1.5. Проверка статистических гипотез

Добавил:

lightcharm github.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Теория вероятностей и математическая статистика / Ресурсы / BORDUCSHKIN.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.09.2023

Размер:

602.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

c02,025 (49) = 31,5549 , получим:

4,262 < s2 < 9,485 – для негруппированной выборки;

3,664 < s2 < 8,154 – для группированной выборки.

c2α (n -1)

Задавшись доверительной вероятностью

1− α = 0,95 с учётом c02,975 (49) = 70,2224 ,

Во многих случаях результаты наблюдений используются для проверки гипотез относительно тех или иных свойств распределения генеральной совокупности. Пусть X – наблюдаемая дискретная или непрерывная случайная величина. Статистической гипотезой H называется предположение относительно параметров или вида распределения случайной величины X. Статистическая гипотеза H называется простой, если она однозначно определяет распределение случайной величины X; в противном случае гипотеза H называется сложной. Например, гипотеза о том, что X ~ N(0;1) – простая, а гипотеза о том, что X ~ N(m;1) , где m [0; 3] , – сложная.

Если распределение случайной величины X известно и по выборке наблюдений необходимо проверить предположения о значении параметров этого распределения, то такие гипотезы называются параметрическими. Если же по выборке наблюдений необходимо проверить гипотезу о том, что она

извлечена из генеральной совокупности X с функцией распределения FX (x) , то такие гипотезы называются гипотезами о законе распределения. В математической статистике проверяемую гипотезу называют нулевой гипотезой и обозначают H0 . Наряду с гипотезой H0 рассматривают одну из альтернативных (конкурирующих) гипотез H1 . Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметра θ некоторому заданному значению q0 , т.е. H0 : q = q0 , то в качестве альтернативной гипотезы можно рассматривать одну из следующих гипотез:

H1(1) : q ¹ q0 ; H1(2) : q > q0 ; H1(3) : q < q0 ; H1(4) : q = q1 , где q1 ¹ q0 .

Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретными условиями задачи.

Практическое применение математической статистики состоит в проверке фактического соответствия реальных результатов экспериментов предполагаемой гипотезе H0 . С этой целью выбирается правило

проверки гипотезы, называемое критерием, позволяющее по результатам наблюдений принимать или отвергать данную гипотезу. Поскольку решение принимается на основе выборки наблюдений случайной величины X, то необходимо выбрать подходящую статистику Z критерия. При проверке простой параметрической гипотезы H0 : q = q0 в качестве статистики критерия обычно выбирают ту же статистику,

что и для оценки параметра θ , т.е. q .

Проверка статистической гипотезы основывается на принципе, в соответствии с которым маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считаются достоверными. Этот принцип реализуется следующим образом. Перед анализом выборки фиксируется


некоторая малая вероятность α ,		называемая уровнем значимости. Критерии, основанные на использовании
заранее заданного уровня значимости, называются критериями значимости. Пусть W – множество значений
статистики	Z. Тогда W разбивается на два		непересекающихся подмножества: U и V, причём
P{Z ÎV \| H0} = a . Обозначим		zв выборочное	значение статистики Z, вычисленное по выборке
наблюдений.	Критерий формулируется так: если zв ÎU , то считается, что гипотеза H0 подтверждается

эмпирическими данными; если же zв ÎV , то утверждается, что гипотеза H0 не согласуется с результатами наблюдений, т.е. H0 отвергается и принимается H1 . Множество U называется областью принятия

гипотезы, множество V – критической областью. Уровень значимости α определяет «размер» критической области V. Расположение V на множестве значений W статистики Z зависит от альтернативной гипотезы H1 . На рис.1.10 показано расположение критической области V для различных альтернативных гипотез H1

( f (z | H0 ) – плотность распределения статистики Z критерия при условии, что верна гипотеза H0 ).

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис.1.10. Расположение критической области V для различных альтернативных гипотез H1

Применение правила проверки гипотезы сопряжено с ошибками двух родов: гипотеза отвергается, когда она верна (ошибка первого рода); гипотеза принимается, когда она неверна (ошибка второго рода).

При выборе критерия проверки гипотезы желательно добиваться минимальных значений ошибок обоих родов. Однако в большинстве практически важных ситуаций невозможно построение критериев со сколь угодно малыми ошибками первого и второго родов. Правило проверки гипотез имеет статистический смысл, т.е. при многократном применении определённого критерия проценты числа неверных решений выражаются вероятностями ошибок первого и второго родов.

