Приведенные выше уравнения представляют собой дифференциальную форму записи второго начала термодинамики. Интегральная форма первого начала термодинамики позволяет определить увеличение внутренней энергии газа:
V2
Q = U2 − U1 + ∫pdV; U = Q − A = + 264Дж;
V1
А11. Дано изображение трёх пар одинаковых шариков, заряды которых равны по модулю. Шарики подвешены на тонких нитях. В каких случаях заряд другого шарика положителен?
Решение
1. В 1785 г. Кулон сформулировал закон взаимодействия точечных зарядов: Сила взаимодействия F двух точечных зарядов в вакууме или сухом воздухе направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, пропорциональна произведению модулей этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между взаимодействующими зарядами
F = k q1q2 , |
|
r2 |
|
1,2 |
|
где k − численный размерный коэффи- |
|
циент, величина которого зависит от |
Взаимодействие точечных зарядов |
системы выбранных единиц, так, напри- |
мер в системе СИ
k = 4πεε1 0 9 109 НКлм2 2 ,
здесь, ε − диэлектрическая проницаемость среды, характеризующая ослабления электрического поля вследствие рассеяние энергии в структурных элементах среды, ε0 8,85 10 − 12 Кл2/Н м2 − электрическая постоянная, которая не имеет физического смысла и предназначена для совмещения электрических единиц с основными единицами интернациональной системы.
2. Таким образом, закон Кулона для вакуума или сухого воздуха в системе СИ представится в векторной форме следующим образом
F = |
1 |
|
|
q1 |
|
q2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r . |
4πεε |
|
|
r3 |
|
|
0 |
|
1,2 |
|
|
1,2 |
|
|
3. Было установлено, что разноимённые заряды притягиваются, а одноимённые − отталкиваются, т.о. положительным может быть только заряд в случае Б.
А12. По проводнику течёт постоянный электрический ток. Величина заряда протекающего по проводнику линейно зависит от времени. Определить силу тока в проводнике.
Решение
1. Проводники являются таковыми по причине наличия в них большого числа носителей заряда, способных относительно легко перемещаться в пределах рассматриваемого образца. Металлы, как правило, являются хорошими проводниками тепла и электрического тока именно благодаря свободным электронам.
|
2. Если металлический проводник по- |
|
местить в однородное электрическое поле |
|
напряжённостью E , то на каждый свобод- |
|
ный электрон (e 1,6 10 − 19 Кл, me 1 10 − 30 |
|
кг), в классическом представлении, будет |
|
действовать элементарная сила Кулона. Как |
|
и всякий материальный объект, электрон |
Направленное движение носителей |
начнёт двигаться в направлении, противо- |
электрического заряда |
положном направлению вектора напряжён- |
ности поля (элементарный заряд электрона принято считать отрицательным). 3. Если бы в распоряжении исследователей был маленький человечек, то он
бы обнаружил, что через сечение проводника S, за которым он приставлен наблюдать, в одном направлении движутся электроны, что собственно и означает возникновение электрического тока.
|
4. Направлением тока условились считать |
|
направление движения положительных зарядов. |
|
Таким образом, электрический ток есть направ- |
|
ленное движение носителей зарядов. В металлах |
|
направление тока принимается противополож- |
Трубка тока |
ным движению электронов проводимости. Ли- |
|
нии, вдоль которых перемещаются носители за- |
ряда, по аналогии с гидромеханикой называются линиями тока. Совокупность линий тока образует трубку тока, которая позволяет качественно и количественно охарактеризовать направленное движение носителей заряда. Движущиеся в электрическом поле носители не пересекают поверхность трубки тока. Поверхность проводника, расположенного в диэлектрической среде представляет собой трубку тока.
5. Выделим в проводнике физически малый объём, внутри которого направленно движутся со средней скоростью ur носители заряда. В металлах электроны, будучи свободными частицами, в соответствие с законами термодинамики находятся в состоянии непрерывного хаотического теплового дви-
Элементарный объём проводника жения, |
причём средняя скорость < v > тепло- |
вого движения определяется как |
< v >= |
3kBT , |
|
me |
где kB 1,4 10 − 23 Дж/К − постоянная Больцмана, Т − абсолютная температура, me − масса электрона. В отличие от спонтанно направленной скорости теплового движения скорость под действием силы Кулона u будет направленной, её
называют средней дрейфовой скоростью. Пусть в рассматриваемом металлическом проводнике в единице его объёма содержится n электронов. Выделим далее элементарную площадку dS, перпендикулярную вектору дрейфовой скорости, являющуюся основанием цилиндра с высотой udt. Все носители заряда, содержащиеся внутри этого цилиндра, через площадку dS за время dt перенесут заряд
dq = n e u dS dt .
