книги из ГПНТБ / Багин, Б. П. Основы статистической динамики одноковшовых экскаваторов обзор

Для проверки этого положения корреляционные функции низкочастотной составляющей были определены двумя спо­ собами. Первый — основывался на уравнении (15), в котором известны Кх(т.) и Kz (t), откуда определялось корреляци­ онная функция Ки(т) (рис. 6, кривая /). Второй способ опре­ деления /Сц-(т) заключался в вычислении ее двойным усредне­ нием по множеству и по времени предварительно сглаженных

Рис. 6. Корреляционные функции низкоча­ стотной составляющей процесса:

двойным усреднением по множеству и по време­ ни предварительно сглаженных реализаций

фильтром реализаций X(t). В этом случае выделялся ан­ самбль реализаций т* {t) из ансамбля X(t) с помощью филь­

трации, по которому и определялась корреляционная функ­ ция, представленная кривой 2 на рис. 6. Корреляционные функции Ки (т), вычисленные двумя способами, отличаются друг от друга незначительно, из чего следует важный вывод о практической независимости (в вероятностном смысле) низ­ кочастотной и высокочастотной случайных составляющих.

Представление случайного режима нагружения статисти­ ческой моделью (11), (12) позволяет повысить точность опре­ деления корреляционной функции высокочастотной состав­ ляющей Zx (t). С другой стороны, на основании проведенного статистического анализа удалось охарактеризовать качест­ венно и количественно слагаемые полной дисперсии нагрузки.

Оц —0,65A y; Dz = 0,35Dx.

20

Полученные статистические характеристики — математиче­ ское ожидание mx (t), дисперсия Dx и корреляционные функции низкочастотной ри(т) и высокочастотной рг(т) со­ ставляющих—характеризуют случайный процесс нагру­ жения.

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НАГРУЖЕНИЯ

Корреляционная функция характеризует внутреннюю структуру случайного процесса, общую зависимость значений процесса в некоторый данный момент времени от значений в другой момент времени. Однако физическая интерпретация корреляционной функции случайного процесса во многих слу­ чаях затруднительна. Более удобной и наглядной характери­ стикой стационарного случайного процесса в инженерной практике является спектральная плотность. Спектральная

плотность 5jc(oo) стационарной случайной функции X(t) описывает общую частотную структуру процесса. Поэтому, не­ смотря на то что спектральная плотность не несет о случай­ ном процессе новой информации в вероятностном смысле по сравнению с корреляционной функцией, определение ее яв­ ляется весьма важным. Вычисление оценки спектральной плотности может быть выполнено методом численного преоб­ разования Фурье оценки корреляционной функции.

При практическом определении корреляционной функции в силу ограниченности обрабатываемой информации всегда получают не истинные (теоретические) значения ординат кор­ реляционной функции, а их оценки, которые сами являются случайными величинами. Для уменьшения дисперсии оценки спектральной плотности формулу видоизменяют, добавляя в нее сглаживающую функцию, называемую корреляционным окном. При этом формула в дискретной форме принимает вид [11]:

где /Сс(м-А) — корреляционное окно; АГх(рА)— оценка корреляционной функции;

А — шаг дискретизации; |х = 0, 1 ,2 ..........

Весьма важным в практическом спектральном анализе является выбор оптимального параметра сглаживания спек­ тральной плотности — времени усечения корреляционной

21

функции Туе. В настоящее время не существует приемлемых для инженерной практики аналитических зависимостей, поз­ воляющих теоретически определить оптимальное значение тус. Выбирая Тус достаточно малым, можно существенно умень­ шить дисперсию оценки спектральной плотности. Однако при этом увеличивается смещение оценки спектральной плотности (смещением называется разность между математическим ожиданием оценки спектральной плотности и теоретическим спектром). Причем для уменьшения смещения требуется уве­ личение ТуС. Таким образом, при практическом спектральном анализе для выбора тус необходимо идти на компромисс меж­ ду дисперсией и смещением оценки спектральной плотности путем вычисления оценки спектральной плотности с различ­ ными Тус по алгоритму (18) с выбранным корреляционным окном. Этот метод изложен в работе [11] и назван методом «стягивания окна».

