книги из ГПНТБ / Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие

при г=а. Точность подобного предположения непосредст­ венно оценена быть не может, но этот факт не столь важен, поскольку наша задача касается не процедуры расчета, а по­ священа выяснению принципиальной физической стороны явления.

Цель состоит в отыскании электрического поля Ег(г) в цилиндрической системе координат (г, ф, z), удовлетво­ ряющего волновому уравнению

___ v2£* + f e = o, (35)

где ро — со V е0ц0 — 2зт/Х — волновое число.

В соответствии с физической постановкой потребуем, чтобы решение Ег{г) оставалось конечным при г —0, Данное условие вытекает из предельного перехода к однородному полю при со->-0.

Координатная запись (35) имеет вид

Решение последнего уравнения, обеспечивающее выполне­ ние поставленных условий, хорошо известно в матема­ тической физике:

Здесь /о(|Зог) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Примерный график этой функции изображен на рис. 11.

Анализируя полученный результат, можно прийти к сле­ дующим выводам:

1) Плоский конденсатор, включенный в цепь перемен­ ного тока, не является, строго говоря, электростатическим

20

элементом. Распределение интенсивности электрического поля в нем при сколь угодно низких частотах отличается от равномерного. В подавляющем большинстве практически значимых случаев данный эффект пренебрежимо мал. Если воспользоваться асимптотическим представлением функции Бесселя при малых аргументах

то легко подсчитать, что в плоском конденсаторе с радиу­

2) Если частота электромагнитного поля повышается на­ столько, что аргумент |Зоп становится в точности равным значениям корней функции /о(|Зог) (Рое=2,405; 5,520; 8,654 и т. д.), то поле на краю дисков обращается в нуль, т. е. локализуется в области между обкладками. Граничные ус­ ловия для электромагнитного поля не будут нарушены,

если обкладки конденсатора замкнуть проводящей цилин­ дрической поверхностью. В результате мы приходим к ко­ лебательной электромагнитной системе, носящей название

объемного резонатора (рис. 12).

В диапазоне СВЧ объемные резонаторы успешно выпол­ няют функции колебательных контуров, частотных фильт­ ров и т. д.

Итак, предел применимости квазистатической идеализа­ ции ставит волновой характер электромагнитного поля. Если через I обозначить характерный геометрический раз­ мер цепной структуры, то условие справедливости квазистатического метода приобретает вид р0/<С1 или 1/К-C l - Последние неравенства допускают и другую эквивалентную

21

Г л а в а II

НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ МЕТОДА КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЦЕПЯМ

Роль гармонических входных воздействий

Исключительная роль гармонических функций в теории линейных колебательных систем с постоянными парамет­ рами объясняется тем -фактом, что при подаче на вход по­ добной системы гармонического колебания во всех физиче­ ски интересных случаях выходной сигнал продолжает оста­ ваться гармоническим. Докажем это, основываясь на том, что поведение линейной динамической системы описыва­ ется линейным дифференциальным уравнением п-,го по­ рядка

Здесь x(t ) — искомая реакция на выходе, F(t) — функция входного воздействия, av — постоянные вещественные коэф­ фициенты, определяемые внутренней структурой системы. Положим, что

Будем полагать, что уравнение относительно переменной Q

п

23

не имеет вещественных корней. Физически это условие оз­ начает наличие в системе конечных омических потерь, что ведет к невозможности идеальных резонансов. Принимая во внимание (40) и учитывая, что (42) должно выполняться

Данное равенство доказывает первоначальное утвержде­ ние. В качестве упражнения читателю предлагается продол­

жить рассуждения и доказать, что если

П

Итак, линейная динамическая система с постоянными параметрами, и в частном случае, линейная электрическая цепь, не обогащает спектр выходного сигнала по сравне­ нию со спектром входного воздействия.

Известный теоретический интерес может представить рассмотрение идеализированного случая системы без по­ терь. При этом уравнение (43), носящее название характе­ ристического, имеет по крайней мере один вещественный корень. В случае, если частота входного сигнала численно совпадает с этим корнем, то имеет место резонансное воз­ буждение и выходная реакция становится неограниченной, изменяясь во времени по закону вида t cos соt. Более под­ робные сведения можно найти в курсах теории дифферен­ циальных уравнений, например, [6].

