то нет оснований отвергать гипотезу о равномерном распределении генеральной совокупности.

1.6. Статистическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вектора

Пусть (xi ; yi ) , i = 1, 2, ... , n , – выборка объёмом n из наблюдений двумерного случайного вектора (X ; Y ) . Предварительное представление о двумерной генеральной совокупности можно получить,

изображая элементы выборки точками на плоскости с выбранной декартовой прямоугольной системой координат. Это представление выборки называется диаграммой рассеивания (корреляционным полем).

Распределением двумерной выборки называется распределение двумерного дискретного случайного вектора , принимающего значения (xi ; yi ) , i = 1, 2, ... , n , с вероятностями, равными 1n . Выборочные

числовые характеристики вычисляются как соответствующие числовые характеристики двумерного случайного вектора дискретного типа.

Двумерную выборку большого объёма представляют в виде корреляционной таблицы. С этой целью группируют реализации величин X и Y по интервалам длины D x и D y , а в клетки таблицы записывают

число пар исходной выборки (т.е. частоты) для каждой комбинации интервалов. Эту процедуру можно также выполнить непосредственно по диаграмме рассеивания, нанося на неё сетку горизонтальных и

вертикальных прямых, взятых с постоянными шагами D x и D y . Наблюдения, которые попадают на

верхнюю и правую границы рассматриваемого прямоугольника, относятся соответственно к соседним верхнему и правому прямоугольникам. В дальнейших вычислениях эмпирических числовых характеристик используются середины интервалов и соответствующие частоты.

Для негруппированных данных аналогичные формулы упрощаются и приобретают вид:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Выборочный коэффициент корреляции (как для группированных, так и для негруппированных данных)

определяется по формуле

зависимость между X и Y.

Пример 1.9. Дана двумерная выборка объёмом n = 50 (табл.1.11).

Таблица 1.11

Выборочные данные двумерного случайного вектора

Выполнить предварительную обработку результатов наблюдений, включающую:

1)построение диаграммы рассеивания (корреляционного поля);

2)группировку данных и построение корреляционной таблицы;

3)оценку числовых характеристик для негруппированных и группированных данных.

Решение. 1. Диаграмма рассеивания с нанесённой на неё сеткой горизонтальных и вертикальных прямых ( Dx = D y = 3) представлена на рис.1.11.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

обратной связи между признаками. Необходимо подчеркнуть, что при рассмотрении корреляционной таблицы важно установить расположение основной части частот. Возможны варианты, когда все клетки корреляционной таблицы окажутся заполненными. Однако это обстоятельство ещё не означает, что корреляционная связь между признаками отсутствует.

Проверка гипотезы о наличии корреляции осуществляется следующим образом. Основная гипотеза – отсутствие линейной статистической связи ( H0 : rX , Y = 0 ); альтернативной гипотезой может выступать

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Следовательно, 0,3797 < rX , Y < 0,7494 .

1.7.2. Регрессионный анализ

Зависимость между случайными величинами X и Y называется стохастической, если с изменением одной из них (например, Х) меняется закон распределения другой (Y). В качестве примеров такой зависимости приведём зависимость веса человека (Y) от его роста (Х), предела прочности стали (Y) от её твёрдости (Х) и т.д.

Напомним, что в теории вероятностей стохастическую зависимость

математическим ожиданием

y(x) = M [Y | X = x] ,

которое, как видно из записи, является функцией от независимой переменной х, имеющей смысл возможного значения случайной величины Х. Уравнение y = y(x) называется уравнением регрессии Y на x.

Переменная х называется регрессионной переменной или регрессором. График функции y = y(x)

называется линией или кривой регрессии.

Кривые регрессии обладают следующим свойством: среди всех действительных функций ϕ(x) минимум

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

практике это свойство используется для прогноза Y по Х, если непосредственно наблюдаемой величиной

называемым коэффициентом регрессии Y на x.

