книги из ГПНТБ / Гром, В. П. Экспресс-анализ данных сдаточных испытаний судов с помощью бортовой ЭЦВМ
.pdfкачества массовой продукции. При этом схема решения будет сле
дующей: расчетчик задается некоторым количеством дефектных
изделий в партии, определяет соответствующие ему издержки (для
поставщика, возможно, и выгоды) и сопоставляет с вероятностью
принятия или браковки такой партии.
Сопоставив результаты расчетов для партий различной засорен
ности и различных планов контроля (т. е. различных оперативных
характеристик), можно выбрать план контроля, который в среднем,
по большому количеству партий продукции, гарантирует достиже ние той или иной цели. Но следует иметь в виду, что результирую
щая эффективность любого плана выборочного статистического
контроля зависит от закона распределения числа дефектных изде
лий в партиях.
Возможны такие сочетания плана контроля и распределения
числа дефектных изделий в контролируемых партиях, что проведе
ние контроля увеличит засоренность дефектными изделиями прове
ренной продукции по сравнению с непроверенной — такой пример
приведен в работе [4]. Это означает, что при выборе плана кон
троля расчетчик должен исходить из некоторой концепции о распре
делении числа дефектных изделий в партиях и принимать некото рый мажорантный вариант контроля.
По результатам полного контроля или исходя из других сообра
жений эта концепция может быть проверена и даже определено это
распределение, уточнена эффективность контроля и при необходи мости изменен план. Но для одиночной партии нужно решать
обратную задачу, а именно исходя из результата ее выборочного контроля определить вероятности наличия в остатке партии того
или иного количества дефектных изделий.
Ниже дается вывод такого распределения вероятностей. Изло жение материала ведется в терминологии, принятой в статистиче
ском контроле производства.
Если в партии объема содержится (d- -x) дефектных изде
лий, то вероятность попадания в выборку объема N именно d де фектных изделий записывается с помощью гипергеометрического
распределения
P (М d R, d ɪ л) = |
|
• |
(34) |
||||
Вероятность наличия |
х |
дефектных изделий в остатке партии при |
|||||
условии того, что в |
выборке их оказалось |
d, |
может быть |
записана |
|||
по формуле Байеса |
N, d) ≈ |
^(^d R,d + x)P(d + x)..., |
(35) |
||||
P (х R, |
|
|
|
|
|||
∑ P (N. d R, d + z)p (d+z)
Z-O
где
, x≈Q,R-N. (36)
30
Тогда
|
cci |
K-N |
|
cx |
|
P (xιR, N, d) |
^N |
R-N |
cd+x |
||
|
cR |
|
R-N
— n'R~n (R,-N) N
Cd Cx Vl
Qd-γx R\
(d + z) (R — d — z) V1
z d (R-N — zy.(N-dy. /
Z==O
s>d (-'X |
( І ɪj Cz+dCR-z-^ |
rN |
cNcR-N |
cR |
|
Qd-γx |
(jd-i-x rN+ l |
|
|
z=0 |
c/?-H |
AH-I_ cncr-n
r+x C^x
(37)
Примечательно, что тот же результат может быть получен дру
гим путем — условно 'считая, что доля дефектных изделий в партии
может принимать любые значения от нуля до единицы, т. е. является непрерывной величиной. Тогда для q — вероятности случайно вы
бранному изделию оказаться дефектным, по результатам выборки можно записать функцию правдоподобия
|
|
|
T(<z) = ^(1-<7)λ'Λ |
|
|
(38). |
|||
а через нее — вероятность того, что |
в остатке |
партии содержится |
|||||||
X |
дефектных изделий |
|
|
|
|
|
(39) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Раскрывая |
PYdR, N,d) = l Crx -nqxY - q)R-N-xL(q)dq. |
||||||||
L(q) |
и используя выражение для |
бета-функции, |
полу |
||||||
чаем |
|
о |
|
|
|
|
|
||
P (x∕R, N,d) |
= ∫ <W+' (1 - |
q)R-d~x dq = |
|
||||||
|
|
і |
|
|
|
||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ɪ-hɪ+1____ |
cN0K-N |
|
|
(40) |
||
|
|
|
|
R |
|
cdγrx ' |
|
4j' |
|
Выполнение соотношения
r∑P(x R,N,d) =
х=0
очевидно из формулы (35) и может быть доказано с помощью соот ношений и выкладок, использованных при выводе формулы (37).
