книги из ГПНТБ / Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие

ственными функциями. Применительно к четырехполюсни­ кам данное требование должно быть снято, поскольку от­ рицательность K(ia>) на некоторой физической частоте со просто означает дополнительный фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами на ±зт радиан. Отсюда не­ посредственно. вытекает, что никакого ограничения на сте­ пени числителя и знаменателя в (109) не существует.

Наконец, существеннейшее отличие между четырехпо­ люсниками и двухполюсниками с точки зрения их частот­ ных характеристик может быть усмотрено, если вспомнить, что иммитанс двухполюсника, обладающего свойством ус­ тойчивости, не может иметь нулей в правой полуплоскости комплексной частоты р. Этот, по сути дела, математиче­ ский факт является следствием того физического положе­ ния, что операторы Z(p) и У(р), действующие на комплекс­ ные амплитуды, являются взаимно-обратными.-

z{p)=.Y-'(Py, Y(p)=z-l(p). (из)

Если обратиться к случаю четырехполюсников, то это ста­ новится уже неверным: при перемене местами генератора и нагрузки обратный коэффициент передачи fC06p(t©) уже не будет равен в общем случае Кпр~1(ш). Отсюда вытекает, что для четырехполюсника, обладающего нулями коэффи­ циента передачи в правой полуплоскости, импульсная ха­ рактеристика gofjp(t), снятая в условиях обратного направ­ ления распространения энергии, не будет непременно об­ ладать конечными значениями при t<g0. Наглядным приме­ ром устойчивого четырехполюсника, имеющего нуль коэф­ фициента передачи в правой полуплоскости, служит мосто­ вая схема, собранная из элементов г и С (рис. 24). Эле­ ментарный расчет, предоставляемый читателю, показывает, что здесь

(114)

так что z = l/rC>0.

Устойчивые четырехполюсники, коэффициенты передачи которых не имеют нулей в правой полуплоскости, носят название минимально-фазовых цепей. В противоположность этому те цепи, для которых это свойство не имеет места,

принадлежат к цепям неминимально-фазового типа.

Данная терминология связана со следующим обстоятель­ ством. Рассмотрим комплексную плоскость, на которой обозначены две произвольные точки Z\ и 22,— в левой и

80

правой полуплоскостях соответственно (рис. 25). Предпо­ ложим, что эти точки являются нулями коэффициента пе­ редачи некоторого четырехполюсника. Каждому из нулей соответствует свой вектор, указанный на рисунке, вращаю­ щийся при изменении физической частоты ад. Разница со­

стоит в том, что вектор Vzi при изменении частоты от — °о до + оо увеличивает фазу коэффициента передачи на я радиан (от —я/2 до я/2), в то время как вектор VZ2 умень­

шает фазу коэффициента передачи на я радиан (от Зя/2 до я/2). Однако, поскольку К(р) является дробно-рацио­ нальной функцией, и, следовательно, приращение аргумента

то при одинаковом числе нулей и полюсов неминимально­ фазовая цепь обеспечивает большее по абсолютной величи­ не изменение фазы коэффициента передачи по сравнению с минимально-фазовой цепью [9].

Расположение нулей коэффициента передачи в плоско­ сти р тесно связано с топологическими особенностями це­ пи. Так, было показано, что к минимально-фазовым цепям принадлежат все схемы, обладающие лестничной структу­ рой в виде каскадных цепочек П- и Г-образных четырех­ полюсников. Характерной топологической особенностью лестничных цепей является тот факт, что в них всегда мож­ но осуществить единственный разрыв, полностью прекра­

щающий поступление сигнала со входа на выход. В про­ тивоположность этому неминимально-фазовые цепи имеют, как правило, структуру мостовых схем, в которых прохож­ дение сигнала на выход осуществляется по двум или более независимым каналам. Тем не менее указанные здесь приз­ наки не являются одновременно необходимыми и доста­ точными, так что при необходимости следует строго анали­ зировать факт наличия или отсутствия нулей в правой полуплоскости.

Минимально-фазовые цепи обладают замечательной осо­ бенностью, которая состоит в том, что вещественная и мни­ мая части коэффициента передачи этих цепей (а следова­ тельно, модуль и фаза) не могут выбираться независимо друг от друга. Приведем без вывода окончательный резуль­ тат [12]. Пусть К (гео) — коэффициент передачи минималь­ но-фазовой цепи. Всегда возможно следующее представле­ ние:

где

М( со) =£>(со)+гА(со).