Рис. 7. Оценка пормюровашой спектральной плотности высокочастотной составляющей процесса нагружения при различных значениях времени усечения Ту,- корре­ ляционной функции для забоя «А»

На рис. 7 представлены оценки нормированной спектраль­ ной плотности случайного процесса нагружения, полученные по оценке корреляционной функции pz(r) (см. рис. 5, а) при различных тус. Выбирая тус небольшим, мы получаем малую дисперсию оценки 5 ^ (и), однако смещение Е при этом ве­

лико. И, наоборот, выбирая ту.с большим, получаем большую

математическим ожиданием спектральных оценок при тус, рав­ ном 2,2 и 4,3, и проходит через характерные точки пересе­ чения спектральных оценок с большой дисперсией. Учитывая, что для больших Тус математическое ожидание спектральной оценки стремится к теоретическому спектру [11], принимаем спектральную оценку при тус=1,5. Применение указанного

22

метода позволило выявить в спектральной плотности высоко­ частотной составляющей два характерных пика на частоте ш==5 сект1 и 12 се/с-1 (см. рис. 7). Спектральная плотность низкочастотной составляющей S*:(w), определенная соответ­

ственно но корреляционной функции рн(т) изложенным вы­ ше методом, представлена на рис. 8.

Рис. 8. Нормированная спектральная плотность низкочастотной составляющей процесса нагружения для забоя «А»

Рис. 9. Нормированная спектральная плотность процесса нагружения для

забоя «-Б»

а — низкочастотная; б — высокочастотная сос­ тавляющие

23

Аналогично получены нормированные спектральные плот­ ности низкочастотной S^(cjj) и высокочастотной SJ(co) со­

ставляющих процесса X(t) для забоя «Б» (рнс. 9).

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОПАЮЩИХ МЕХАНИЗМОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

При составлении модели копающих механизмов одноков­ шового экскаватора можно принять следующие допуще­ ния [3]: механическая часть механизмов подъема и напора рассматривается в виде динамической модели, состоящей из отдельных сосредоточенных масс, соединенных упругими связями; упругие связи машины невесомы и характеризу­ ются постоянными коэффициентами жесткости при фиксиро­ ванном положении ковша.

Математическое описание динамической модели копаю­ щих механизмов в режиме нормального копания имеет ряд. специфических особенностей, обусловленных физикой про­ цесса черпания. К ним в первую очередь относятся: нестационарность динамической системы (вследствие изменения ее параметров в процессе черпания); нелинейный в общем слу­ чае характер приложения внешнего воздействия — силы со­ противления. грунта копанию и необходимость учета в мо­ дели сил трения ковша о грунт.

При рассмотрении движения ковша в процессе копания

копания скорость движения ковша является переменной. Это приводит к тому, что частота пульсаций силы сопротивления также будет изменяться. Однако, несмотря на то что ско­ рость ковша изменяется при копании, зависимость cp(f) мало отличается от линейной, так как оператор преобразования скорости в путь является фильтром, сглаживающим эти из­ менения. Так как зависимость ср(/) можно считать практиче­ ски линейной, то силу сопротивления грунта копанию можно рассматривать как случайную функцию времени, т. е. как случайный процесс.

Сложность взаимодействия ковша с грунтом затрудняет математическое описание силы трения ковша о грунт с уче­ том взаимосвязи всех основных факторов, определяющих фи­ зику процесса черпания (геометрия режущего органа, рас­ становка зубьев, свойства . грунта, параметры срезаемой стружки и т. д.). Однако при исследовании процесса форми­ рования нагрузки в копающих механизмах не требуется де­ тального рассмотрения физики взаимодействия ковша с грун­ том. В соответствии с принципами построения моделей слож-

24

ных динамических систем динамическая модель должна отражать лишь наиболее существенные главные особенно­ сти Диссипативных сил, возникающих в результате взаимодей­ ствия ковша с грунтом. В этом случае эти силы удобно пред­ ставить в модели пропорциональными скорости ковша, т. е.

/^*тр Кт“Цк,

где К г — коэффициент пропорциональности; ук — скорость ковша.

Величину Кг на первом этапе исследования можно опре­ делить, исходя из зависимости

/^ = 0,3^-в ,

V

где Рдв, v — соответственно средние рабочие значения усилия и скорости двигателя в режиме копа­ ния механизма подъема.

Уточнение величины Ктможно провести на основе приме­ нения метода статистической линеаризации при проведении идентификации динамической модели.

Рис. 10. 1рехмассовая динамическая модель копающих механизмов

При исследовании процесса формирования высокочастот­ ного спектра нагрузки з механизме подъема необходимо рас­

в каждой точке траектории движения ковша под действием

25

описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами:

тп Х п — Ки.„(А'п.к— 2f„) — Сш (Х„'К—Х а)+ Яде.,, = 0;

п1иХ » - К им{Х«.к-Х«) — С»t (Х„.к — X п) -Ь Ядр.,, = 0 ;

— Км.п(Хп.к — Х„) COS Тс + Cut (А'н.к— Х в) —c at (Хпл—

— X n) COS Тс =

где trin, m„— соответственно приведенные массы привода ме­

Усилие двигателей связано со скоростями соответствую­ щих приводов динамической механической характеристикой. Так, например, для привода по системе Г—Д уравнение ди­ намической механической характеристики можно предста­ вить в виде:

4 — управляющий сигнал (ток в задающей обмотке магнитного усилителя).