Согласование экспериментальных данных с предполагаемой гипотезой не означает, что невозможно согласование этих же данных с другой гипотезой. При применении статистических критериев на основании наблюдений нельзя доказать ту или иную гипотезу, можно лишь утверждать, что результаты наблюдений не противоречат принятой гипотезе. Таким образом, выводы, принимаемые на основании статистических данных, формулируются в следующем виде: экспериментальные данные согласуются с данной гипотезой (противоречат ей).

Итак, проверка параметрической статистической гипотезы при помощи критерия значимости может быть разбита на следующие этапы:

1)сформулировать проверяемую H0 и альтернативную H1 гипотезы;

2)установить уровень значимости α (вероятность ошибки первого рода);

3)выбрать статистику Z критерия для проверки гипотезы H0 ;

4)определить распределение этой статистики при условии, что верна гипотеза H0 ;

5)в зависимости от формулировки альтернативной гипотезы определить критическую область V;

6)получить выборку наблюдений и вычислить значение zв выбранной статистики Z критерия;

7)принять статистическое решение: если zв ÎV , то отклонить гипотезу как несогласующуюся с

результатами наблюдений; если zв ÎU , то считать, что гипотеза H0 не противоречит результатам

наблюдений (выборке).

Проверка статистических гипотез может быть проведена на основе доверительных интервалов [3]. Для

всех параметрических гипотез о нормальной генеральной совокупности область принятия гипотезы

H0 : q = q0 на	уровне значимости	α совпадает с	доверительными интервалами для параметра θ при
доверительной	вероятности 1− α .	Двустороннему	критерию значимости H1 : q ¹ q0 соответствует

двусторонний доверительный интервал. Гипотеза H0 согласуется с результатами наблюдений, если значение q0 накрывается соответствующим доверительным интервалом, в противном случае H0 отклоняется.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Если проверяется гипотеза H0 : q1 = q2 , то рассматривается доверительный интервал для разности q1 - q2 . Гипотеза H0 согласуется с результатами наблюдений, если доверительный интервал для разности параметров q1 - q2 накрывает нулевое значение. Исключение составляет проверка гипотезы о равенстве

дисперсий

двух

независимых нормальных генеральных

совокупностей

: s2

= s2 .

Поскольку

доверительный интервал строится для отношения дисперсий, то в этом случае гипотеза

H0 согласуется с

результатами наблюдений, если доверительный интервал накрывает значение, равное единице.

Пример 1.3.

Для негруппированных

данных примера 1.1

проверить

помощью

построенных

доверительных интервалов гипотезы H (1) : m

= M

и H (2)

: D

= A ,

= x +

примере 1.2

где

A =

× s2 , и записать статистическое решение (принять или отклонить нулевую гипотезу).

Решение. Вычислим M 0 и A0 :

» 9,0708 + 4

6,1080

» 10,643,

A » 6,1080 ×

» 8,638 .

M 0

Поскольку вычисленное значение

не накрывается доверительным интервалом (8,369; 9,773) ,

то

гипотеза H0(1) : mX = M 0

отклоняется.

Поскольку вычисленное значение

накрывается доверительным интервалом

(4,262; 9,485) ,

то

гипотеза H0(2) : DX = A0 согласуется с результатами наблюдений (принимается).

1.5.1. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностейпри неизвестных средних

Пусть X

– нормальные совокупности с дисперсиями s2 ,

и неизвестными математическими

ожиданиями

m1 ,

соответственно.

Из этих совокупностей взяты две случайные независимые выборки

объёмами n

и n

с параметрами x ,

s2 и x

. На уровне значимости α требуется проверить нулевую

гипотезу H

: s2

= s

2 при альтернативной гипотезе H

: s2

¹ s2 .

S 2

при S 2

> S 2 имеет в этом случае распределение Фишера с n -1 и

Известно, что статистика Z =

S22

n2 -1 степенями свободы.

Критерий проверки гипотезы заключается в следующем:

– вычисляется выборочное значение статистики Z:

(при s2

> s2 );

s22

– если

(n -1; n

-1) < z

< F

(n -1; n

-1) ,

то

нет

оснований отвергать гипотезу

1−α

H0 : s12 = s22 ; иначе H0 отклоняется.

Замечание. Если S 2 < S 2 , то рассматривается статистика

Z =

~ F(n

-1; n -1) .