31
Математическое ожидание величины |
х |
(41) |
|||||
|
|||||||
|
|
|
R-N |
|
|||
M { xl'R, N,d} = ∑xP(х R, N, d) |
|||||||
|
|
|
|
.V=O |
|
||
с использованием подстановки вида |
|
|
|||||
x-- =x'; |
d+l=d'; |
N+I = N' |
|
||||
преобразуется к виду |
|
|
|
|
(42 ) |
||
M |
I |
X R, N, d ] =.. |
. |
|
|||
Двойной подстановкой такого вида может быть получено выра |
|||||||
жение для дисперсии |
|
|
(/?~Д(2+1) × |
|
|||
D { |
х R, N, d} = |
|
|
||||
х/ ^1 |
|
(R — N) (d + 1) |
|
, (R - N- 1) (d + 2) |
|
||
ʌ . |
|
-V ■ |
2 |
"^t^ |
n + 3 |
|
|
Табулирование распределения с достаточной точностью в широ
ких пределах по' R возможно на современных ЭВМ, если использо
вать таблицу логарифмов факториалов. Вычисления осуществля
ются по формуле
log P (x lR, N, d) = leg (N + 1)! + log (∕? — /V)! —
- log d — log (N — dy. — log x! — log (R — N — x)l —
— log (R φ-1)! - - log (cZ ɪ л)! + log (R — d — x)! |
(44) |
Соотношение (37) позволяет по результатам выборочного кон |
|
троля партии определить распределение вероятностей |
наличия |
в остатке партии любого количества дефектных изделий от нуля до
(Д — (V).. Вероятность того, что количество дефектных изделий за
ключено в пределах (Л'і, x2), вычисляется по формуле
P(xuxiR, N, d)-^P(xR, N,d). |
(45) |
|
.V ≈ .ri
Приведенные соотношения и формулы могут быть использованы для анализа представительности данных об отказах и наработках,
полученных в результате наблюдения некоторой части всей совокуп
ности эксплуатируемых или подлежащих проверке изделий или машин. Например, если из N машин, проработавших свыше 100 ч,
в течение этого времени имели отказы d машин, можно вычислить
вероятность того, что из остальных (R— N) машин в течение 100 ч
будут иметь отказы не более s машин:
P(x + s R, N,d) = y,P(X R, N, d). |
(46) |
х=0
32
Единственным условием применимости предлагаемого матема тического аппарата является случайный характер выбора изделий и машин для наблюдения. Выделение из выборки может осуществ ляться не только по признаку дефектности, но по любому другому.
Полученные соотношения позволяют построить удобные графи
ческие зависимости для выбора и осуществления планов выбороч
ного контроля. Например, на |
рис. 8 изображен вид графика для |
|
определения объема выборки, |
необходимого |
для подтверждения |
с заданной вероятностью бездефектности всех |
изделий в остатке |
|
Рис. 8. Вид графиков плана выборочного контроля для опре деления вероятности отсутствия дефектных изделий в остатке партии.
Отдельные ветви графика построены для фиксированных значе
ний количества дефектных изделий в выборке и выражают зависи
мость вероятности P (х—0/R, N, d) полного отсутствия дефектных
изделий в остатке партии от объема выборки. Ветви, соответствую щие меньшим значениям d, располагаются соответственно выше.
Горизонтальная штриховая линия означает значение вероятности,
которое необходимо подтвердить. В ходе последовательного кон
троля изделий осуществляется движение по ветви вверх, с появле нием на контроле дефектного изделия — переход на ветвь, располо женную ниже. И так до достижения заданного уровня вероятности
пли до прекращения контроля по другим причинам.
В зависимости от стоящей задачи графики могут быть построены
для любых — точечных и |
интервальных — значении |
х, |
для фикси |
|||||
рованных |
объемов партий (переменный объем |
остатка партии — |
||||||
∕< = const, |
R— |
7V |
= var) |
и, наоборот, |
для фиксированных объемов |
|||
остатков |
партий |
(переменный объем |
партии |
в целом — /? = ѵаг, |
||||
R — τV = const).
§ 5. Анализ точности аппроксимации результатов измерений при наличии случайных погрешностей
Материал параграфа не относится к тем основным положениям,
на которых построена методика экспресс-анализа данных сдаточных
3 В. П. Гром, Р. В. Кузьмин |
33 |
испытаний судов, особенно в первом чтении: параграф может быть пропущен безо всякого ущерба для последовательности и понима
ния методики в целом. Однако этот материал может быть очень полезен как при разработке алгоритмов предварительной обработки
иформализации результатов измерений, так и непосредственно для
проведения экспресс-анализа данных испытаний с помощью борто
вой ЭЦВМ. Одновременно он может служить иллюстративным материалом к § 2 при анализе некоторых теоретических аспектов
статистического анализа малых выборок.
При испытаниях судового оборудования проводится большое
количество измерений самого различного характера (теплотехниче
ских, мощности, давления, оптико-механических, радиометрических
идр.), результаты которых должны быть представлены в форме зависимости одного параметра от значений другого. Иначе говоря,
ввиде некоторой графической зависимости в прямоугольной системе координат. По ограниченному числу дискретных точек
должна быть воспроизведена непрерывная кривая зависимости параметра z от параметра х.
Распространенным методом решения такой задачи является по
строение аппроксимирующего полинома вида
z(x) |
= ɪɑ/p,-(z), |
|
(47) |
||||
|
|
J=O |
|
|
|
|
|
где φ7(x), например, — ортонормированные полиномы Чебышева. |
|
||||||
Методика построения таких аппроксимирующих |
кривых дана |
||||||
в руководящих технических |
|
материалах [13]. Коэффициенты |
a¡ |
||||
определяются независимо один |
пот другого по формуле |
|
|
||||
|
|
|
|||||
ai = 2 Pz2ZcP7 (М), |
|
(48) |
|||||
где p¿ — весовая функция. |
Z = I |
|
|
|
полинома г |
||
Однако максимальная степень аппроксимирующегоХ{. |
|||||||
должна быть меньше, чем количество |
п |
экспериментальных точек zi, |
|||||
соответствующих различным значениям аргумента |
|
Значения х,, |
|||||
если это возможно, стремятся выбрать равностоящими друг от
друга из соображений удобства вычислений.
Ошибка аппроксимации оценивается по формуле остаточного
члена |
п |
(49) |
Ur+ (x) < ɪŋ, |
(x) I П Jχ- хі |
|
|
1=1 |
Максимум величины z'r1' (х)|, в свою очередь, оценивают при ближенно. Однако действительные зависимости z(x) для реальных механизмов и устройств, за отдельными исключениями, имеют малую абсолютную величину уже третьей-четвертой производ
ной. Количество точек измерения, как правило, составляет десятки,
34
так что резерв повышения степени аппроксимирующего полинома
велик. Поэтому часто считают, что таким путем может быть достиг
нута любая практически необходимая точность аппроксимации.
Но если результаты измерений содержат случайную ошибку, изменение погрешности становится немонотонным. Сглаживание
аппроксимирующей кривой позволяет уменьшить влияние фактора
случайности. Увеличение же степени аппроксимирующего полинома ведет к уменьшению сглаживания. И если уменьшение влияния случайных ошибок измерения является одной из задач, решаемых аппроксимацией, достижение наибольшей точности 1 становится трудной задачей.
Случайная составляющая ошибки аппроксимации возрастает
[17], если результаты измерений ¾ |
N |
|
содержат ошибки, |
рас |
|
|
i=l,n |
σ]∕p,)∙ В этом случае |
|||
пределенные по нормальному закону |
|
(0, |
|||
коэффициенты а,- имеют равные дисперсии |
|
|
|||
D{aj]=a |
j |
= O^ |
(50) |
||
и дисперсия полинома z(x) в произвольной точке равна |
(51) |
||||
D{z{x)} = |
7=0 |
|
|
|
|
Необходимо сопоставить величины составляющих ошибок, опре |
|||||
деляемых с помощью соотношений |
(49) |
и |
(51), и выбрать степень |
||
полинома г, доставляющую минимум результирующей ошибки.
В случае же, если количество измерений мало, нужны дополни тельные пути извлечения информации и использование ее для повы шения точности аппроксимации. Ниже излагается такой метод использования дополнительной информации по результатам ра
боты [2].
Дополнительная информация может представлять:
—точки повышенной достоверности, априорно известные или полученные в результате измерений со значительно меньшими по грешностями (опорные точки);
—связи, наложенные на совокупности значений измеряемой величины;
—связи или ограничения, наложенные на совокупности значе ний производных измеряемой величины.