Операторная связь токов и напряжений в линейных цепях

1. Если выполнены все электродинамические ограниче­ ния, обеспечивающие применимость цепной идеализации, то поведение любого многополюсника полностью определяет­

ся заданием совокупности токов / к и напряжений UK на его зажимах. Рассмотрим вначале случай двухполюсника. Здесь, полагая известными мгновенное значение напряжения U(t) при любых t, можно в самом общем виде выразить мгновен­ ное значение тока I(t) следукйцим образом:

24

Здесь У —некоторый линейный оператор, действующий на функцию U(t). Факт линейности данного оператора вы­ текает из линейных свойств уравнений Максвелла. Заметим,

что с физической точки зрения оператор Y является раз­ мерным и по известной аналогии может быть назван опе­ ратором проводимости.

Линейность оператора У обеспечивает выполнение прин­ ципа суперпозиции, т. е. если

h^Y U i и h = YU2,

то

Ii~hh —У[£Л+^г]

и, кроме того,

AI =YAU —A YU,

где А — произвольная постоянная.

2. Взаимно-однозначная связь между током и напряже­ нием будет установлена, если наряду с оператором У суще­ ствует обратный оператор У-1, осуществляющий следующее

л

Применив оператор У-1 слева к обеим частям (48) и

откуда непосредственно вытекает операторное соотношение

где 1 — безразмерный единичный оператор, осуществляющий тождественное преобразование.

По аналогии с электротехнической терминологией и на

А

основании размерных свойств оператора У-1 последний в дальнейшем будет называться оператором сопротивления:

3. В случае произвольного линейного двухполюсника.

А —

запись конкретной формы операторов У н Z может быть

25

Такие формы записи говорят о том, что действие опе­ раторов сводится к умножению (значок т) тока или напря­ жения на соответствующее число,

б) Конденсатор. Здесь

откуда

t

(55)

—oo

Отметим, что прямая пропорциональность между током и напряжением в любой момент времени, т. е. обычный за­ кон Ома, выполняется только в случае активного сопротив­ ления.

4. Вообще говоря, весь класс линейных операторов не исчерпывается лишь операторами умножения на число, ин­ тегрирования и дифференцирования. Примером может слу­ жить оператор запаздывания, определяемый формулой

где а — размерная постоянная, ом,

т — время запаздывания.

26

Линейность такого оператора проверяется непосредст­ венно. Однако, как легко убедиться, обратный оператор

проводимости У при этом должен быть задан соотношением

Другими словами, для определения тока в заданный мо­ мент времени необходимо знать напряжение в некоторый

последующий момент при любой функции U(t). Подобная ситуация противоречит физическому принципу причин­ ности и поэтому такие операторы принадлежат к классу физически нереализуемых.

Операторы сопротивления и проводимости в случае гармонической зависимости токов и напряжений во времени

Как уже известно, линейная электрическая цепь, являю­ щаяся частным случаем линейной динамической системы, характерна тем, что при гармоническом, воздействии на нее все токи и напряжения в ней будут являться также гармо­ ническими функциями времени-. Этот факт позволяет до­ биться существенного упрощения формы записи оператор­ ных соотношений между токами и напряжениями. Действи­ тельно, пусть электрическое состояние некоторого элемен­ та цепи, например, двухполюсника, описывается напряже­ нием

В соответствии со свойством показательной функции про­ изводные и интегралы любого порядка от гармонических

21

функций выражаются через комплексные амплитуды следу­ ющим образом:

Отсюда следует, что действие произвольного интегродифференциального оператора на гармоническую функцию равносильно действию мультипликативного оператора, при­ мененного к комплексной амплитуде. Другими словами, можно для любого двухполюсника записать

Входящие сюда размерные множители в общей теории цепей носят название иммитансов. Конкретно, Z — импе­ данс (полное комплексное сопротивление), Y —адмиттанс (полная комплексная проводимость).

Обобщение понятия частоты. Плоскость комплексных частот

Известно, что соотношения вида (63) могут быть запи­ саны применительно не только к гармоническим функциям, но и к функциям более общего вида

где p —a-\-m — произвольное комплексное число. Несмотря на то, что в'ходные воздействия вида

е±0' • cos ioof.

прямого физического смысла не имеют, замена веществен­ ной круговой частоты со на комплексную переменную р об­ ладает большим принципиальным значением для развития математического аппарата теории цепей. Причина этого заключается в следующем. Для произвольного линейного двухполюсника иммитансы являются некоторыми известны­ ми функциями со, точнее, мнимого аргумента г'со: '

Введение нового комплексного аргумента р позволяет осуществить операцию аналитического продолжения [7]

функций Z и У с мнимой оси ico на всю комплексную плоскость.

28