S12

1.5.2. Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей при неизвестных дисперсиях

1. Пусть X1 и X 2 – нормальные совокупности с равными, но неизвестными дисперсиями s12 = s22 = s2 и математическими ожиданиями m1 и m2 . Из этих совокупностей взяты две случайные независимые

выборки объёмами n1 и n2 с параметрами x1 , s12 и x2 , s22 . На уровне значимости α требуется проверить нулевую гипотезу H0 : m1 = m2 при альтернативной гипотезе H1 : m1 ¹ m2 .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

				1 -		2
Известно, что статистика Z =		X			X			, где S =
	S ×
			1 n +1 n				2
	1

распределение Стьюдента с n1 + n2 - 2 степенями свободы.

Критерий проверки гипотезы заключается в следующем:

– вычисляется выборочное значение статистики Z:

(n1 -1)S12 + (n2 -1)S22 , в этом случае имеет n1 + n2 - 2

															x - x					2																					(n -1)s2 + (n								2	-1)s2
								zв =							1					2						, где s =																	1		1				2	2	;
																																														n1 + n2 - 2
											s		× 1 n +1 n										2																							n1 + n2 - 2
	\| z		\| < t				(n		+ n							1							2																													H		: m = m				H
– если	\| z	в	\| < t		α		(n		+ n			2		- 2) , то нет														оснований															отвергать					гипотезу				H	0	: m = m		2	; иначе	H	0
		в	1−		α			1				2																																									0		1	2			0
отклоняется.			1−
						2
							– нормальные совокупности с неизвестными, но неравными дисперсиями s2																																																			¹ s2
2. Пусть	X	1	и X	2																																																						¹ s2
		1		2																																																					1		2
и математическими ожиданиями m1 и																				m2 . Из этих совокупностей взяты две случайные независимые
выборки объёмами n				и n				2	с параметрами x ,																		s2				и x				2		,			s		2	. На уровне значимости α требуется проверить
			1					2														1						1							2						2
нулевую гипотезу H0 : m1 = m2 при альтернативной гипотезе H1 : m1 ¹ m2 .
																					1 -							2
Известно, что статистика											Z =									X	1 -				X			2								в этом случае имеет распределение Стьюдента с k

																	S 2			n		+ S 2									n		2
																	S 2			n		+ S 2									n
																1				1								2
										(S			2	n + S						2 n				2	)2
степенями свободы, где k =												1			1					2				2								.
степенями свободы, где k =									(S 2				n		)	2			(S 2					n				)2				.
										1				1				+		2						2
										n			-1								n	2			-1
										1												2
Критерий проверки гипотезы заключается в следующем:
– вычисляется выборочное значение статистики Z:
																					zв			=									x1 - x2														;

																													s2					n			+ s					2		n	2
																													s2					n			+ s					2		n
																														1				1								2
																					(s		2				n			+ s				2			n		2		)2
– если	\| zв \| < t					α (k) ,					где					k =						1						1						2					2							, то		нет		оснований					отвергать гипотезу
– если	\| zв \| < t					α (k) ,					где					k =				(s2								)2						(s									)	2		, то		нет		оснований					отвергать гипотезу
			1−			2														(s2				n				)2						(s		2				n		2	)	2
																				1					1						+					2						2
																					n -1															n		2			-1
H0 : m1 = m2 ; иначе H0 отклоняется.																				1																		2
H0 : m1 = m2 ; иначе H0 отклоняется.

Замечание. Описанные алгоритмы проверки гипотез о равенстве дисперсий и средних справедливы и при отклонении распределений случайных величин X1 и X 2 от нормального закона, но при условии, что n1 и n2 больше 30.

Пример 1.4. В банке в течение двух дней проводилось исследование времени обслуживания клиентов.

Данные представлены в табл.1.4		( X1 – время обслуживания клиентов в первый день,					X 2	– во второй).
Проверить гипотезы о равенстве дисперсий и средних при неизвестных				s2	, s2	и m , m		2	при уровне
значимости α = 0,1.				1	2		1	2
значимости α = 0,1.									Таблица 1.4
Статистические данные времени обслуживания клиентов в банке									Таблица 1.4
Статистические данные времени обслуживания клиентов в банке

	Номер	Время	Количество клиентов
	интервала i	обслуживания, мин	1-й день	2-й день

	1	[10;12)	2		2
	2	[12;14)	4		4
	3	[14;16)	8		9
	4	[16; 18)	12		13
	5	[18; 20)	16		16
	6	[20; 22)	10		8

	7	[22; 24)	3		3

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Решение. Очевидно, что n1 = n2 = 55 . По статистическим данным получим оценки неизвестных параметров:

x1 = 551 ×(2 ×11+ 4 ×13 + 8 ×15 +12 ×17 +16 ×19 +10 × 21+ 3× 23) » 17,84 , x2 = 551 ×(2 ×11+ 4 ×13 + 9 ×15 +13×17 +16 ×19 + 8× 21+ 3× 23) » 17,65 , s12 » 541 ×(2 ×121+ 4 ×169 + 8× 225 +12 × 289 +16 ×361+

+10 × 441+ 3×529 - 55 ×17,842 ) » 8,55,

s22 » 541 ×(2 ×121+ 4 ×169 + 9 × 225 +13× 289 +16 ×361+ + 8× 441+ 3×529 - 55×17,652 ) » 8,30.

Проверим вначале гипотезу о равенстве дисперсий H0 : s12 = s22 при альтернативной гипотезе H1 : s12 ¹ s22 . Поскольку s12 > s22 , то

	s2		8,55
zв =	1	»		» 1,03.
zв =	s22	»	8,30	» 1,03.
	s22		8,30

Используя Matlab, найдём квантили распределения Фишера:

F0,05 (54; 54) = 0,6366 , F0,95 (54; 54) = 1,5709 .

Так как F0,05 (54; 54) < zв < F0,95 (54; 54) , то нет оснований отвергать гипотезу H0 о равенстве дисперсий при уровне значимости α = 0,1.

Для проверки гипотезы о равенстве средних H0 : m1 = m2 при альтернативной гипотезе H1 : m1 ¹ m2 будем использовать критерий при равных неизвестных дисперсиях. Вычислим выборочное значение zв статистики критерия:

(n -1)s2

+ (n

-1)s2

(55 -1) ×8,55 + (55 -1) ×8,30

s =

» 2,90 ,

n1 + n2 - 2

55 + 55 - 2

zв =

- x2

17,84 -17,65

» 0,34 .

2,90 ×

1 55 +1 55

s × 1 n1 +1 n2

Используя Matlab, найдём квантиль распределения Стьюдента t

(n + n

- 2) = t

0,95

(108) = 1,6591.

1−

Так как | zв | < t0,95 (108) ,

то нет

оснований

отвергать

гипотезу H0

о равенстве средних при уровне

значимости α = 0,1.

Пример 1.5. При измерении производительности двух агрегатов получены результаты (в кг вещества за час работы), представленные в табл.1.5. Можно ли считать, что производительности агрегатов A и B одинаковы в предположении, что обе выборки получены из нормально распределённых генеральных совокупностей? Принять α = 0,1.

								Таблица 1.5
Статистические данные измерения производительности агрегатов

	Номер замера	1	2	3	4		5
	Агрегат A	14,1	10,1	14,7	13,7		14,0
	Агрегат B	14,0	14,5	13,7	12,7		14,1
Решение. Очевидно, что n1 = n2 = 5 . По			статистическим		данным	получим оценки неизвестных

параметров:

x1 = 15 ×(14,1+10,1+14,7 +13,7 +14,0) = 13,32 , x2 = 15 ×(14,0 +14,5 +13,7 +12,7 +14,1) = 13,80 ,

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

s12 = 14 ×(14,12 +10,12 +14,72 +13,72 +14,02 - 5×13,322 ) = 3,372 , s22 = 14 ×(14,02 +14,52 +13,72 +12,72 +14,12 - 5×13,802 ) = 0,46 .

Проверим

вначале гипотезу

о равенстве

дисперсий H0 : s12 = s22 при альтернативной гипотезе

: s2

¹ s2

. Поскольку s2

> s2

, то

3,372

zв

» 7,33 .

s22

0,46

Используя Matlab, найдём квантили распределения Фишера:

F0,05 (4; 4) = 0,1565 , F0,95 (4; 4) = 6,3882 .

Так как zв > F0,95 (4; 4) , то гипотеза

H0 о равенстве дисперсий отклоняется при уровне значимости

α = 0,1.