Записывается это соответственно в виде следующих формул
(xz* |
ft) = Aft, |
k = 1, тх; |
(52) |
||
ɪZ |
(хг) = |
Bs, |
s = 1, та, ; |
(53) |
|
bsi*z |
|
|
|
|
|
= I |
|
|
|
I = 1, m i; t <,r, |
(54) |
É |
*,)(■ |
= δ/. |
|||
1 = 1 |
|
|
|
||
3* |
35 |
которые могут быть преобразованы к единой форме
|
|
|
>⅛αJ = Λρ, |
i∕=l,∕7z; |
т = mi |
mi 4- ∕zz3, |
(55) |
|||||
где |
hqj |
и |
J = O |
|
известные числовые значения. |
|
|
|||||
Aq — |
|
|
|
|||||||||
|
Для получения оценок |
коэффициентов |
*а |
с |
учетом связей (55) |
|||||||
применяется |
метод множителейГ |
Лагранжа |
для |
поиска условного |
||||||||
экстремума. |
Обозначив уравнения связи (55) через |
(56) |
||||||||||
|
|
|
|
|
‰ 2 h<liaj ~ Ач = 0> |
|
? |
= М” |
||||
|
|
|
|
|
J=O |
|
|
|
|
|||
и записав
т
ѳ=я;-2Ѵід, (57)
¢ = 1
где A,* —остаточная сумма квадратов отклонений;
|
|
|
|
|
п |
|
г |
|
|
|
(58) |
из условий |
|
|
|
Z-I |
у-о |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(59) |
||
|
|
|
|
|
|
|
q = 1, т |
|
|
||
получим |
|
|
|
|
∂'f,q∂θ -О, |
|
|
(60) |
|||
систему уравнений |
|
|
|
) |
|
||||||
|
|
|
|
пт |
|
|
|
|
|||
|
|
|
⅛ = ɪ |
(χi) + ɪ λΛ∕, |
7 = 0, г, |
(61) |
|||||
|
|
|
|
1=1 |
|
¢ = 1 |
q= ,m. |
I |
|||
|
|
|
|
^hηj-a*A |
cj = Q, |
||||||
|
|
|
|
г |
|
|
|
______ |
J |
|
|
Величины |
|
J=O |
|
|
|
|
|
|
|||
*а |
из первых (г —1) |
уравнений подставляют в после |
|||||||||
дующие |
т, |
приняв обозначения согласно формуле |
(48), |
|
|||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
1 |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
л Ч |
ɪ CLjhqj = %, q = |
m |
|
(QT) |
|||
|
|
|
|
|
г-j≈b |
|
|
|
|
(63) |
|
|
|
|
|
Jɪ= O hP<ιhQj = cPV |
я = |
|
|
|
|||
36
Получается система линейных уравнений
|
|
т |
|
|
|
______ |
|
|
|
(64) |
|
|
'∑cP0k<ι = εP> |
P=V т |
|
|
|
||||||
|
ρ≡l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда, считая определитель системы D≠0,* |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ⅛^ ɪj dP9εP' |
c = ^tn’ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
P= ' |
|
|
|
дополнения |
|
определи |
||
где dpq — соответствующие алгебраические |
|
||||||||||
теля .*£> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После этого из (61 ) |
|
|
|
√ = (v |
|
|
|
(ɑθ) |
|||
и |
αJ = 0∕÷iλΛr |
|
|
|
|||||||
|
|
?-0 |
|
|
|
|
|
|
(67) |
||
|
|
z*(χ) |
= Vφ.(χ), |
|
|
|
|
||||
Чтобы получить выражения |
7=0 |
дисперсии D{z*(x)}, |
|
необхо |
|||||||
для |
|
||||||||||
димо представить |
гz*(x) |
|
только через линейно независимые коэффи |
||||||||
циенты ɑʃ, / = 0, |
— |
т. |
Для |
этого |
последние |
т |
уравнений си |
||||
стемы (61) переписываются в виде |
|
|
|
|
|
(68) |
|||||
l= rV |
hqla↑ = Aq - yhqja*, |
q = TJm. |
|
||||||||
|
|
|
J=O |
|
|
|
|
|
|||
- m---l |
|
|
|
|
системы (68) |
||||||
При условии отличия от нуля определителя **D |
|||||||||||
|
|
|
т |
|
|
г — т |
|
|
|
|
|
|
|
|
9-І |
|
7=0 |
|
|
|
|
(69) |
|
|
|
|
/ = r-∕nφl, г. |
|
|
|
|
||||
После этого аппроксимирующий полином может быть записан |
|||||||||||
в виде |
|
ZA (х) -== ɪ 0r∕ (x) + 'zI |
(х)’ |
|
|
|
(70) |
||||
где |
|
|
|
7=0 |
г |
т |
|
|
|
; |
(71) |
|
tP7∙ (ʌ') - ⅛-l=rɪ-mjr q≈ |
|
|
|
|||||||
zi (Х) |
|
|
г |
|
X¾<f<(∙t)^ |
|
(72) |
||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
||||
|
l≈r2-mT∑ιwx>- |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
¿7 = 1 |
|
|
|
|
|
|
37
И дисперсия |
(x)}*D{z |
|
вычисляется по формуле |
(73) |
||
|
|
|||||
|
|
*(x)}=∑VD{z |
г—т |
j}, |
||
|
|
.(x)D{a' |
||||
|
|
|
|
т т |
т |
|
|
|
|
|
7—0 |
|
(74) |
|
|
Aq |
|
¢ = 1 р = 1 |
Z = I |
|
d ⅛ ==Ψ + 77⅛2J]^¾)≈⅛⅛]∙ |
|
|||||
Если величина |
|
задана со смещением ∆,γ, можно пересчитать |
||||
влияние этого смещения в произвольной точке аппроксимирующего
