vibration / Механические колебания

40. .

Указание: Если центр доски совпадает с серединой расстояния между центрами цилиндров, то силы давления доски на цилиндры будут разные, а, значит, разными будут и силы трения, действующие на доску со стороны цилиндров. Если связать ускорение доски с величиной смещения центра доски от средней точки, то получится уравнение гармонических колебаний.

41. Уменьшится.

42. .

43. .

44. .

45. .

Указание: После падения шарика возникнут колебания, амплитуду которых найдем из закона сохранения энергии:

,

где – скорость чашки сразу после прилипания шарика; – величина смещения положения равновесия чашки, связанная с увеличением ее массы. Искомая высота равна .

46. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) .

Указание: в) Если мы отпустим груз вниз на величину x относительно положения равновесия, то пружина растянется на величину . При этом возвращающая сила, действующая на груз, будет равна: .

д) Если мы опустим груз вниз на величину x относительно положения равновесия, то верхняя пружина растянется на x₁, а нижняя – на x₂. Причем x – x₂ = 2x₁. Кроме того: 2kx₂ = kx₁. Возвращающая сила, действующая на груз, равна: kx₂.

47. .

48. .

49. Колебания гармонические; A = 5 см.

50. .

51. .

Указание: Если , то .

52. .

Указание: Если , то .

53. .

54. .

55. см; м/с.

56. .

Указание: Период колебаний математического маятника равен: , где – эффективное ускорение свободного падения, то есть ускорение, с которым начнет двигаться тело, если ему предоставить возможность свободно двигаться. В системе отсчета неподвижного бруска , а в системе отсчета движущегося бруска , где .

57. .

58. .

59. .

Указание: При отклонении шарика на малый угол  на него действует возвращающая сила: , где .

60. .

Указание: Центр масс системы неподвижен. Колебания системы можно представить как колебания груза m₁ на пружине длиной , или колебания груза m₂ на пружине длиной , где l – полная длина пружины. Из закона Гука: получается – жесткость части пружины длиной .

61. .

Указание: Так как трения нет, то центр масс системы находится на одной вертикали. А, значит, колебания маятника происходят на нити длиной l₁, равной расстоянию от центра масс системы до груза m.

62. .

63. .

Указание: В системе отсчета скатывающейся тележки «эффективное» ускорение свободного падения равно .

64. .

Указание: Периоды колебаний маятника часов: – неподвижных часов; – на участке равноускоренного подъема; – на участке равнозамедленного подъема. За время подъема до высоты h часы ушли вперед на , а за время подъема от высоты h до высоты H они отстали на ту же , где t₁ и t₂ – времена равноускоренного и равнозамедленного движения.

65. .

Указание: При отклонении системы на малый угол  от вертикали второй закон Ньютона можно записать в виде: , где – удлинение пружины.

66. .

Указание: Колебания такого маятника аналогичны колебаниям маятника на наклонной плоскости.

67. .

Указание: Через две неподвижные точки A и C проходит ось вращения системы.

68. .

Указание: Уравнение движение системы: , где – момент инерции; – возвращающий момент сил при малых углах отклонения .

69. .

70. .

Указание: Период колебаний груза во втором случае равен: , где – жесткость получившихся пружин, k – жесткость исходной пружины.

71. .

Указание: Так как нить AB все время вертикальна, то центр масс системы должен находиться на одной вертикали.

72. Траекторией будет окружность; .

7

Рис.

3. Траекторией является окружность радиусом A; .

74. – уравнение эллипса; – уравнение прямой. Графики v(x) и a(x) приведены на рисунке.

75. – парабола.

76. Увеличится.

77. .

78. Часы начнут спешить.

79. .

80. .

Указание: По закону сохранения энергии: , где l – расстояние от оси вращения до центра масс. При малых колебаниях уравнение движения: , где – возвращающий момент сил.

81. .

Указание: При малых колебаниях твердого тела уравнение движения записывается в виде: , где m – масса тела, l – расстояние от центра масс тела до оси вращения. Значит, частота колебаний определяется: . После соединения тел их масса будет равна m₁ + m₂, момент инерции – J₁ + J₂, а расстояние от общего центра масс до оси вращения – .

82. .

Указание: Определить зависимость частоты колебаний от x () и приравнять первую производную этой функции к нулю.

83. .

84. .

Указание: Уравнение движения цилиндра:

,

где – сила упругости.

85. .

Указание: Если отклонить цилиндр на малый угол  от положения равновесия, то его потенциальная энергия будет равна:

(при малых углах ). Кинетическая энергия цилиндра при прохождении положения равновесия равна:

.

Но для гармонических колебаний: , где – амплитуда скорости; A – амплитуда отклонения; _о – циклическая частота колебаний.

В данном случае: . Кроме того, по закону сохранения энергии: .

86. .

Указание: Воспользоваться методом, предложенным в предыдущей задаче.

87. .

Указание: Уравнение движение поезда при въезде на гору:

,

где l – длина части поезда, находящегося на склоне. Уравнение: совпадает с уравнением гармонических колебаний с частотой .

88. .

Указание: Смотри указание к задаче 87.

89. .

Указание: Для малых отклонений: (см. указание к задаче 51), а для груза на пружине: .

90. Невозможны.

Указание: При отклонении груза на малую величину x от положения равновесия, ускорение груза оказывается пропорциональным x³.