6. Пронормируем уравнение относительно площади и времени dSdtdq = j = neu ,
где j − плотность тока, т.е. сила тока i = dq/dt, отнесённая к площади. Плотность тока величина векторная, что определяется направленными свойствами дрейфовой скорости
j = neur .
7. Модуль плотности тока определяет величину заряда, переносимого электрическим полем в единицу времени через единицу площади. Направление
вектора j совпадает с направлением дрейфовой скорости носителей заряда.
Если в процессе участвуют несколько типов носителей заряда, например положительные и отрицательные ионы, то вектор плотности тока определяется в виде суммы
rj = ∑i=n nieiuri .
i=1
8. Используя понятие плотности тока, заряд, переносимый через площадку dS можно определить следующим образом
dq = jdSdt ,
а «мгновенную» силу тока, как |
dq |
Кл |
|
|
i = |
|
, |
dt |
, |
с |
= А |
|
|
|
|
9. Применительно к данной задаче последнее уравнение ввиду линейной зависимости заряда от времени, можно переписать так6
t |
q |
q |
|
8 |
|
∫2 idt = ∫2 dq; I = |
≈ |
≈ 4A; |
t1 |
q1 |
t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А13. По двум тонким прямым проводникам, параллельным друг другу, текут одинаковые тока силой I в одном направлении. Как будет направлен вектор магнитной индукции в точке D?
Решение
14. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора. Контур генерирует гармонические колебания с периодом Т = 5 мкс. В начальный момент времени заряд конденсатора максимален qm = 4 10 − 6 Кл. Каким станет заряд через время τ = 2,5 мкс?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Изменение заряда, судя по начально- |
|
|
|
|
|
му значению, протекает по закону косину- |
|
|
|
|
|
са: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(t) = q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
cos |
T |
t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π T |
2. В заданный момент времени τ = Т/2 |
q(τ) = q |
|
|
= q |
|
cos π = −q |
|
; |
|
q |
|
|
= q |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
cos |
|
|
|
m |
m |
|
τ |
|
m |
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А15. Луч света падает на плоское зеркало. Угол падения α = 200. Чему равен угол между падающим и отражённым лучом?
Решение
1. В соответствии с законом отражения света, угол падения равен углу отражения, поэтому, если на зеркало упал луч света под углом α = 200, то он отразится от поверхности зеркала под таким же углом, в этом случае угол между падающим и отражённым лучом будет составлять двойной угол падения т.е. 2α = 400..
А16. Параллельный пучок монохроматического света падает на препятствие с узкой щелью. На экране за щелью кроме центральной светлой полосы наблюдается чередование светлых и тёмных полос. Данное явление связано с:
1.Поляризацией света;
2.Дифракцией света
3.Дисперсией света;
4.Преломлением света?
Решение
Дифракция света на щели
А17. Как нужно изменить длину световой волны, чтобы энергия фотона в световом пучке увеличилась в 4 раза?
Решение
εf = |
hc |
; |
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
λx = |
; |
|
|
hc |
|
4 |
4εf = |
|
|
|
|
λ |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А18. Между источником радиоактивного излучения и детектором помещён свой картона толщиной d = 2 мм. Какое излучение α, β или γ может пройти через картон?
Решение
|
1. β − излучение представляет собой по- |
|
|
ток электронов, ввиду малости массы элек- |
|
|
трона me 1 10 − 30 кг их проникающая спо- |
|
|
собность самая маленькая, задерживаются |
|
|
листом писчей бумаги. |
|
|
2. α − излучение является потоком α − |
|
|
частиц, представляющих собой ядра гелия их |
|
|
масса много больше массы электронов, по- |
|
|
этому и проникающая способность выше. |
|
|
3. γ − излучение представляет собой элек- |
Проникающая способность |
|
тромагнитные волны с сверхмалыми длина- |
|
|
ми, порядка λ < 5·10 − 11 м, γ − излучение, являющееся потоком высокоэнергетичных фотонов, обладает огромной проникающей способностью.
А19. Дан график зависимости числа не распавшихся ядер полония 21384 Po от времени. Каков период полураспада этого изотопа?
