книги из ГПНТБ / Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие

Г л а в а III

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ

Постановка задачи

Электрическим двухполюсником называется цепная структура, имеющая единственную пару доступных зажи­ мов. Несмотря на то, что внутренняя структура двухполюс­ ника может быть сколь угодно сложной, для исчерпываю­ щего описания его поведения достаточно знать входной ток и разность потенциалов между зажимами в любой момент времени. В дальнейшем нами будут рассматриваться лишь пассивные линейные двухполюсники, состоящие из элемен­ тов R, С, L и М.

Свойство аналитичности иммитанса линейного двухполюсника

Предположим, что ко входным зажимам двухполюсника подключен источник гармонической ЭДС, который являет­ ся единственным активным элементом. Для расчета внутрен­ него состояния двухполюсника можно воспользоваться ме­ тодом кон'гурных токов и записать соответствующую систе­ му уравнений:

■■-\-Z\nIn= E ,

•£21^1+-^22/2+ .,,. -\-Z2nIn~O,

Здесь D — определитель системы (66), DlK— алгебраическое дополнение элемента Ik.

90

Поскольку мы условились считать, что по контуру, со­

держащему внешний источник, протекает ток / ь то входные иммитансы двухполюсника представятся в виде:

Алгоритм вычисления определителей таков, что они об­ разуются как суммы всевозможных произведений сомножи­ телей вида

PCik

Отсюда следует, например, что входной импеданс может быть представлен в виде отношения двух многочленов по степеням комплексной частоты

Легко видеть, что в силу физической постановки задачц коэффициенты как в числителе, так и в знаменателе (70) являются вещественными числами. Функции вида (70) но­ сят в математике название дробно-рациональных. Важ­ нейшая их особенность, определяющая собой все частотные свойства линейных цепей, состоит в свойстве аналитично­ сти [7]. По основной теореме алгебры каждый многочлен п-отл. степени имеет п комплексных корней. Таким образом,

Множество точек zt носит название нулей входного импе­ данса двухполюсника. Корни же знаменателя р} образуют множество полюсов импеданса. Очевидно, что. для входного адмиттанса (проводимости) нули и полюсы взаимно меня­ ются местами. В совокупности нули и полюсы образуют множество особых точек иммитанса двухполюсника. Исклю­ чительная роль аналитических функций состоит в том, что исчерпывающее описание их в любой точке комплексной плоскости может быть осуществлено на основании лишь знания расположения и характера особых точек.

31

Дальнейшее исследование свойств входного импеданса двухполюсника

Исходя из простых физических соображений, . оказыва­ ется возможным сделать ряд заключений о характере рас­ положения особых точек функции Z(p) на комплексной плоскости р. Пусть на вход двухполюсника включен идеаль­ ный источник тока, возбуждающий в момент времени t —0 импульсное воздействие вида б(t). Напряжение gu(t), возникающее при этом на зажимах двухполюсника, будем на­ зывать импульсной характеристикой по напряжению. По­

скольку в установившемся режиме U=Z(m)I, а б — функ­ ция имеет равномерную спектральную плотность, то спра­ ведливо следующее преобразование Фурье:

СО

к устойчивой пассивной системе, состоит в том, что функ­ ция gu(t) должна тождественно обращаться в нуль при /< 0 ,

ности бесконечного радиуса, располагающейся в правой по­ луплоскости (на рис. 13).

В силу теоремы Коши равенство нулю контурного ин­ теграла (73) при t < 0 возможно лишь в том случае, если функция Z(p) в правой полуплоскости не имеет полюсов.

Более того, функция Z(p) в правой полуплоскости не может иметь и нулей, поскольку каждому нулю Z отвечает полюс функции Y. Повторив предыдущие рассуждения для случая, когда на входе двухполюсника действует идеаль­ ный источник ЭДС вида 6(7), легко прийти к выводу, что У(р) не может иметь полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной р.

