Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Ф едеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Инженерная школа природных ресурсов
Направление подготовки 18.03.01 «Химическая технология»
Профиль «Химическая технология подготовки и переработки нефти и газа»
ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №3
Название работы |
Моделирование химической реакции в зерне катализатора полидисперсной структуры |
Вариант |
Вариант 8 |
По дисциплине |
Макрокинетика химических процессов и расчет реакторов |
Студент
Группа |
ФИО |
Подпись |
Дата |
2Д6В |
Коробер С.А. |
|
|
Руководитель
Должность |
ФИО |
Ученая степень, звание |
Подпись |
Дата |
Доцент |
Юрьев Е.М. |
к.т.н. |
|
|
Томск – 2020 г.
Цель работы:
1. Ознакомиться с методикой построения математических моделей процессов, протекающих в зерне катализатора полидисперсной структуры.
2. Ознакомиться с методами решения дифференциальных уравнений второго порядка, методом факторизации (прогонки). Разработать программу расчета.
3. Исследовать изменение концентрации реагирующих веществ в зерне катализатора полидисперсной структуры при протекании химической реакции.
Теоретическая часть Решение дифференциальных уравнений методом факторизации (прогонки)
В зерне катализатора полидисперсной структуры происходят перенос вещества в макро- и микропорах и химическая реакция первого порядка. Модель зерна катализатора для стационарного режима описывается уравнением:
, |
(1) |
где х – концентрация вещества, мольн. доли;l – длина поры, м;u – линейная скорость потока, м/с; DL – коэффициент диффузии, м2/с;k – константа скорости химической реакции, с-1.
Граничные условия:
приZ=0
|
(2) |
при Z=H
. |
|
Разобьем ось l от 0 до H на N узлов.
Представим дифференциальное уравнение второго порядка (1) в конечно-разностном виде:
,
где – шаг по длине поры.
Тогда дифференциальное уравнение (1) в i-м узле можно представить в виде:
|
(3) |
0 |
(4) |
или
при , |
(5) |
где ai, bi, сi – некоторые коэффициенты.
Значения функции x в двух соседних узлах определяется соотношением:
при , |
(6) |
где – прогоночные коэффициенты.
Запишем соотношение (6) для (i-1)-го узла
|
(7) |
и подставим в уравнение (5).
После приведения подобных членов получим
. |
(8) |
Примем значение функции fi = 0.
Тогда, сравнивая уравнения (6) и (8), получим следующие рекуррентные соотношения для прогоночных коэффициентов и :
|
(9) |
|
(10) |
Для расчета прогоночных коэффициентов необходимо оценить их значение в нулевом узле:
при , |
(11) |
x0=xвх,
или в разностном виде:
при . |
(12) |
Отсюда
|
(13) |
Запишем соотношение (7) для первого узла (i=1):
. |
(14) |
Сравнивая (13) и (14), получим:
; |
(15) |
|
(16) |
Таким образом, используя соотношения (9), (10), (15) и (16), рассчитываются значения прогоночных коэффициентов во всех узлах, начиная с первого (прямая прогонка). Далее, прежде чем найти значение искомой функции x в выделенных узлах по уравнению (7), следует определить xN+1. Для этого используем второе граничное условие:
при . |
(17) |
Или в разностном виде
при . |
(18) |
Отсюда
. |
(19) |
Тогда из уравнения (6) для N-го узла:
|
(20) |
Из уравнений (19) и (20) следует
. |
(21) |
Последовательно подставляя значенияx в уравнение (7), найдем значение искомой функции во всех узлах.
Из изложенного вытекает следующий алгоритм решения уравнений диффузионной модели:
1. Задают число узлов разбиенияN.
2. Рассчитывают l,ai, bi, Ci, при (1iN).
3. Рассчитывают значения прогоночных коэффициентов 0 и 0 (15), (16).
4. Определяют прогоночные коэффициенты i и i при (iN) по уравнениям (9), (10) (прямая прогонка).
5. Рассчитывают значения функции в (N+1)-м узле (21).
6. Определяют значения искомой функции xi (1iN) в узлах разбиения по уравнению (7).
Достаточным условием сходимости решения в методе прогонки является следующее соотношение между коэффициентами:
при (1iN).