В реальных экспериментах, связанных со статистической обработкой опытных данных, условный закон распределения случайной величины Y при X = x обычно заранее неизвестен. В таком случае речь может идти лишь о каком-либо приближении к теоретической кривой регрессии, построенном на основе выборочных данных. Другими словами, задача заключается в подборе подходящей функциональной зависимости, наилучшим образом (в некотором статистическом смысле) приближающей стохастическую зависимость.

Во многих случаях можно считать, что «независимая» переменная Х находится под контролем экспериментатора и может быть измерена с любой заданной точностью, в то время как измеряемые значения

Y как функции от Х (выборочные значения yi при фиксированных значениях xi ) определяются с ошибкой

(содержат шум измерения). Если вид функциональной зависимости зафиксирован, то статистическую модель регрессии можно записать следующим образом:

yi = y(xi ) = j(xi ; a0 , a1 , ... , am ) + e(xi ) ,

где a0 , a1 , ..., am – набор неизвестных параметров, определяющих функциональную зависимость (параметры регрессии); e(xi ) = ei – случайные величины, складывающиеся при каждом фиксированном значении xi из шума измерения и ошибки модели. При исследовании качества построенной модели важно

уметь разделять эти ошибки.

Следует иметь в виду, что наличие шума измерения делает невозможной задачу интерполяции, т.е. график

искомой зависимости не должен проходить через все выборочные точки, а должен проходить таким образом, чтобы «сгладить» шум.

неизвестна), а её выборочная оценка, которая, как будет показано ниже, пропорциональна сумме квадратов отклонений (по оси Оу) кривой регрессии от соответствующих выборочных значений yi , т.е. пропорциональна

величине

k =1

Указанный критерий минимизации суммы квадратов отклонений носит название метода наименьших квадратов (МНК), а полученные в результате решения этой задачи оценки a~0 , a~1 , ..., a~m параметров

называются МНК-оценками.

Как правило, в модели регрессии

yi = j(xi ; a0 , a1 , ... , am ) + ei

случайные величины ei , i = 1, 2, ... , n , независимы в совокупности и одинаково распределены по закону N(0; σ) (физически условие M [ei ] = 0 означает, что систематические ошибки измерений отсутствуют, а

условие D[ei ] = s2 , i = 1, 2, ... , n , означает, что измерения проводятся с одинаковой точностью).

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Регрессионный анализ проводится в три этапа.

На первом этапе по характеру корреляционного поля выдвигают гипотезу о виде функциональной зависимости j(xk ; a0 , a1 , ... , am ) . Довольно часто используют следующее представление функции ϕ :

m

j(xk ; a0 , a1 , ... , am ) = a0 + åak jk (x) ,

k =1

где jk (x) – известные координатные функции. Такая модель регрессии называется линейной по

параметрам. В частном случае, когда jk (x) = xk , модель называется полиномиальной.

На втором этапе по имеющимся выборочным данным осуществляют подгонку модели, т.е. находят МНК-оценки неизвестных параметров регрессии a0 , a1 , ..., am .

На третьем этапе анализируют качество построения модели: проверяются так называемые корректность и адекватность модели. Этот этап осуществляется средствами проверки статистических

корреляционная связь Y от X значима на некотором уровне α . Выдвигается гипотеза о том, что уравнение

прямой регрессии

y(x) = ax + b + ε(x)

должно хорошо аппроксимировать стохастическую зависимость Y от X. Найти МНК-оценки параметров а и b.

Решение. Пусть задан план эксперимента, т.е. совокупность точек x1 , x2 , ... , xn . Выбор этих точек –

отдельная задача, решаемая в рамках теории оптимального планирования эксперимента, и здесь не обсуждается.

Искомые оценки являются решениями следующей задачи минимизации:

Применим классический метод поиска безусловного экстремума дифференцируемой функции ψ(a , b) . Запишем необходимые условия экстремума:

¶y = 0 , ¶ y = 0 .

¶a ¶b

Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных значений а и b: