Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильев, С. П. Приближенные методы расчета сооружений на устойчивость и динамику с применением ЭВМ Наири (учебное пособие)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

2.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Построим приближенную эпюру М р в данной раме (рис. 3, г), помня, что в сжатом стержне в момент потери устойчивости эпюра будет криволинейна. Охарактеризуем изображенную форму равновесия (рис. 3,в) двумя ординатами Ai и Аг, а эпюру Л1р в пределах стойки будем интерполировать квадратной параболой. Разбив раму на расчетные участки и сечения (рис. 3,<9), сформируем матрицы, необходимые для получения матрицы

C= L'BA.

Рис. 3

Для формирования матрицы податливости В запишем

В ,

В =

В 11

в.	\_	go	l_					2	1
в.	6	4gi	6				6	1	2
	6	g*	6				6	1	2
		g*
Делая сдвижку по диагонали,				ввиду		непрерывности эпюры
б сечении 2, имеем
			2
				8	4	Г
					4	Г
					1	2
Запишем выражение			в сечениях		0,	1, 2, 3	через		реакции
(рис. 3, в ) .			М„ = 0
			М„ = 0
			Mi=Ai
			М% —Д2
			Af3=0.
Тогда матрица А примет вид				0	0
				0	0
				1	0
				0	1
				0	0
Для формирования матрицы L					построим		эпюры М { и М2
(рис. 3, е)		от единичных сил, приложенных					по направлению
перемещений Ai и Д2Тогда.
			0		0
			0,5		0,5
			0,5		1
			0		0
Проделав операции над матрицами L, В и А по программе,
приведенной-в Приложении, получим
			^тах '	6,83 ,
			v =	1
			v =	1,41
				1,41

соответствующая критическая сила с учетом ранее вынесемпых скаляров Р, / и E Iр

	6£ /„	ЕТ„
■' к р ы п ' п )	/2)	0,878 2 -
1	1 ЛП1ЯХ	I

§ 4. Устойчивость статически неопределимых стержней и рам

При расчете на устойчивость статически неопределимых стержней можно, как и при расчете статически определимых систем, свести расчет к определению /-тах для матрицы

C* — L'*BA*,

где L*, А* — матрицы, формируемые для статически неоп ределимой системы. Однако формирование матриц L* и Л* для этих систем настолько трудоемко, что приходится искать иные пути решения задач устойчивости статически неопреде лимых систем.

При расчете подобных систем на устойчивость оказывает ся удобным метод малых возмущений, рассмотренный выше, в комбинации с методом сил. Это позволяет формировать ис

ходные	матрицы			для
статически		определи			и)
мой системы. Хотя при
этом	увеличивается
объем вычислений,				но
эта трудность устраня
ется при помощи ЭВМ.
Рассмотрим				сущ
ность этой методики на
простейшем		примере
(рис. 4,а). Деформиро
ванная	ось	стержня в			г)
момент	потери		устой

чивости	показана			на
рис. 4, б.
В этом случае				эпю
ра изгибающих			момен
тов примет		вид,	пред
ставленный на рис. 4, г.					зп
Ординаты этой			эпюры

неизвестны,		однако ее			Рис. 4

можно представить как сумму двух эпюр	(рис.	4, д), возни
кающих в основной системе (рис.,4, в ) :
М = М / + М р°.			(а)
Будем полагать, что равенства (а) записаны для ряда, на
меченных сечений. Тогда можно говорить,	что	в	этом ра
венстве:
уИу1— матрица изгибающих моментов	в основной системе
от неизвестных метода сил (изгибающие			моменты
вычисляются в недеформированном состоянии);
Мр° — матрица изгибающих моментов,	вычисляемая в ос

новной системе в деформированном состоянии.

В свою очередь, как было показано в расчете рам методом сил [4],‘матрицу М х° можно представить в виде

M x° ~ L xX .

Матрицу М р можно записать как

Мр = А$ А.

Тогда (а) запишется в виде

Л 1 -т Л.А'+л0.\

или

M = \\LxAq\\

[ .

(б)

После того, как определена эта матрица-столбец, можно перейти к определению перемещений в данной конструкции.

Во-первых, перемещения по направлению неизвестных X t должны равняться нулю

bx = L x'B M = 0 .

(в)

Подставляя в зависимость (в) матрицу М и вынося за матрицы произведение характерных размеров и нагрузок (Р, I и £7), получим

^ . ^ ^ \ \ L / B H \ L X A 0\\

(г)

E l

Во-вторых, выбранные перемещения А определяются как

A = L/BM

или

А	РЕ \\l i b \v \\l xa q\\	X	(д)
	EI	д	’

где матрица 7, формируется также для основной системы, по от-сил Я, =1, приложенных по направлениям выбранных

Запишем (г) и (д) совместно

0	Я / 2	I	W	B \ \ L X A 0\\	X
д	EI		Ц	B \ \ L X A 0\\	( с )
д	EI	1
		1
Введем обозначения:
я /2	1			\\LxAq\\— А
Е/ ~	х	’		\\LxAq\\— А
Е/ ~	х	’
и				L'BA = C.	(ж)

Тогда формулу (е) можно записать как:

Л	с	X		Г !
±	с			Л !
				Л !
(С—/. Е°)			X	= 0	(14)
(С—/. Е°)			А	= 0	(14)
			А
где		0	01—вырожденная (не имеющая
		0	Е

