, приведенных					в табл.		2.

				Т а б л и ц а 2
	Уравнение			Решение
sin х = т, — 1 < т <		1	x = K(— 1)* arcsin m -j- kn
cos л: = т, — 1 < т <; 1			x — ± arccos m -f- 2kn
igx — m, — оо < /п < 4-оо			x = arctg m -f- An
ctg д: = т, — оо < т <		+ оо	x — arcctg m -f- kn
sin л: =	0 .		II	3
sin д: =	+ 1			n
			x = -Tj- + 2Ы
sin х = — 1				n
			x = — ~2~ + 2kn
cos * = 0			x =	+ kn
cos x'= + 1			x = 2kn
COS X — — 1			x — я + 2kn
X J2J0	О		II	2Й•
II				3T
ctg x — 0			x =
				k*1

Пр и ме ч а н и е . В формулах k — любое целое число.

З а ме ч а н и е . Решение уравнения	sinх = т иногда выгодно за
писывать в две строки:
С х = arcsin т -f- 2kn\
\ х — —- arcsin т +	(2k -j- 1) я.

Вот еще примеры неправильной записи общего решения.

5) Так как sin2 л: —

то х = ± + 2Ы.

5 В. А. Тупиков

6) Из уравнения cos2 х =	находим х = ± arccos \ +
+ 2/гл.

7) Раз tg2x = 3, то tg х = V 3 и х = -2- + 2fot.

Чтобы не делать таких ошибок, полезно помнить:

sin2х — с,	0 <	с <	1,	х = +	arcsin] / с +	kn\
cos2х = с,	0 <	с	1, х — + arccos]/"с +			Ы\
tg2 х = с,	0 ■< с <		оо,	х = +	arctg I/ с -f kn;
ctg2 х — с,	0 -< с <		оо,	х — +	arcctg У с + kn.

Пользуясь этими формулами, абитуриент сделает пра вильную запись общих решений вышеприведенных урав нений.

	5)	s urx =	smx =	±	х — ± arcsin^-y- +		kn —
= ± - j- + kn\
	6)	cos2 х =	cos х =	+	х =	+ arccos ~ -\- kn =
=	±	+ fon;;
	7)	tg2 х = 3;	t g x = ± \| / 3 ;		х =	± arctgl/"3 +	kn =
=	+	+ kn.

37. Типичной ошибкой при решении тригонометри ческих уравнений является сокращение всех членов урав нения на функцию; содержащую неизвестное. Это, как правило, приводит к потере корней уравнения. Так, реше ние уравнения

cos х (2 sin 2х — 1) = cos х sin 2х

ограничивалось лишь нахождением корней уравнения

2 sin 2х — 1 = sin 2х.

Данное же уравнение надо решать следующим образомПереносим члены уравнения в одну часть:

cos х (2 sin 2х — 1) — cos х sin 2х = 0.

Выносим общий множитель cosx за скобки:

cos х (2 sin 2х — 1 — sin 2х) = 0

или

cos х (sin 2х — i) = 0.

Приравниваем последовательно каждый сомножитель нулю:

cosх = 0; sin2 x — l = 0.

Затем решаем полученные уравнения.

38. Тригонометрические уравнения часто решают нера циональными способами.

Примеры.

1) Уравнение

sin х + cos х = О

приводили к виду

sin х + sin (90° — х) = 0.

По формуле суммы синусов находили

2 sin 45° cos (х — 45°) = 0 и т. д.

Данное уравнение можно решить проще, так как оно является однородным относительно sinx и cosx. Все члены уравнения делим на cos х (cos х ф 0). Получаем

tg х + 1 = 0; tgx = — 1;

х= — х - +

2)Решая уравнение

- ~ j	- tg2 х + ctg (-j- + х	cos 2х
		cos2	х ’

переписывали	его в виде
cos2 х + sin2 х	sin2 х	,	cos (	2	*)	_ cos2 х — sin2 х
CO S2 X	COS2 X	'	/	тт	\	CO S2 X

■ Sin(-T + Xj

Затем все члены приводили к функции sin х. А было бы гораздо удобнее данное уравнение переписать

1 + tg2 х — tg2 л: — tg х = 1 — tg2 x

или

tg2а: — tg x = 0.

Дело свелось к решению неполного квадратного уравнения. Для рационального решения тригонометрических урав нений полезно знать теоремы об условиях равенства двух одноименных тригонометрических функций. Необходимыми и достаточными условиями равенства двух одноименных

тригонометрических функций являются:

sin а = sin р, если а — р = 2кл или а + р = (2k + 1) я;

cos а — cos Р, если а + р =			2кл или а — р = 2кл\
tg а =	tg р,	если а — р =	kn и	(2k -f- 1) -2-,
ctg а =	ctg P,	если а — p =	kn	и а ф к л , P Ф kn.

Те, кто не знал этих теорем, уравнение tg (б* + 5) _ ,

tg (Зх -|- 5)

переписали так:

tg 5х + tg 5	1 — tg Зх tg 5 _	,
1 — tg 5л; tg 5 ’	tg3* + tg5	t И T. Д.

Решение получилось очень длинным. Если восполь зоваться условием равенства двух тангенсов, оно будет значительно короче. Перепишем данное уравнение в виде

tg (5х Д 5) = tg (Зх + 5),

отсюда

5х + 5 — (Зх + 5) = fat; kn

Х~ ~2~‘

39.Экзаменационные письменные работы показывают, что абитуриенты избегают применения формул преобразо вания произведения тригонометрических функций в сумму при решении тригонометрических уравнений и пользуются другими формулами, приводящими к нерациональным

решениям. Однако на ряде примеров можно убедиться, как просто решаются некоторые уравнения, если восполь зоваться формулами преобразования произведения тригоно метрических функций в сумму.

Пример 1. Решить уравнение

sin х sin Зх = -i-.

Р е ш е н и е . Пользуясь формулой

sin a sin р = [cos (а — (5) — cos (а -f Р)[,

. данное уравнение заменим равносильным:

(cos 2х — cos 4х) —

cos 2х — cos 4х — 1 = 0; cos 2х — (1 -]- cos 4х) = 0;_

		cos 2х — 2 cos** 2х =		0;
Отсюда:		cos 2х (1 — 2 cos 2х) =		0.
Отсюда:
1)	cos 2х = 0;	2х = -^- + far,
2)	cos 2х =	2х =	+ -^- -\|- 2fac.
О т в е т : х1 =		(2k + 1	) х2 — (6&+ 1)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