Для проверки гипотезы H0 : m1 = m2

о равенстве средних при альтернативной гипотезе H1 : m1 ¹ m2

будем использовать критерий при неравных неизвестных дисперсиях. Вычислим выборочное значение zв

статистики критерия:

x1 - x2

13,32 -13,80

zв =

» -0,548 .

s12

n1 + s22

3,372 5 + 0,46 5

Число степеней свободы в распределении Стьюдента получим по формуле

(s2

+ s2

(3,372 5 + 0,46 5)2

k =

» 5 .

(s12 n1 )

(s22

n2 )2

(3,372 5)2

(0,46 5)2

n1 -1

n2 -1

Используя Matlab, найдём квантиль распределения Стьюдента

α (k) = t0,95 (5) = 2,0150 . Так как

1−

| zв | < t0,95 (5) , то нет оснований отвергать гипотезу H0 о равенстве средних при уровне значимости

α = 0,1.

1.5.3. Критерий согласия χ2 (Пирсона)

Критерий χ2 является наиболее распространённым непараметрическим критерием, используемым для

проверки гипотез о виде распределения генеральной совокупности. Критерии, используемые для этих целей,

называются обычно критериями согласия.

Итак, пусть требуется статистически проверить гипотезу H0 о том, что данная выборка							x1 , x2 , ..., xn
извлечена из генеральной совокупности X с функцией распределения						FX (x) , которая точно известна. По
выборке можно	построить эмпирическое		распределение		~	исследуемой случайной величины.
					FX (x)
Принцип сравнения эмпирического		~	и теоретического		FX (x)	распределений с помощью критерия
		FX (x)
согласия χ2 состоит в следующем.
1. Пусть	проверяемый	закон		распределения		генеральной	совокупности

FX (x) = FX (x; q1 , q2 , ..., qk , d1 , d2 , ..., dm ) зависит от k + m параметров q1 , q2 , ..., qk , d1 , d2 , ..., dm ,

причём параметры q1 , q2 , ..., qk				неизвестны. Тогда по выборке	x1 , x2 , ..., xn	(например,	методом
максимального			правдоподобия [3])	для неизвестных параметров	q1 , q2 , ..., qk	находят их	оценки
~	~	~
q1	, q2 , ..., qk .
	2. Если X – случайная величина непрерывного типа, то всё множество возможных значений X
разбивают		на	r непересекающихся интервалов D1 , D2 , ..., Dr . Затем для каждого интервала Di ,

i = 1, 2, ..., r , подсчитывают ni – число выборочных значений, фактически в него попавших.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Если X – случайная величина дискретного типа, то определяют частоты ni , i = 1, 2, ..., r , с которыми каждое значение (или группа значений) встречается в выборке.

Очевидно, что в обоих случаях åni = n , где n – объём выборки.

i=1

3. Если

X – случайная величина непрерывного

типа,

то вычисляют

pi – вероятность того, что

, d2 , ..., dm )

попадает в интервал

случайная величина X с законом распределения FX (x;

q1 ,

, ..., qk , d1

Di , i = 1, 2, ..., r .

Если X – случайная величина дискретного типа,

то

определяют

вероятность

pi , i = 1, 2, ..., r ,

которой случайная величина X принимает каждое значение (или вероятность появления группы значений).

Очевидно, что в обоих случаях å pi = 1 .

i=1

4. Вычисляют выборочное значение статистики

- ni¢)

cв2 = å

(ni

где ni′ = npi

i=1

ni¢

– так называемые теоретические частоты.

Замечание.

В литературе по математической

статистике [4 – 6]

показано,

что при больших

статистика

cв2

имеет распределение, близкое к распределению χ2

r − k −1

степенями свободы

(независимо от вида распределения X), где r – число интервалов, а k – число рассчитанных по выборке неизвестных параметров q1 , q2 , ..., qk .

5. Принимают	статистическое решение: если cв2 < c12−α (r - k -1) , где c12−α (r - k -1) – квантиль
распределения χ2	с r − k −1 степенями свободы порядка 1− α , то гипотеза H0 о предполагаемом законе

распределения не противоречит результатам наблюдений (выборке) при уровне значимости α ; в противном случае гипотеза H0 отклоняется.

Замечания. 1. Необходимым условием применения критерия χ2 является наличие в каждом из интервалов группировки по крайней мере пяти наблюдений. Поэтому все интервалы, для которых частоты ni < 5 , следует объединить с соседними интервалами. При этом соответствующие им частоты ni и теоретические частоты ni′ = npi также надо сложить.

