книги из ГПНТБ / Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике

Пример.

Имеем уравнение

(

lg2x — l g x = 0.

(1)

Область

допустимых значений

неизвестного х > 0.

IgA: — 1 = 0,

(2)

Бывают случаи,

когда

трудно

установить

область до­

пустимых

значений

неизвестного,

но

при

решении

явно

нарушается

равносильность уравнений. В

таком случае

проверки не избежать.

что такие

преобразования,

как

Следует иметь в виду,

логарифмирование,

а также умножение и деление уравне­

ния на выражение,

содержащее

неизвестное, могут при­

вести к сужению области допустимых

значений неизвест­

ного, а значит, и к потере корней.

•21. Многие не знают,

когда

множеством решений не­

равенства

является

объединение

нескольких

множеств,

а когда их

пересечение.

Например,

решение

неравенства

х

4 >

0;

( 1)

х — 1 >

0;

х +

4 <

0;

х — 1 < 0.

&

Из системы (1)

найдем

х >

-

4;

откуда х > 1.

х >

1,

получим

Из системы (2)

( х < — 4;

значит, х < — 4.

\ х <

1,

З а ме ч а н ие .

Следует иметь в виду, что при «отбрасывании»

знаменателя,

после

приведения всех членов неравенства к общему

знаменателю,

иногда может получиться неравенство, равносильное дан­

ному. Так, неравенства

. '

- ^ ± - Т - > 1 и 2* + 1 9 > хЗ + 5

х2 + 5

4 +

] /Г = ^ 5 < 2

обязательно надо указать,

что оно имеет смысл лишь при

условии х — 5 > 0.

Необходимость

введения

такого огра­

ничения связана с понятием арифметического корня.

24. Неравенства,

содержащие неизвестное

под знаком

логарифма, решаются с существенными недочетами.

Пример. Решая неравенство

logs l«g5 (25 — Ах) <

1,

справились

с

этим

неравенством,

приведем его

решение

полностью.

— 4х > 1

Левая часть неравенства имеет смысл, если 25

или 4х < 2 4 ;

х < 6.

Заданное неравенство заменим таким

logs (25 — 4х) <

3,

абсолютная величина и арифметический корень, приводит

к серьезным ошибкам в решении

уравнений и неравенств,

а также в построении графиков

функций. Учитывая, что

некоторых

примеров,

предлагавшихся на вступительных

экзаменах.

Решить

уравнение

Пример 1.

| х — 3 | + \х — 4] — 1 = 0.

Р е ш е н и е .

Находим корни выражений, стоящих под

= 3;

х2 = 4. Разобьем множество всех действительных

чисел

на интервалы:

— о о < х - < 3 ; 3 < х < 4; 4 < ! х < + оо.

х = 3.

Значение х = 3

является корнем уравнения, так как

оно удовлетворяет

условию — оо < х ^ 3,

2) 3 < х < 4.

х — 3 — л; + 4 — 1 = 0 ,

которое является тождеством, а

поэтому

справедливо при

любом х

из

интервала

3 <

х < 4.

3)

4 - ^ х .< +

оо.

В этом интервале

\х — 3 1= л: — 3; \х — 4 1= л: — 4.

Данное

уравнение можно переписать

откуда

х — 3 х — 4 — 1 = 0 ,

х = 4.

О т в е т : 3 < ! л : < ; 4 .

Пример

2. Решить

уравнение

lg V (x -

Ю)2 -

1 = 0.

Р е ш е н и е .

Так

как

lg V(x — 10)2 =

l g| х — 101, то

lg | jc— 101— 1 = 0; lg | х — 10 j =

1; (х — 101=

10.

Если

x

10,

тогда

| x — 10 J =

х — 10;

л; — 10=10;

хг = 20;

е с л и л : < 10,

тогда |х — 10| — 10 — х; 10— х —

10;

х2 =

0.

О т в е т :

хх — 20; х2 =

0.

Пример 3. Решить

неравенство

14 — Зх | <

2х.

Р е ш е н и е .

Правая

часть

неравенства

может

быть

I — 2х < 4 — Зх;

| 4 — Зх <

2х.

Из первого неравенства системы находим х < 4, из вто-

^

4

рого — X > у .

4

О т в е т : - = - < х < 4 .

О

Пример 4.

Построить график функции

У= |

+ 4 |.

Р е ш е н и е .

Исходя из определения абсолютной вели­

чины числа,

можно записать:

ций у — х + 4 и у = — х — 4.

1) Строим график функции у =

х + 4, имея в виду, что

независимая переменная

х может

принимать

лишь

такие

значения, при которых

функция

у

неотрицательна.

Если

х = 0,

то у = 4;

если у = . О,

у — — х — 4.

Если х = — 6,

то

у — 2;

если

у = 0, то

х = — 4.

График — прямая,

проходящая

через

точки

( -

6; 2) и ( -

4;

0).

1.

График функции у = j х + 4 j

изображен на рис.

Если х и у — любые

действительные числа,

отличные от

нуля и имеют одинаковые знаки, то:

b g a Ш

= loga | х | + loga \у\;

(1)

loga - y

= loga | x | - l o g J i / | .

(2)

При любом значени х ф 0 и четном п

logax" =

nloga |x|.

(3)

Если х Ф 0, х ф 1

и N > 0, то при четном п

\ogxnN =

log^N.

(4)

Приведем решение нескольких примеров с

использова­

нием формул (1) — (4).

Пример 1. Упростить выражение

— 8 log41x ] =

— 3 ■— 6 log41x | = — 3(1 +

2 log4 [ x |) =

= - 3 ( 1

+ 2 log*| — 4)) = — 3(1 +

2) =

- 9 .

О т в e t: — 9.

З а м е ч а н и е .

Абитуриенты,

не зная формулы (3),

получили вы­

ражение 2 log4 х — 3 — 8 log4 х и

сделали заключение,

что оно при

х — — 4 не имеет смысла.

отсюда

lg|x|

= 2; |jc| =

100.

О т в е т :

хг = 100; x2 — — 100.

Если

бы

уравнение

переписали

в виде

2 lg х — 4, то

потеряли

бы корень х — — 100.

27.

Многие затрудняются дать определение такого важ

нейшего

понятия математики, как

область

определения

Определение.

Совокупность тех значений

независимой

переменной х, для которых функция

y — f(x)

определена,

т. е. каждому

значению независимой

переменной х соот­

область определения

функции

'У = V — х + У 4 + *

устанавливалась

так:

1)

— х > 0;

х < 0;

2)

4 + х > 0; х >

— 4.

Следовало заключение: область определения данной

функции х < 0 и д : >

— 4.

уг =

Это неверно.

Следовало решать

иначе.

Функция

= V — х определена

для

значений

х

0;

функция

у2=

=

У 4 —}—ЛГ

определена

для

значений х >

— 4. Следователь-

полузамкнутый

но, общей частью двух областей является

интервал — 4 < л: <; 0.

Он

и

есть

область

определения

данной функции.

Приведем

пример, с

решением которого

не справилась

значительная

часть абитуриентов.

Пример. Установить область определения функции

Р е ш е н и е . Функция

имеет смысл, если

1

— 5

л

^2

„2 А

0

или

х — 5

> 1.

Переносим

дробь в правую часть,

меняем части местами

и приводим члены неравенства к общему знаменателю

X2 — X+ 1

< 0

или

х2 — 4

2

3

+

4

Г)

х2 — 4

U-

Последнее неравенство

справедливо

при

х2— 4 < 0; х2 < 4; I х I < 2;

- 2 < х < 2 .

От в е т :

Область

определения

функции — интервал

■2 < х < 2 .