Лаба3
.docxМИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский технический университет связи и информатики»
Кафедра «Информатика»
Лабораторная работа №4
«Минимизация логических выражений»
по дисциплине
«Математическая логика и теория алгоритмов»
Выполнил: студент гр. БСТ2106
Вариант №3
Проверил: Семин В.Г.
Москва, 2022 г.
Задание №1: Написать минимальное выражение для заданной таблицы истинности и нарисовать по нему логическую схему.
I(3:0) |
F |
||||
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
Решение задания №1:
*
Чтобы написать минимальное выражение данной функции, используем способ под названием «Карты Карно».
Карта Карно - это специального вида таблица, которая позволяет упростить процесс поиска минимальных форм и успешно применяется, когда число переменных не превосходит шести. Карты Карно для функций, зависящих от n переменных, представляет собой прямоугольник, разделенный на 2n клеток. Каждой клетке диаграммы ставится в соответствие двоичный n-мерный набор.
Ниже приведена разметка карты Карно для n=4 переменных (I3, I2, I1, I0).
I3 I2 |
I1 I0 |
||||
|
00 |
01 |
11 |
10 |
|
00 |
0000 |
0001 |
0011 |
0010 |
|
01 |
0100 |
0101 |
0111 |
0110 |
|
11 |
1100 |
1101 |
1111 |
1110 |
|
10 |
1000 |
1001 |
1011 |
1010 |
|
I3 I2 |
I1 I0 |
||||
|
00 |
01 |
11 |
10 |
|
00 |
1 |
|
0 |
0 |
|
01 |
0 |
|
0 |
|
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
10 |
0 |
0 |
|
1 |
|
1
1
1
1
Для построения минимальной ДНФ производится процедура склеивания "1". Склеивающимся значениям "1" соответствуют соседние клетки, т.е. клетки отличающиеся лишь значением одной переменной.
Процесс склеивания "1" сводится к объединению в группы единичных клеток карты Карно, при этом необходимо выполнять следующие правила:
1. Количество клеток, входящих в одну группу, должно выражаться числом кратным 2, т.е. 2m где m=0,1,2,...
2. Каждая клетка, входящая в группу из 2m клеток, должна иметь m соседних в группе.
3. Каждая клетка должна входить хотя бы в одну группу.
4. В каждую группу должно входить максимальное число клеток, т.е. ни одна группа не должна содержаться в другой группе.
5. Число групп должно быть минимальным
Считывание функции f по группе склеивания производится следующим образом: переменные, которые сохраняют одинаковые значения в клетках группы склеивания, входят в конъюнкцию, причем значениям 1 соответствуют сами переменные, а значениям 0 их отрицания.
Первый
контур охватывает две единицы, ему
соответствует сумма минтермов:
*
,
в которой не изменяется только переменная
:
*
.
Второй контур охватывает две единицы.
Ему соответствует сумма минтермов
,
в которой не изменяется только переменная
.
Третий контур охватывает одну единицу,
ему соответствует сумма минтермов:
,
которую минимизировать невозможно.
Четвертый контур охватывает две единицы,
сумма минтермов:
,
в которой не изменяется только переменная
.
Таким образом. Получаем минимизированное
выражение:
*
Построим логическую схему:
I3
I2 I1
I0
1
&
&
&
&
F
Рисунок 2 - Логическая схема задания №1
Задание №2: Для заданного логического выражения написать каноническую сумму минтермов и нарисовать минимальную логическую схему.
Указание: логическое выражение записывается по следующему принципу. Знаку "+" в строке варианта соответствует указанное в шапке таблицы полное логическое произведение. В это произведение переменные входят в инверсном или прямом виде в соответствии с указанным кодом. Например для варианта 1 первому в этой строке знаку "+" соответствует 0 для кода ab cd , поэтому первым слагаемым в логическом выражении является произведение всех переменных, взятых с инверсией, так как код нуля в четырехразрядном формате записывается как 0000 и т.д.
Код abcd |
|||||||||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
- |
- |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
+ |
- |
- |
- |
- |
Код bcd |
Код abd |
Код ab |
|||||||||||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
- |
- |
- |
+ |
- |
- |
- |
- |
+ |
- |
- |
- |
- |
+ |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
Код bc |
Код abc |
Код acd |
||||||||||||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
- |
- |
- |
- |
- |
- |
+ |
- |
- |
+ |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
+ |
- |
- |
+ |
|
Каноническая сумма минтермов - это логическая сумма всех минтермов, которая представляет собой максимальное логическое выражение, соответствующее таблице истинности. Она составляется в следующей последовательности:
1. В заданной таблице истинности подсчитывается n - количество строк таблицы, в которой значение функции равно 1.
2. Затем записывается логическая сумма n полных произведений.
3. Далее в каждом произведении расставляются инверсии над переменными в соответствии с их значением в строке таблицы.
Чтобы для выражения нарисовать минимальную логическую схему, необходимо минимизировать функцию через Карты Карно.
Но для этого построим таблицу истинности по канонической сумме минтермов, полученной выше.
-
a
b
c
d
F
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
Теперь минимизируем через Карты Карно:
a, b |
c, d |
||||
|
00 |
01 |
11 |
10 |
|
00 |
0000 |
0001 |
0011 |
0010 |
|
01 |
0100 |
0101 |
0111 |
0110 |
|
11 |
1100 |
1101 |
1111 |
1110 |
|
10 |
1000 |
1001 |
1011 |
1010 |
|
a, b |
c, d |
||||
|
|
01 |
11 |
10 |
|
00 |
|
0 |
1 |
1 |
|
01 |
1 |
1 |
0 |
|
|
11 |
1 |
0 |
|
0 |
|
10 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
00
1
1
0
В результате получаем минимизированную функцию:
Схема по минимизированной функции:
1
&
&
&
&
&
f
Рисунок 2 – Логическая схема задания №2
Задание №3:
Минимизировать заданную логическую схему и написать соответствующую каноническую сумму минтермов.
Решение задания №3:
Каноническая сумма минтермов:
Минимизация по карте Карно:
a, b |
c, d |
||||
|
00 |
01 |
11 |
10 |
|
00 |
0000 |
0001 |
0011 |
0010 |
|
01 |
0100 |
0101 |
0111 |
0110 |
|
11 |
1100 |
1101 |
1111 |
1110 |
|
10 |
1000 |
1001 |
1011 |
1010 |
|
a, b |
c, d |
||||
|
00 |
|
11 |
10 |
|
00 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
01 |
1 |
|
0 |
0 |
|
11 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
10 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
01
1
Минимизированная функция:
Минимизированная логическая схема представлена на рисунке:
1
&
&
&
&
f