книги из ГПНТБ / Багин, Б. П. Основы статистической динамики одноковшовых экскаваторов обзор

Спектральной плотности, описываемой выражением (57),. соответствует корреляционная функция вида:

ризуют частотные свойства нагрузок. При увеличении а кор­ реляционная функция убывает быстро, а колебания нагрузок становятся более резкими и беспорядочными. Параметр р указывает на наличие в спектре процесса Poia(t) круговых частот, близких к частоте р, но со случайными амплитудами и фазами, что и определяет наличие пика в спектральной плотности SPв (со) в зоне частоты со = 5,3 сек~К

Рис. 16. Спектральная плотность высокочастотной составляю­ щей Р01в для забоев «А» и «Б»

Используя полученные выражения корреляционных функ­ ций (55) и (58), определим корреляционные функции слу­

чайных центрированных процессов c(t) и K(t). Принимая во внимание формулу (51), получим

Если принять толщину стружки c(t) в период установив­ шегося копания в хорошо взорванном грунте (сыпучая сре­

да) примерно постоянной (сср), тогда из формулы (52)

40

Коэффициенты вариации толщины стружки Л'„.с и удельного сопротивления копанию Кв-к определяются из соотношений:

Значения удельного сопротивления грунта копанию Ки

средней толщины стружки сср, их среднеквадратические от­ клонения (ок, огс) и коэффициенты вариации для двух забоев «А» и «Б», определенные по приведенным выше зависимо­ стям, представлены в табл. 2.

гут быть использованы в качестве исходных для определения вероятностных характеристик силы сопротивления грунта копанию Pm (t) для других экскаваторов при работе в ука­ занных грунтах, но отличающихся своими динамическими характеристиками.

Определим дисперсию составляющей Лив(0> приведенной

При уср=47° имеем Df „= 4 5 tc2 для забоя «А» и й^в= |100гс2

— для забоя «Б».

41

р7,

примера соотношение АЧХ системы и спектральной плотно­

с дисперсией DFb. Таким образом, при проектировании экска­ ватора необходимо располагать сведениями о характере спектральной плотности внешнего возмущения Poi(t) и дина­ мическими характеристиками системы.

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАГРУЗКИ В МЕХАНИЗМЕ ПОДЪЕМА

Полученные выше вероятностные характеристики силы сопротивления грунта копанию позволяют перейти к опреде­ лению вероятностных характеристик (прогнозированию) на­ грузок в проектируемой машине.

Задача вероятностного определения (или прогнозирова­ ния) нагрузки заключается в определении статистических характеристик нагрузки в механизмах подъема и напора экскаватора.

Для проведения проверочных расчетов деталей механиз­ ма подъема на прочность и выносливость с учетом действи­ тельного случайного процесса нагружения X (t) требуются такие статистические характеристики нагрузки как матема­ тическое ожидание mx (t), среднеквадратическое отклонение нагрузки ах (или коэффициент вариации) и среднее число

выбросов в единицу времени на среднем уровне «*[6].

При копании во взорванном скальном забое с коэффи­ циентом разрыхления /(V)>1,4 (сыпучая среда) среднестати­ стические траектории копания представляют плавные поло­ гие кривые. При этом высота черпания, необходимая для наполнения ковша,'не превышает, как правило, 60% высоты

42

напорного вала, а толщина стружки в период установивше­ гося копания является практически постоянной. В этом слу­ чае математическое ожидание внешней нагрузки, действую­ щей на механизм подъема при копании, с учетом сил тяже­ сти от массы ковша с грунтом и части рукояти определится выражением

(63)

Случайные составляющие ЛиЛО и Ли» (0 являются центрированными, стационарными независимыми процесса­

ми, т. е. их математические ожидания равны нулю. Используя полученные выше результаты, можно записать выражения для корреляционных функций процессов Я,11м(/) и Я01а(£);

Спектральные плотности процессов Р0,„(£) и P„lBU), определенные как преобразование Фурье от корреляционных функций, определяются выражениями:

(66)

Механизм подъема в процессе установившегося копания можно рассматривать линеаризованной стационарной дина­ мической системой. Исчерпывающими динамическими харак­ теристиками линейной системы являются частотная характе­ ристика 'W(Jm) или временная характеристика — импульсная переходная функция g(r). Прогнозирование нагрузки сводит­ ся к определению статистических характеристик «выхода» X(t) линейной системы с динамической характеристикой W(j(o) или g(x) при действии на ее «вход» внешнего случай­ ного воздействия Ли (0 с заданными статистическими харак­ теристиками. Нагрузка в механизме подъема представляется статистической моделью

X (t) = тх {t) + (/х (,t) 4- Zx (t).