обратной) единичная матрица.							неоп
Таким образом, задача'об устойчивости статически
ределимой конструкции свелась к решению					уравнения (14).
Заметим, что в нем не только матрица Е,				но и матрица С мо
жет быть вырожденной, а поэтому			при его решении				нельзя
ограничиться отысканием .наибольшего				собственного			числа
1-шах	для матрицы С. Программа	решения			таких уравнений
приведена в Приложении.
	Итак, для решения задачи об устойчивости статически не
определимой конструкции необходимо сформировать							матри
цы	L x, Lj, В, А, пользуясь выражением			(ж), получить мат
рицу С и решить матричное уравнение (14).
Если в конструкции имеются		упругоподатливые опоры, го
тайную конструкцию можно рассматривать					как комбиниро
ванную. В ней элементами, работающими только						на	осевую
нагрузку, будут эти опоры, причем			их податливость				можно.
Охарактеризовать коэффициентом			податливости			К. Тогда в

матрицы L,	В и А необходимо добавить				элементы с индек
сом N [7]					7м„ х A m, i
L М, х L А ’, х		в =	Вм	=
L ' m, i	,		, Д		7д -, лг A x t«
	h\i		Вх

Здесь у матриц, составленных для элементов, работающих на изгиб, введен индекс М.

Указанная методика хорошо реализуется на ЭВМ «Наири» для рам средней сложности. Для более сложных рам можно использовать алгоритм, указанный в работе [3].

П Р И М Е Р Ы

Пример 1. Найдем значение критической силы для рамы, показанной на рис. 5,а. Форма потери устойчивости заданной рамы при достижении силой Р критического значения, а так


же примерный вид эпюры	в заданной		статически неопре
делимой раме приведен на рис. 5, б,		в. Основная система после
приведения рамы к безразмерному виду			(за характерные ве
личины приняты Р, I и EI)	показана на рис. 5, г. Форма поте
ри устойчивости и предполагаемая		эпюра Мрп для основной
системы показана на рис. 5, д.

Охарактеризуем эту форму двумя перемещениями _М и Д2, которых достаточно для определения значений ординат эпю ры Мр. Для того, чтобы определить ординаты эпюры М разо бьем раму на 3 участка и выберем 5 сечений, которые полно стью определят эту эпюру (см. рис. 5, в). Сформируем исход ные матрицы.

Матрица податливости

	В =	Я,
	В =	В и
		В т
В ,	go	2	1
В ,	4	В и в п[ —	2
	g 2	1	2
	g 2

Так как эпюра М в сечениях 2 и 3 непрерывна, то

1 2

Для формирования матрицы 1.х построим эпюры М\,х и М2, х (рис. 5, е). Тогда

-1 1 -0,5 0,5 0 0 1 0

0 -1

Для получения элементов матрицы	приложим в основ
ной системе по направлению Ai и	Л2 единичные силы
(рис. 5, ж) , после чего

-1	-0,5
-0,5	0
0	0
0	0
0	0

Ординаты эпюры Л/;,°, исходя из деформированного вида рамы (рис. 5,д), определяются как

—Аг

м1= а, - л2

М2 = Л43=Л44=0.

Отсюда

■	1	- -1
/ о =	0	0
4	0	0
	0	0
	0	0

Матрица

	-
-1	-
— 0,5

0,5	1	0
0,5	0	-1
0,5	0	0
0	0	0

а матрица .1 примет вид
		-1		1	0	-1
		—0,5		0,5	1	-1
		0		0	0	0
		1.		0	0	0
		0	-1		0	0
После введения матриц L, В и А						в оперативную		память
ЭВМ «Напри» будет получена матрица С
	-1	-0,5	0	1	0	1
C=L'BA	1	0,5	0	0	-1	4	1
C=L'BA	-1	- 0,5	0	0	0	3	1
	-1	- 0,5	0	0	0	1	4	1
	-0,5	0	0	0	0	1	4	1
	-0,5	0	0	0	0		1	2

-1	1	0	-1	6	- 3	- 2		3
- 0,5	0,5	1	-1
				- з	4	2		- 3
0	0	0	0
				2	2	- 2		2
1	0	0	0
				0,5	-0,5	0		0,5
0	-1	0	0

В память машины дополнительно вводятся							диагональные
элементы матрицы Е0. Для нашего случая она имеет вид
				О
				О
				1
				1
Алгоритм, но которому решается уравнение							(14), предло
жен в работе [4]. Вместе с матрицей С и диагональными									эле
ментами матрицы Е0 вводятся в память машины Яо и АЯ.									С по
мощью стандартной			программы вычисляется				определитель
матрицы ( С- ХЕо)			при значениях		Я, равных			Я 1= Я о + А Я ,
Я 2== Я 1+Л Я ... и т. д.,		до тех пор, пока при Я =				не сменится его
знак. После изменения знака определителя						уточняется поло

жение корня внутри интервала ЛЯ (деление участка пополам, метод хорд и т. д.). Программа реализации данного алгоритма имеется в ВЦ НИИЖТа (в Приложении не приводится).

В нашем примере Яшах = 1,297		и
п	_ Ят\|1(б £ /	7,78 /7
Т'кр(тт)	~	= — I	•
Пример 2. Для рамы со стержнями переменной жесткости
и упругоподатливыми опорами (рис. 6, а)			определить пиити

ческий параметр. Примем за основной размер — , за основное значение нагрузки — Р, за основную жесткость — EI в упру

гой заделке средней опоры.	Безразмерная схема рамы и при-
мятый закон распределения	жесткости g i ~ — , отнесенный к
	£ / 1

основной жесткости, показаны на рис. 6,6. Разобьем раму на шесть блоков (рис. 6, в). В блоках 1, III, IV, VI будем интер полировать эпюру квадратными параболами и составлять со ответствующие подматрицы податливости согласно табл. 1, причем каждый из названных блоков будем разбивать на 2 участка.

Пример взят из [ 4, стр. 229].

Рис. 6

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