Наличие особых точек иммитанса в правой полуплоско­ сти свидетельствует о неустойчивости системы [8]. Ясно,

32

что свойством неустойчивости могут обладать только актив­ ные электрические цепи.

Дальнейшие сведения о характере расположения осо­ бых точек иммитанса двухполюсника можно получить, если принять во внимание, что коэффициенты многочленов

в формуле (70) всегда являются вещественными числами. В алгебре доказывается, что корни многочлена с вещест­ венными коэффициентами являются либо вещественными, либо комплексно-сопряженными. Поэтому все особые точ­ ки располагаются симметрично относительно вещественной оси.

Другим очевидным следствием вещественности коэффи­ циентов является выполнение равенства

(74)

где звездочкой обозначены комплексно-сопряженные ве­ личины. В частности, при гармоническом воздействии, т. е. при р = ш входной импеданс

Z(ico) =R(iu>)-\-iX(i(£>)

обладает следующими свойствами:

Наконец, можно доказать [8], что в случае чисто реак­ тивных цепей особые точки входного импеданса двухпо-

люсника, располагаясь на мнимой оси комплексной пере­ менной р, являются простыми, т. е. однократными. Это ус­ ловие обеспечивает ограниченный характер функции gu(t) при t > 0.

Упражнение. Пользуясь выведенными выше свойствами функции Z(p) доказать, что импульсная характеристика цепи gu{t) будет вещественной при t>Q.

Теорема Фостера

Весьма важное положение теории цепей, носящее наз­ вание теоремы Фостера, касается частотных свойств вход­ ного импеданса двухполюсника, не обладающего омическими потерями. Данная теорема формулируется следующим образом: если входной им­

противление является не­ убывающей функцией, т. е. dX/dtо > 0 .

Л ем м а . Для чисто ре­ активной цепи вычеты функ­ ции Z(p) вещественны и по­ ложительны.

.Пусть ро=то — полюс функции Z(p) двухполюсни­ ка, так что справедливо разложение в ряд Лорана

дать некоторой вещественной частью, что невозможно в силу предположения об отсутствии потерь.

Для доказательства второй части леммы примем во вни­ мание, что в любой физической системе всегда имеют мес­ то сколь угодно малые, но конечные потери. В результате точка полюса сместится с мнимой оси в левую полуплос­ кость (рис. 14). Из рисунка видно, что в окрестности резо­ нансной частоты coo входной импеданс представляется в виде частного от деления вычета на малое комплексное число

34

р—ро- Ясно, что при резонансе входное сопротивление ока­ жется вещественным и равным Л /|р —ро|.

Если вычет А был бы отрицательным числом, то резо­ нансное сопротивление оказалось бы вещественным и от­ рицательным, что невозможно для пассивных цепей. Лемма доказана.

Данное предположение без труда переносится на слу­ чай, когда входной импеданс в точке ро—Шо имеет нуль, т. е. имеет место разложение вида:

Коэффициент В должен быть положительным веществен­ ным числом.

Переходя к доказательству теоремы Фостера, отметим, что графики зависимости реактивного входного сопротив­

X

Рис. 15

ления от частоты, изображенные на рис. 15а и б, являются физически неосуществимыми.

Причиной является тот факт, что X(ia), будучи мни­ мой частью аналитической функции, должно удовлетворять известному принципу максимума [7], согласно которому максимальные точки вещественной и мнимой части анали­ тической функции могут располагаться только на границе области аналитичности, но не внутри нее. Таким образом, остаются лишь две возможности, изображенные на рис. 16а и б.

Сравнение их показывает, что отличие состоит в различ­ ных знаках производной dX/dw. В окрестности нуля р о = = гшо справедливо разложение в ряд Тейлора

В соответствии с доказанной леммой производная

что и доказывает окончательно теорему Фостера. Поэтому физически осуществим только такой двухполюсник, кото­ рый соответствует графику, показанному на рис. 166.