В первом приближении можно пользоваться статической механической характеристикой, т. е. принять 74=0.

Динамическая модель (см. рис. 10) дает возможность ис­ следовать взаимосвязь механизмов подъема и напора. Осо­ бенностью этой модели является ее вестационарность вслед­ ствие изменения динамических параметров ты, Cnt, Cut, 7^ Переменность массы т к, вызывает необходимость учета

26

реактивной силы, которую можно оценить, используя урав­ нение Мещерского

где г>г — скорость поступающего грунта; vK — скорость ковша.

Абсолютная скорость присоединившегося грунта невели­ ка и ее можно принять равной нулю. Оценка величины реак­ тивной силы показывает, что она незначительна и ею можно пренебречь. Величина суммарной приведенной жесткости на­ пора изменяется в процессе копания незначительно и ее можно принять равной средней величине.

Анализ системы (19) затруднен ввиду нелинейности ме­ ханических характеристик приводов подъема и напора, однако исследование можно провести отдельно для дву' участков, которым соответствуют постоянные значения па­ раметров V.

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ

Частотные методы находят широкое применение при ис­ следовании линейных стационарных динамических систем. Используемые при этом частотные характеристики наглядны и удобны для анализа. Применение частотных методов для исследования нестационарных линейных систем в общем слу­ чае связано с существенными трудностями [8]. Однако не­ стационарная динамическая модель копающих механизмов является системой с медленно изменяющимися параметрами (вследствие наличия диссипативных сил в системе время переходного процесса меньше 1 сек и изменением парамет­ ров за это время можно пренебречь). В этом случае можно использовать частотный метод исследования как для стацио­ нарных систем, применяя принцип «замораживания» коэф­ фициентов.

Как показывают исследования [12], при анализе динами­ ческой модели механизма подъема можно пренебречь изме­ нением параметров в процессе копания, принимая их посто­ янными при среднем положении ковша на среднестатистиче­ ской траектории.

С точки зрения поставленной в настоящей работе задачи исследования наиболее важной динамической характеристи­ кой является АЧХ системы. Частотные методы позволяют получить АЧХ всех звеньев системы по отношению к внеш­ нему воздействию и относительные частотные характеристи­ ки между отдельными элементами динамической модели. Знание указанных динамических характеристик позволяет исследовать процесс формирования спектра нагрузки в раз­

27

личных элементах системы при заданном спектре внешнего возмущения, а также проанализировать прохождение нагруз­ ки через различные звенья динамической модели.

Динамическая модель (см. рис. 10) находится под воз­ действием двух внешних случайных возмущений — касатель­ ной (Рш) и нормальной (Рог) составляющих сопротивления грунта копанию. Применяя принцип суперпозиции, будем рассматривать реакции системы отдельно на внешние воз­ мущения Poi и РогВыходом системы примем усилие подъема S„ и усилие напора S,,.

Передаточная функция — есть отношение реакции (или «выхода») к возмущению («входу») системы в преоб­ разованиях Лапласа [13]. Выражая S„ и 5Н через обобщен­ ные координаты системы, получим передаточные функции по отношению к возмущению Роь

Передаточные функции от Рог имеют аналогичный вид, толь­

где Д(р) — определитель системы (19), записанной в опера­ торной форме;

Дi(p) — алгебраические дополнения, получающиеся из определителя Д(р) при вычеркивании столбцов, которые относятся соответственно к координа­ те Х{, и той строки, которая соответствует пра­ вой части уравнения.

Частотная амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) системы W(ja) получается из передаточной функции W(р) путем формальной замены р на / (со) [14]. Модуль АФХ на­ зывается амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Аналитическое определение передаточных функций и частот­ ных характеристик для систем высокого порядка сложно, и поэтому частотные характеристики определяли с помощью ЭЦВМ М-220М.

28

На рис. 11 показаны АЧХ трехмассовой динамической мо­ дели, полученные расчетом на ЭЦВМ. Характер полученных АЧХ показывает возможность упрощения модели. Для боль­ шинства одноковшовых экскаваторов масса ковша с грун­ том тк много меньше масс приводов механизма подъема

Рис. 11. Амплитудно-частотные харак­ теристики:

а — механизма подъема; б— механизма напора

(отп) и напора (та). Поэтому возможен переход к одномас­ совой двухсвязной модели (рис. 12). В этом случае модель описывается системой: