книги из ГПНТБ / Развертки поверхностей лекции для студентов специальностей 0516, 0519, 0558, 0902, 0901, 0903, 0812, 1719, 1720, 0833

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

СИБИРСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Лекции для студентов специальностей 0516, 0519, 0558, 0902, 0901, 0903, 0812, 1719, 1720, 0833

Красноярск, 1974

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Построение разверток поверхностей имеет большое прак­ тическое значение при конструировании различных изделий из листового материала. К таким изделиям относятся много­

либо тела. Площадь развертки равна площади поверхности. Длина линии на развертке равна длине соответствующей линии на поверхности. Поверхность и ее развертка кон­ формны.

Теоретическая развертка не учитывает толщины поверх­ ности. Производственные развертки значительно отличаются от теоретических. Выполняя чертеж производственной раз­ вертки, принимают во внимание толщину листового материа­ ла и технологию изготовления изделия.

Если поверхность совмещается с плоскостью без складок и .разрывов, то она называется развертывающейся. Все мно­ гогранные поверхности принадлежат к типу развертываю­ щихся.

Из кривых поверхностей к числу развертывающихся от­ носятся только те линейчатые поверхности, у которых каса­ тельная плоскость касается поверхности во всех точках ее прямолинейной образующей.

К числу развертывающихся линейчатых поверхностей относятся цилиндрические, конические и торсы.

Необходимо заметить, что часто приходится изготовлять из листового материала не только развертывающиеся по­ верхности, но и неразвертывающиеся. В этом случае неразвертывающуюся поверхность разбивают на части, которые можно приближенно заменить развертывающимися поверх-

3

костями, а затем строят развертки этих частей. Более под­ робно это будет показано дальше на примерах.

Развертки многогранных поверхностей

1.Развертка поверхности многогранника представляет собой плоскую фигуру, которая составлена из граней поверх­ ности, совмещенных с. одной плоскостью последовательным вращением около ребер. При этом все грани на развертке изображаются в натуральную величину, а потому ее построе­ ние сводится к определению натуральных величин отдельных граней поверхностей, которые можно определить способом вращения или замены плоскостей проекций. Последователь­ ность в расположении граней на развертке может быть раз­ лична. Из этого следует, что ее нужно делать такой, чтобы лучше использовать площадь листа, на котором вычерчива­ ется развертка.

2.Рассмотрим построение разверток многогранных по­ верхностей на нескольких примерах.

ния и размер бокового ребра. Боковые грани в данном слу­ чае являются прямоугольниками, одна сторона которого рав­

Рис. !

4

(рис. 2). Основание призмы выявлено в натуральную вели­ чину как фигура, расположенная в плоскости П\. Боковые ребра являются отрезками прямых общего положения. Для определения их натуральной величины воспользуемся мето­ лом замены плоскостей проекций. Заменим плоскость плоскостью П4, на которую боковые ребра спроецируются без искажения. Для. получения боковой развертки призмы применим способ раскатки: призму будем повертывать по­ очередно вокруг каждого из ее боковых ребер до тех пор. пока каждая ее грань не совместится с плоскостью П4. При этом вершины будут описывать траектории в плоскостях, перпендикулярных ребрам. Следовательно, проекции вершин будут перемещаться по прямым, перпендикулярным к проек­ ции ребер.

План построений

1.Проецируем данную призму на плоскость Я4, распо

ложив ось X U 4 параллельно горизонтальным проекциям ре­ бер.

2. Проводим из точек А4, В4, С4, Д а, Е4, Fa вспомогатель­

Aa, F4, делаем засечки, получаем точки А0 и Fo• Соединяем точки В4 с А0 с Fo н F0 с Д 4 отрезками прямых, получаем параллелограмм, равный по форме и размерам грани АВДЕ призмы.

4.Аналогично пристраиваем грани ACEF и СВДЕ, полу­ чаем боковую развертку.

5.Пристраиваем к соответствующим граням развертки основания АВС и ДЕР, как треугольники по данным сторо­ нам, получаем полную развертку поверхности призмы по ее проекциям.

П р и м е р 3. Построить развертку поверхности усеченной призмы (рис. 3).

А»

В данном случае необходимые для построения развертки натуральные размеры боковых ребер, сторон оснований, час­ тей рассеченных ребер и фигуры сечения выявлены на соот­ ветствующих проекциях и не требуют дополнительных по­ строений.

6

Сначала строят развертку боковой поверхности призмы. Затем на соответствующих боковых ребрах откладывают размеры проекций нижних частей ребер Д 2 А2, Е2 В2, F2 С2.

Соединяют последовательно прямыми точки Д 0, Ео, Fо и До, получают ломаную линию, по которой плоскость рассе­ кает призму на две части.

Для получения развертки поверхности усеченной призмы к соответствующим сторонам боковых граней пристраивают нижнее основание и фигуру сечения, их натуральные вели­ чины, выраженные треугольниками, каждый из которых при­ страивается как треугольник по трем сторонам.

П р и м е р 4. По данным проекциям неправильной четы­ рехугольной пирамиды построить развертку ее поверхности.

Для построения развертки правильной пирамиды доста­ точно знать размер стороны основания и размер бокового ребра, так как в этом случае боковые грани являются равно­ бедренными треугольниками (рис. 4).

Р и с. 4

На (рис. 5) дана развертка неправильной пирамиды.

В данном случае основание пирамиды АВСД выявлено в натуральную величину на плоскости Пь Остается опреде­ лить натуральную величину попарно равных боковых ребер. Это лучше всего осуществить способом вращения.

7

построения выбираем проходящей через вершину S и пер­ пендикулярно Пи зная, что /4S — MS и BS — CS, определяем <4S и SM, т. е. находим натуральные величины.

Вращаем SC до положения, параллельного плоскости про­

екции Я2 вокруг оси i, получим S.C, и SsC2; S2C2 = SC, т. е. натуральная величина.

Затем вращаем SM до положения, параллельного пл. Яг —

зуясь натуральными величинами сторон основания и боко­ вых ребер, построим боковую развертку.

3. Пристраиваем основание АВСМ стороной ВС к сторо­ не боковой грани ВС, предварительно разбив четырехуголь­ ник АВСМ на два треугольника АВМ и МВС, т. е. пристро­ им основание АВСМ способом треугольников (триангуля­ ция), получаем полную развертку поверхности пирамиды.

Построить развертку поверхности усеченной пирамиды

(рис. 6 ).

8

В данном случае на проекциях выявлены в натуральную величину только основание и фигура сечения. Необходимо определить.натуральную длину ребра (ребра данной пира­ миды равны), и частей рассеченных ребер пирамиды. Нату­ ральную величину ребра и рассеченные части можно , найти любым из известных способов. В данном случае ребро нахо­ дится способом вращения вокруг оси, . перпендикулярной плоскости Я, проходящей через вершину S. В новом поло­

жении ребро будет иметь проекции SiEi и S2E2, где S2E2 — натуральная величина, ребра пирамиды.

Натуральные величины отсеченных отрезков могут быть

все найдены на S2E2 , т. к. вращаясь вокруг оси i на фрон­ тальной плоскости проекции т. Л2, В2, С2, Д2 перемещаются по прямым параллельным оси X. Таким образом, получим

точки А2, Во. С2, Д 2 и величины нижних частей ребер — /, /•,

h , / 3 .

Теперь строим развертку поверхности неусеченной пира­ миды— фигуру, состоящую: а) из четырех равнобедренных треугольников, основания которых равны стороне основания пирамиды, а боковые стороны — натуральной величине реб­ ра; б) из квадрата. — основания.

9