Низкочастотная Ux (t) и высокочастотная Zx (l) случайные составляющие являются практически независимыми стацио­ нарными процессами, следовательно, дисперсия процесса X(t) определится выражением Dx = Ни + Dz.

43

Среднее число выбросов в единицу времени на среднем уровне для стационарного процесса определится по формуле

где 3'x=VDx— среднеквадратическое отклонение нагрузки; ох— среднеквадратическое отклонение скорости

изменения нагрузки X(t).

т. е. для определения дисперсии скорости изменения случай­ ного процесса необходимо, чтобы корреляционная функция нагрузки Кх (т) имела вторую производную в нуле. Более

удобным является определение дисперсии а2, если известна

х

спектральная плотность процесса X(t)

Таким образом, для определения среднего числа выбросов в единицу времени необходимо знать корреляционные функ­ ции или спектральные плотности случайных составляющих нагрузки Ux (t) и Zx {t).

Связь между «входом» и «выходом» линейной системы определяется уравнением свертки [17]

Импульсная переходная функция g(r) является реакцией системы на единичный импульс (6-функцию). Между им­ пульсной переходной функцией g(r) и передаточной функ­ цией системы W(р) существует взаимно однозначное соот­ ветствие, определяемое преобразованием Лапласа [17].

Вследствие существенного демпфирования в системе вре­ мя переходного процесса тп< 1 сек. Учитывая, что в данном случае рассматривается процесс установившегося копания,

44

Таким образом, низкочастотные составляющие внешней нагрузки проходят в динамическую систему практически без изменения. К такому же выводу можно прийти при рассмот­ рении АЧХ системы в частотном диапазоне со —O-f-З сек~1. При этом выражение для дисперсии низкочастотной состав­ ляющей нагрузки можно записать в виде

Корреляционная функция Лс/(т) при т = 0 имеет вторую производную, поэтому можно сразу определить дисперсию скорости изменения низкочастотной случайной составляющей

Ux (t):

*ср

Корреляционная функция высокочастотной составляющей нагрузки Zx (t) связана с корреляционной функцией высоко­ частотной случайной составляющей внешнего воздействия /301в(0 соотношением [17]:

Kz (7) = - г т - J J g (о) g Ы КРв + {-п - --2)\ -d-n d-2. (76)

S in - у О О

Вычисление двойного интеграла является весьма трудо­

емким, поэтому для определения дисперсий Dz и Dz лучше пользоваться соотношениями между спектральными плот­ ностями:

Интегралы в этих выражениях могут быть вычислены

•обычными методами графического интегрирования, если из­ вестны графики кривых спектральной плотности S.рв(ы) и ам­ плитудно-частотной характеристики (/.- (м) = | У7 (/и.)|-).

Имеется также и аналитический метод вычисления Dz и Dz , основанный на предположении, что как спектральные плотности, так и частотная характеристика представляют со­ бой дробно-рациональные функции от со [17]. Этот метод позволяет получить в явном виде связи между величиной дисперсий Dz и Dj,, параметрами спектральной плотности

ав и р и динамическими параметрами системы. Для возмож­ ности использования этого метода необходимо выражение для спектральной плотности SPB(co) представить в виде абсо-

45

.потного значения квадрата рациональной функции,- имею­ щей полюсы, расположенные симметрично относительно мни­ мой оси в верхней полуплоскости.

Определим дисперсию нагрузки Dz и дисперсию скорости изменения нагрузки Dz в подъемных канатах механизма подъема. Частотная характеристика W (]ш) двухмассовой ди­ намической модели механизма подъема' определяется вы­ ражением

di —vCn + КТСл.

Дисперсия Dz с учетом (67) и (79) определится из выра­ жения (77), в котором спектральная плотность 5рв((о) и ча­ стотная характеристика W (усо) представлены произведения­ ми комплексно-сопряженных величин:

со

Dz = 2DPaав С2П 1- ■ I [mn(у'ш) + v]J — mn (/a.) ■+

Интеграл после перемножения в числителе и знаменателе первого члена на третий и второго на четвертый приводится к виду

Для интегралов такого вида составлены специальные таблицы, пользуясь которыми можно вычислить интегралы при различных п в явной форме.

Выражение (80) запишем в виде

4 6

А = — /z0/z3 + А, Л2;

Л2= — А0Л54-А,А4;

А = (А, Л ,— /74Л4);

А = 4 - ( А А - А А ) ;

По

А ■'=А (А) Л4 — А3 Л3 + /г5 Л2).