Решение
1. Закон радиоактивного распада описывается дифференциальным уравнением:
dNdt = −λN,
где N − число ядер, λ − постоянная распада данного изотопа.
2. Решение дифференциального уравнения: N(t) = N0e−λt ,
где N0 − исходное число ядер изотопа. Таким образом, с течение времени число не распавшихся ядер уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону.
3. Время в течение которого распадается половина ядер изотопа полония Nx ≈ 2,5 1020
называется периодом полураспада, который в данном случае Т = 4 мкс.
А20. На фотографии приведены два термометра, используемые для определения относительной влажности воздуха с помощью психометрической таблицы, влажность в которой указана в процентах.
Каковы будут показания правого термометра при влажности 68%?
Решение
tx ≈ 18 0C.
А21. Некто, не обременённый глубокими представлениями о физической сущности пространства, предположил, масса всех сплошных тел зависит исключительно от объёма. Для проверки своего озарения были взяты бруски разного размера, выполненные из различных материалов. Результаты были обобщены на координатной плоскости {V,m}. Погрешность измерения объёма и массы соответственно 1 см3, 1 г. Какой вывод
можно сделать по результатам измерений:
1.С учётом погрешности измерений результаты подтвердили предпо-
ложение;
2.Условия эксперимента не соответствуют гипотезе;
3.Погрешности измерений не позволяют установить истинность;
4.Эксперимент не подтвердил гипотезу?
Решение
1. Гипотеза является абсурдной, потому что: m = ρV,
где ρ − плотность вещества, т.е. масса единицы объёма данного вещества. Измерения необходимо было проводить с брусками различного объёма, но выполненными из одного и того же вещества, например из дерева. В этом случае по зависимости m =f(V) можно было установить плотность вещества.
Часть 2
В1. В первой серии опытов исследовались малые колебания груза на нити некоторой длины. Затем тот же груз подвесили на нити большей длины. Максимальные углы отклонения от вертикали в опытах одинаковы.
Как при переходе от первой серии опытов ко второй изменились: период колебаний, их частота и максимальная кинетическая энергия груза:
1.Увеличилась;
2.Уменьшилась;
3.Не изменилась?
Решение
1. Считая маятник математическим, для периода и частоты качания можно записать уравнения:
T = 2π
gl; ν = T1 = 21π 
gl ,
из которых следует, что при увеличении длины нити подвеса период качаний математического маятника увеличивается, а частота − уменьшается.
2. Максимальное значение кинетической энергии груза маятника в момент прохождения им положения равновесия:
|
mgh = |
mvmax2 |
; |
mgl(1 |
−cosαmax )= |
mvmax2 |
|
; vmax = 2gl(1− cosα); |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Период колебаний |
|
Частота колебаний |
|
Максимальная кинетическая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
энергия груза |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В2. Как изменяются при α-распаде следующие характеристики атомного ядра: массовое число, заряд ядра, число протонов в ядре:
1.Увеличилась;
2.Уменьшилась;
3.Не изменилась?
Решение
1. При α-распаде материнского ядра происходит испускание дважды ионизированного ядра гелия:
|
|
A X→A−4 Y+4 He; |
|
|
|
Z |
Z−2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Массовое число |
Заряд ядра |
|
Число протонов в ядре |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В3. Исследуется электрическая цепь. Определить формулы, которые можно использовать для расчетов показаний идеального амперметра и идеального вольтметра.
Каждой позиции первого столбца необходимо подобрать соответствующую позицию второго столбца.
167
Решение
1. Показания амперметра (сила тока в параллельной замкнутой цепи): IA = RЛ +εRP + r ;
2. Показание вольтметра (падение напряжения на лампе накаливания):
|
UV ≡ UЛ = IARЛ = |
|
εRЛ |
; |
|
|
RЛ + RP + r |
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
Б |
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
В4. Исследовались возможные способы наблюдения полного внутреннего отражения. В первом случае узкий пучок света шёл из воздуха в стекло (рис.1), во втором случае − из стекла в воздух (рис. 2). Показатель преломления в обоих случаях равен n.
При каких углах падения можно наблюдать это явление? Каждой позиции первого столбца необходимо подобрать соответствующую позицию второго столбца.
Решение
1. В геометрической оптике явление полного внутреннего отражения объясняется законом Снелла. Учитывая, что угол преломления не может превышать 90°, очевидно, что при угле падения, синус которого больше отношения меньшего показателя преломления к большему показателю, световой луч должен полностью отражаться в первую среду.