Теорема Фостера, вместе со свойством нечетности функ­ ции Х(т), приводит к выводу о том, что точки <о = 0 и (0 = 0 0 могут являться только либо нулями, либо полюсами

входных импедансов реактивных двухполюсников.

Полиномы Гурвица и реактансные полиномы

В алгебре специально рассматриваются полиномы по степеням комплексной переменной р, имеющие корни толь­ ко в левой полуплоскости. Подобные полиномы носят спе­ циальное название полиномов Гурвица и обозначаются Н (р ). Из предыдущего ясно, что входной импеданс устой­ чивого пассивного двухполюсника является частным двух полиномов Гурвица.

36

Найдем отличительный критерий полинома Гурвица. Пусть, например, Н(р) —полином Гурвица, имеющий в ле­ вой полуплоскости один вещественный и два комплексно­ сопряженных корня:

Из данного примера следует вывод о том, что полином Гурвица характеризуется присутствием всех степеней пере­ менной и положительностью всех коэффициентов. Отме­ тим, что свободный член в полиноме Гурвица может, вооб­ ще говоря, отсутствовать, если данный полином обладает корнем при р = 0.

К сожалению, найденный здесь простейший критерий является лишь необходимым условием отсутствия корней многочлена в правой полуплоскости. Полное решение проб­ лемы дается теоремой Гурвица [7]. Для того, чтобы все корни многочлена

F(p) = a0pn+ aipn- l+ a 2pn- 2+ ... + а п

с вещественными коэффициентами ак (ао^>0) имели отри­ цательные вещественные части, необходимо, чтобы выпол­ нялась следующая система неравенств:

а0

Недостаточность простейшего критерия хорошо иллюст­ рирует следующий пример. Многочлен F.(p) = р 3+ 2р2-\-р + + 3 содержит все степени переменной р и вещественные коэффициенты одного знака. Тем не менее,

37

так что данный многочлен не может быть полиномом Гурвица.

Упражнение. Для схемы, изображенной на рис. 17, най­ ти выражение Z(p) и доказать, что данный импеданс явля­ ется частным двух полиномов Гурвица.

Особый класс полиномов, важный для теории цепей, со­ ставляют реактансные полиномы, имеющие нули только на мнимой оси. Данное название обусловлено тем, что они соот­ ветствуют цепям, составленным из чисто реактивных элементов.

Ранее было показано, что все особые точки и, в частности, нули существуют попарно комплексно­ сопряженными. Поэтому простей­ ший реактансный полином, об­ ладающий двумя корнями при

р= ± к в0, имеет вид

Н(р) =р2+о)02. (83)

При большем числе корней мы будем получать полино­ мы, обладающие положительными коэффициентами и рас­ положенные только по четным степеням переменной р. -

Особый случай представляется, если точка р = 0 является корнем полинома. Физически это соответствует, например,

ет вид полинома только по нечетным степеням р с положи­ тельными коэффициентами.

Теорема о числе нулей и полюсов входного импеданса пассивного двухполюсника

Дополнительные сведения о характере функции Z(p) дает следующая важная теорема. Числа нулей и полюсов функции Z(p) отличаются друг от друга не более чем на единицу.

Доказательство теоремы основано на некотором очевид­ ном физическом суждении, которое может быть высказано относительно функции Z(tco), т. е. о входном импедансе при вещественных частотах. Для доказательства удобно формулу (71) представить в показательной форме

38

При этом мбдуль импеданса с точностью до константы К выражается через модули отдельных комплексных чисел — сомножителей, показанных на рис. 18.

Очевидным образом может быть найден и аргумент входного импеданса (см. рис. 18):

Устойчивый пассивный двухполюсник характеризуется тем, что на любой физической частоте и вещественная часть входного импеданса положительна, откуда вытекает условие, накладываемое на аргумент импеданса:

Устремим частоту со к величине + °° . При этом как фазы полюсов <fpj, так и фазы нулей фz,- будут стремиться к я/2 (см. рис. 18). Отсюда

39