В нашем случае

Таким образом, получено выражение для дисперсии высо­ кочастотной составляющей нагрузки, которое в явном виде зависит, от динамических параметров механизма подъема (тп, Сп, v) .и параметров спектральной плотности внеш­ него воздействия (DPB, ссв, .8).

Дисперсия скорости изменения нагрузки D £ определяется аналогичным способом по формуле (78), путем подстановки

47

в нее формул (67), (79). Опуская промежуточные преобра­ зования, получим

Полученные расчетные зависимости для определения ста­ тистических характеристик нагрузки в механизме подъема экскаватора в явном виде связаны с динамическими пара­ метрами системы и вероятностными характеристиками со­ противления грунта копанию. Эти зависимости могут быть, использованы для вероятностного определения нагрузки в ме­ ханизме подъема с учетом случайного характера силы сопро­ тивления грунта копанию и динамических характеристик ме­ ханизма подъема.

В Ы В О Д Ы

Представление нагрузок в копающих механизмах экска­ ватора детерминированными законами не отражает действи­ тельного их проявления. Нагрузки, действующие в механиз­ мах, наиболее точно могут быть выражены в виде случайных процессов.

Статистические исследования процесса нагружения меха­ низма подъема показали, что это нестационарный неэргодический и неоднородный процесс, разложимый на составляю­ щие, имеющие различную физическую природу. Процесс на­ гружения удобно представить моделью в виде суммы трех составляющих: математического ожидания, низкочастотной и высокочастотной случайных составляющих. Математическое ожидание характеризует среднестатическую загрузку меха­ низма подъема и определяется в основном конструктивными (кинематическими и силовыми) параметрами машины, а так­ же профилем забоя (среднестатистической траекторией ко­ пания) и средним значением удельного сопротивления грун­ та копанию. Низкочастотная составляющая в основном ха­ рактеризуется управляющей деятельностью машиниста и яв­ ляется неэргодическим стационарным случайным процессом. Высокочастотная составляющая определяется в основном вариацией удельного сопротивления грунта копанию и дина­ мическими характеристиками системы. Эта функция — ста­ ционарный эргодический процесс. Критерий разделения про­ цесса нагружения на низкочастотную и высокочастотную со­ ставляющие определяется частотными характеристиками системы.

Дина?чическая система механизма подъема экскаватора в общем виде представляет собой нестационарную, со случай-

48

ко меняющимися параметрами систему с элементами нели­ нейности. В результате исследования раздельного и совмест­ ного влияния изменения параметров системы па ее АЧХ уста­ новлено, что динамическая система механизма подъема в процессе копания может быть представлена линеаризованной системой с медленно меняющимися параметрами. Для прак­ тических расчетов с погрешностью до 10% можно предста­ вить систему как стационарную линейную, заменяя перемен­ ные параметры средним постоянным значением, определяе­ мым при среднем положении ковша на среднестатистической траектории.

Статистическая модель касательной составляющей силы сопротивления грунта копанию по структуре может быть вы­ ражена аналогично модели случайного процесса нагружения механизма подъема. При составлении модели учтены основ­ ные физические факторы, определяющие вариации силы: вариации толщины стружки, реализуемой машинистом, и ва­ риации удельного сопротивления грунта копанию, обуслов­ ленные неоднородностью разрабатываемого забоя. Получены аналитические выражения для нормированных корреляцион­ ных функций и спектральных плотностей для описания низ­ кочастотной и высокочастотной случайных составляющих ка­ сательной составляющей силы сопротивления грунта копанию.

Для проведения вероятностного определения (прогнози­ рования) нагрузки в механизме подъема получены аналити­ ческие зависимости в явном виде, связывающие статистиче­ ские характеристики нагрузки с динамическими параметрами системы и вероятностными характеристиками сопротивления грунта копанию.

Полученные результаты могут быть положены в основу дальнейшего решения ряда задач: выбора оптимальной сте­ пени подготовки забоя и емкости ковша исходя из заданной вероятности безотказной работы; проведения сравнительной оценки управляющей деятельности машинистов; выбора опти­ мальных параметров электромеханических систем из условия минимума дисперсии нагрузки.

ЛИТЕРАТУРА

оборудования и механизмов карьерных экскаваторов. В сб. «Вопросы ме­ ханизации открытых горных и земляных работ». М., Госгортехиздат 1961

с. 190—197.