полинома. Для этого выражение (62) следует переписать в виде
и тогда |
AQ—^iajhQiz=% + s^ |
|
(75) |
|
7-0 |
т |
9 =V^; |
(76) |
|
|
|
fi? |
||
|
|
т |
7 = θɔɪ' |
(?7) |
|
= Σ hVi (ʌʌɔ' |
|||
|
|
¢-1 |
|
(78) |
|
∆z* (X) = ɪ (∆a*) φy. (л). |
|||
|
|
7—0 |
|
|
Выражение (78) после произведенных подстановок позволяет
вычислить результирующее смещение в любой текущей координате
аппроксимирующего полинома |
*(x),z |
построенного с учетом апри |
|
|
орного задания точек со смещением. Степень аппроксимирующего полинома при наличии априорной информации выбирается из усло вия минимума результирующей ошибки, суммарные составляющие которой определяются с помощью соотношений (49), (73). При этом оказывается возможным достичь меньшей результирующей
ошибки.
ГЛАВА III
МЕТОДИКА ЭКСПРЕСС-АНАЛИЗА ДАННЫХ СДАТОЧНЫХ ИСПЫТАНИЙ СУДОВ
C ПОМОЩЬЮ БОРТОВОЙ ЭЦВМ
§6. Структура построения методики
Воснову методики экспресс-анализа данных сдаточных испыта
ний судов с помощью бортовой ЭЦВМ положена методика анализа
технического состояния механизмов по малым объемам статисти-
38
ческих данных об отказах н наработках. Математическую основу методики составляют два новых метода:
— программно-логический метод проверки статистических гипо
тез о законах и параметрах распределений случайных величин с по мощью Q-критерия;
— метод анализа и расчета представительности статистических
данных с помощью специального дискретного распределения веро
ятностей.
Кроме того, рассмотрен вопрос анализа точности аппроксимации
результатов измерений при наличии случайных погрешностей изме рений.
Результаты статистического оценивания при этом представля ются в форме, обеспечивающей дальнейший анализ технических и
организационных решений методом статистического моделирова
ния. При этом в каждом отдельном случае не исключена возмож
ность проведения дальнейшего анализа другими методами.
Собственные ошибки методов, положенных в основу методики,
могут быть сколь угодно малы при любом объеме исходных стати
стических данных. Это свойство и позволяет по результатам стати
стического анализа проводить последующий расчет и количествен
ный анализ технического состояния машин и механизмов без потери контроля точности и достоверности окончательных результатов и выводов. Благодаря ему возможно на основе этой методики стати
стического анализа применительно к отдельным задачам широкого
тематического характера создавать системы методик, обеспечиваю щих их комплексное решение машинными методами.
Существенное различие методов формального статистического
анализа и последующих синтеза, анализа и обоснования техниче
ских и организационных решений делает целесообразной ступенча
тую систему методик. Это тем более оправданно, так как разрабо танные методы статистического анализа имеют принципиально
новый характер, включают понятия, до настоящего времени знако
мые только узкому кругу специалистов, требуют обязательного при
менения ЭЦВЛ1.
Соответствующая этому этапу исследований ступень методики
должна служить только формальному анализу статистических дан ных безотносительно типа наблюдаемых технических устройств, их
назначения и условий применения. Необходимая специфика должна
быть учтена в процессе сбора и при подготовке данных к проведе
нию статистического анализа.
Алгоритмы синтеза, анализа и обоснования технических и орга
низационных решений по дальнейшему ведению испытаний в зави
симости от результатов анализа уже полученных результатов
должны быть разработаны с участием специалистов по видам тех
ники. Очевидно, должны быть запрограммированы типовые реше
ния достаточной общности и составлены программы машинного анализа этих решений. Метод статистического моделирования
в данном случае являет£я наиболее общим методом машинного ана
лиза, хотя составление программ его реализации может быть доста-
39-