2. Полное внутреннее отражение наблюдается при переходе света из среды оптически более плотной в оптически менее плотную среду.
168
А22. Камень массой m1 = 4 кг попадает под углом α = 600 к горизонту со скоростью v = 10 м/с в тележку с песком, покоящуюся на горизонтальных рельсах. Определить импульс тележки с песком с застрявшим в ней камнем.
Решение
1. В соответствии с законом сохранения импульса: m1vcosα = (m1 + m2 )u = pΣ;
pΣ = m1vcos600 = 4 10 0,5 = 20 кгсм;
А23. В сосуде находится идеальный газ. Количество вещества газа постоянно. Как изменится объём газа при его переходе из состояния 1 в состояние 2?
Решение
p1V1 |
= νRT1; |
|
p V T |
|
p |
|
T |
|
|
|
|
1 1 |
= |
1 |
; |
1 |
= 4; |
1 |
=1,5; |
|
p2V2 |
T2 |
p2 |
T2 |
p2V2 = νRT2 ; |
|
|
|
|
|
|
4 |
V1 |
=1,5; |
4V |
=1,5V ; |
V = |
|
4 |
V |
= |
8 V ≈ 2,67V ; |
|
V |
1,5 |
|
|
|
1 |
2 |
2 |
1 |
|
3 |
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А24. Две одинаковые частицы с одинаковыми зарядами и отношением масс m1/m2 = 4 влетели в однородные магнитные поля, векторы магнитной ин-
дукции которых перпендикулярны их скоростям: первая в поле с индукцией В1 ,
вторя − в поле с индукцией В2 . Найти отношение радиусов траекторий частиц
R2/R1, если скорости их одинаковы, а отношение модулей индукций полей В2/В1
= 4.
Решение
1. Условия нахождения частиц на стационарных круговых орбитах определяется равенством модулей сил Лоренца и сил инерции:
qvB2 = |
m2v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
=1; |
|
m v2 |
|
|
|
qvB = |
; |
|
R1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
169
А25. Один из способов измерения постоянной Планка основан на определении максимальной кинетической энергии фотоэлектронов посредствам измерения задерживающего напряжения. В таблице приведены результаты измерения задерживающего напряжения
Определить значение постоянной Планка по результатам этих измерений.
Решение
1. Уравнения внешнего фотоэффекта с учётом результатов измерения задерживающего напряжения:
hν1 |
= A + eU1; |
h(ν2 − ν1 )= e(U2 − U1 ); h = |
e(U |
|
− U ) |
; |
|
|
|
|
2 |
1 |
hν2 = A + eU2 ; |
|
|
|
|
|
ν2 − ν1 |
|
|
h ≈ |
1,6 10−19 (0,9 − 0,4) |
≈ 7,71 10 |
−34 |
Дж с; |
|
|
|
|
|
(6,9 −5,5) 104 |
|
|
|
|
|
С1. В цилиндре, закрытом подвижным поршнем, находится идеальный газ. Приведена диаграмма, иллюстрирующая изменение внутренней энергии газа U в функции передаваемой газу теплоты Q. Описать изменение объёма газа при его переходе из состояния 1 в состояние 2, а затем в состояние 3.
Решение
1. На переходе 1 → 2 газ получает тепло при постоянной температуре, по-
|
тому, что: |
i |
|
|
U = |
νR T; U = 0; T = const; |
|
2 |
|
|
|
2. Уравнение изотермического процесса pV = const,
ввиду подвижности поршня давление можно приближённо считать неизменным, следовательно, объём газа должен увеличиваться.
3. На переходе 2 → 3 внутренняя энергия уменьшается, тепло к газу не подводится, уравнения состояния представятся следующим образом:
pV3 |
= νRT3 |
; |
|
V T |
> T3; V3 = |
T |
, |
pV2 |
|
|
3 |
= |
3 ; T2 |
2 V2 |
= νRT2 ; |
|
V2 |
|
T2 |
|
T3 |
|
т.е. объём на этом переходе продолжает увеличиваться, теперь уже за счёт внутренней энергии газа.
С2. В безветренную погоду самолёт затрачивает на перелёт между городами время τ1 = 6 часов. Если во время перелёта дует боковой ветер, то самолёт затрачивает на перелёт на t = 9 минут больше. Определить скорость ветра, если скорость самолёта в безветренную погоду составляет v = 328 км/ч.