Назовем £)(со) дисперсивной, а А (и ) — адсорбтивной

частью коэффициента передачи. Действительно, легко про­ верить, что при подаче на вход четырехполюсника гармо­ нического колебания U\ (t) = Umcosco^ напряжение на выхо­ де будет равно }

Отсюда видно, что коэффициент А (со) обусловливает изменение амплитудного входного колебания, в то время как D (со) указывает на возникновение в четырехполюснике нового колебания, ортогонального по отношению ко вход­ ному.

При весьма общих ограничениях связь между D (со) и

А (со) устанавливается преобразованиями Гильберта-.

00

—00

(117)

00

52

Упражнение. Для интегрирующей rC-цепочки найти вы­ ражения дисперсивной и адсорбтивной частей коэффици­ ента передачи и проверить соотношения (117).

В противоположность этому для неминимально-фазовых цепей никакой связи между модулем и фазой коэффициен­ та передачи может не существовать. В качестве примера можно привести идеализированный случай четырехполюс­ ника, осуществляющего запаздывание входного сигнала не­ зависимо от его формы на время т. Очевидно, что коэффи­ циент передачи такого четырехполюсника должен быть равен

Неминимально-фазовые цепи, обладающие постоянным модулем коэффициента передачи при некоторой наперед заданной частотной зависимости фазового угла, носят наз-

. вание фазовых контуров. Такие схемы находят широкое применение в технике многоканальной связи, а также при оптимальной обработке широкополосных сигналов.

Понятие об аппроксимации функций коэффициента передачи линейных электрических цепей

Задача синтеза электрической цепи по заданной частот­ ной характеристике коэффициента передачи, как правило, может быть решена после то­ го, как требуемая характерис­ тика аппроксимирована ка­ кой-либо функцией, по своему виду близкой к требуемой и заведомо принадлежащей к классу физически реализуе­ мых.

Поясним сказанное следу­ ющим примером. На рис. 26 изображена зависимость мо­ дуля коэффициента передачи идеального фильтра нижних

частот (ФНЧ), характеризуемая системой двух равенств:

Хорошо известно [9], что идеально прямоугольная фор­ ма частотной характеристики какого-либо устройства не

принадлежит к числу физически реализуемых. Сигнал, поданный на вход устройства с подобной характеристикой, появился бы на выходе раньше того момента, когда он был подан на вход. Тем не менее всегда имеется возможность сколь угодно приблизиться к идеальной характеристике, оставаясь в рамках физически осуществимых цепей. С прак­ тической точки зрения целесообразно проводить синтез цепи при дополнительном условии минимального числа требуемых элементов L, С и R. Таким образом, при синте­ зе цепи всегда имеет место компромисс между требования­ ми удовлетворения электрическим параметрам и должной простоты выполнения. Из вышесказанного следует, что за­ дача синтеза цепи принципиально допускает бесчисленное множество решений и выбор того или иного варианта в зна­ чительной мере определяется опытом разработчика.

В настоящее время при проектировании важнейшего класса электрических цепей, к которому относятся всевоз­ можные частотные фильтры, чаще всего используются два подхода, кратко изложенные ниже. При этом как в одном, так и в другом случае аппроксимация ведется относительно коэффициента передачи мощности. Никаких требований к поведению фазы коэффициента передачи о зависимости от частоты при этом не накладывается. О роли фазовой ха­ рактеристики четырехполюсников и влиянии ее на искаже­ ние передаваемых сигналов будет сказано позднее.

Максимально плоская аппроксимация

Идея максимально плоской аппроксимации возникает при рассмотрении частотной характеристики ФНЧ, изображен­ ной на рис. 26. Отметим для дальнейшего, что из сообра­ жений простоты записи от переменной то удобно перейти к нормированной частоте, вводимой таким образом, чтобы нормированная частота обращалась в единицу в точке соо, носящей название частоты среза:

Потребуем, чтобы аппроксимирующая функция /•'(сон) удовлетворяла следующим условиям:

в) -F(cdh) должна быть монотонно-убывающей, причем limF(toH).= 0 при >сон-> °°-

54

г) В точке соц=0 по крайней мере первая производная функции должна обращаться в нуль.

Приведенный здесь перечень требований дает основание утверждать, что функция F (ан) действительно соответству­

ет некоторому фильтру нижних частот. В принципе, требо­ вание г) можно значительно расширить, потребовав, чтобы при сон= 0 последовательно обращались в нуль все произ­ водные до jV-го порядка включительно. Легко усмотреть, что такое расширение требований, предъявляемых к харак­ теристике фильтрующей системы, приводит к улучшению ее свойств, поскольку при этом малость отличия коэффи­ циента передачи от уровня Ка будет иметь место в более

роль, поскольку оно обеспечивает физическую реализацию цепи. Это требование состоит в том, что аппроксимирую­ щая функция должна принадлежать к классу дробно-рацио­ нальных, поскольку только такими могут быть частотные характеристики реальных цепей, собранных из конденсато­ ров, резисторов, катушек индуктивности и других подоб­ ных им элементов.

Непосредственной проверкой легко убедиться, что функ­ ция

и т. д.

Структура данных выражений такова, что, как легко ви­ деть, в точке (он — 0 все производные вплоть до порядка (У — 1) включительно обращаются в нуль. .

Учитывая требования физической реализуемости аппрок­ симирующей цепи, следует ограничить возможные значения показателя N лишь четными целыми числами, поскольку коэффициент передачи мощности любого четырехполюс­ ника может быть представлен отношением только четных многочленов по степеням частоты.

55

Аппроксимирующая характеристика вида

носит название максимально плоской характеристики или характеристики Баттерворса, и-го порядка. При такой фор­ ме записи на границе полосы пропускания при (он=1 коэф­

Здесь Вп —некоторое число, показывающее степень ослаб­ ления, обеспечиваемого фильтром на границе полосы про­ пускания.

На рис. 27 изображены частотные характеристики фильтров с максимально плоскими характеристиками при различных значениях п.

В полосе заграждения фильтра Баттерворса, т. е. при сон^П можно пренебречь единицей в знаменателях формул (123) и (124). Отсюда следует, что при увеличении часто­ ты ослабление мощности, даваемое фильтром, нарастает со скоростью 6п дБ/октава.

56

Чебышевская аппроксимация характеристик линейных цепей

в математике название полиномов Чебышева. По определе­ нию полиномом Чебышева первого рода n-го порядка назы­

Исключительно большое значение, которое играют по­ линомы Чебышева в многочисленных приложениях, объяс­ няется их фундаментальным свойством, состоящим в сле­ дующем: среди всех полиномов степени я с одинаковыми коэффициентами при старших степенях в интервале [+ 1 ,

— 1] полиномы Чебышева обладают наименьшим уклонени­ ем от нуля. Последнее положение наглядно иллюстрирует-

57

ся графиками нескольких полиномов Чебышева, приведен­ ных на рис. 28. Более подробные сведения о свойствах по­ линомов Чебышева можно найти в математической литера­ туре [13].

Чебышевская аппроксимация п-то порядка имеет место в том случае, когда какая-либо квадратичная функция цепи, например, коэффициент передачи мощности приближенно представляется в следующем виде:

Р К ) = 1 + е2 Т\ (<вн) в < 1. (127)

Входящая сюда величина 8 носит специальное название коэффициента волнистости. Чем больше е, тем сильнее вы­ ражены колебания коэффициента передачи цепи в полосе пропускания. За границей полосы наблюдается резкий спад

других назначений, в частности, к полосовым фильтрам [10]. Анализ кривых, приведенных на рис. 29, свидетельст­ вует о том, что чебышевской аппроксимации качественно соответствуют частотные характеристики весьма распрост­

58

раненных в радиотехнике фильтрующих систем на базе свя­ занных колебательных контуров при уровне связи выше критического.

Роль фазовой характеристики четырехполюсника. Групповое время задержки

В предыдущем разделе, где обсуждался вопрос об ап­ проксимации амплитудно-частотной характеристики произ­ вольного линейного четырехполюсника, предполагалось, что получающаяся при этом фазово-частотная характери­ стика может быть какой угодно. Подобный подход в ряде случаев является адекватным, например, при построении устройств частотной фильтрации. Однако, если приходится обращать внимание на искажение формы сигналов при про­ хождении их через четырехполюсник, то его фазовая характеристика уже должна подчиняться определенным тре­ бованиям.

Для изучения принципиальных сторон рассматриваемых явлений разберем случай, когда на вход четырехполюсника подается сумма двух гармонических колебаний единичной амплитуды с частотами оц и ©2, причем относительная раз­

ность между ними мала

Аналитическая форма записи результирующего колеба­ ния может быть получена по формуле тригонометрии

Характерно, что данное колебание представляется в виде произведения двух сомножителей, один из которых изме­ няется во времени с низкой, а другой с высокой частотой. Физически это означает существование биений между дву­ мя монохроматическими колебаниями (рис. 30).

Важным моментом здесь является то, что энергия резуль­ тирующего процесса локализуется во времени в виде от­ дельных «порций», носящих название узкополосных или

квазимонохроматических групп. Чем меньше частотный промежуток между составляющими, тем больше степень растянутости групп во времени.

59