2.Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по выражению r − k −1 следует в качестве r принять число групп выборки, оставшихся после проведения указанной процедуры.

3.При проверке гипотезы о законе распределения контролируется лишь ошибка первого рода.

Пример 1.6 (Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности). Используя

критерий χ2 , требуется на уровне значимости α = 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном

распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки объёмом 50, рассмотренной в примере 1.1.

Решение. Воспользуемся уже произведённой группировкой данных (см. табл.1.3). Для выполнения условия n j ³ 5 объединим разряды с номерами 1, 2 и 5, 6, 7.

С помощью таблицы значений функции Лапласа вычислим вероятности pi попадания случайной величины в каждый из интервалов выбранного разбиения, предположив, что она имеет нормальное распределение. В качестве параметров m и σ возьмём их оценки x = 9,071 и s = 5,641 » 2,375 :

		æ 7 - 9,071ö
p1 = P{X < 7} » Fç			2,375	÷ = F(-0,87) = 1- F(0,87) = 0,1922 ,
		è		ø
p2	= P{7 £		æ 9 - 9,071ö			æ 7 - 9,071ö
		X < 9} » Fç		2,375	÷ - Fç		÷ = 0,2958 ,
			è		ø	è	2,375 ø
p3			æ11- 9,071ö			æ 9 - 9,071ö		= 0,3030 ,
	= P{9 £ X < 11} » Fç			2,375	÷	- Fç	÷
			è		ø	è	2,375 ø

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

p4	æ11- 9,071		ö	= 0,2090 .
	= P{X ³ 11} = 1- P{X < 11} » 1- Fç	2,375	÷
	è		ø

Найдём теоретические частоты ni′ = npi

= 50 pi :

n′

» 9,61, n′ » 14,79 , n′ » 15,15 , n′ » 10,45 .

Составим расчётную табл.1.6.

Таблица 1.6

Данные для подсчёта статистики χ2

Номер

n jў

n ў)2

Интервал

n j

интервала j

n jў

(−∞; 7)

9,61

0,270

[7; 9)

14,79

0,330

[9; 11)

15,15

0,048

[11; + ∞)

10,45

0,201

Вычислим значение статистики:

(n j - n¢j )

cв2 = å

= 0,270 + 0,330 + 0,048 + 0,201 = 0,849 .

n¢j

j=1

Используя Matlab, найдём квантиль c2

(4 - 2 -1) = c2

(1) = 3,8415 .

1−α

0,95

Поскольку cв2 < c02,95 (1) ,

то нет оснований отвергать

гипотезу о

нормальном распределении

генеральной совокупности.

Пример 1.7 (Проверка гипотезы об экспоненциальном распределении генеральной совокупности). В

результате испытаний 200 элементов на продолжительность работы получено эмпирическое распределение, приведённое в табл.1.7 (во втором столбце указаны интервалы времени в часах, в третьем столбце – частоты). Требуется на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что время работы элементов распределено по экспоненциальному закону.

Таблица 1.7

Таблица частот группированной выборки

Номер разряда i	[xi ; xi+1)	ni
1	[0; 5)	133
2	[5; 10)	45
3	[10; 15)	15
4	[15; 20)	4
5	[20; 25)	2
6	[25; 30)	1

Решение. Найдём среднее время работы всех элементов:

x = 2001 ×(133× 2,5 + 45×7,5 +15×12,5 + 4 ×17,5 + 2 × 22,5 +1× 27,5) = 5 .

~	1
Тогда l =		= 0,2 .
Тогда l =	x	= 0,2 .
	~		(x)	= 0,2× e−0,2x ( x > 0 ).
Таким образом, f X			(x)	= 0,2× e−0,2x ( x > 0 ).
Найдём вероятности pi				попадания случайной величины в каждый из интервалов:
					xi+1~	~	~
			pi = P{xi £ X < xi+1} = ò f X (x) d x = e−λxi - e				−λxi+1 .
Тогда					xi
Тогда				p1 » 0,6321,	p2 » 0,2326 ,	p3 » 0,0855,
				p1 » 0,6321,	p2 » 0,2326 ,	p3 » 0,0855,
				p4 » 0,0315 ,	p5 » 0,0116,	p6 » 0,0042 .
Найдём теоретические частоты ni′ = npi = 200pi :

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

n′ » 126,42 ,

n′

» 46,52 ,

n′

» 17,10 ,

n′

» 6,30 ,

n′

» 2,32 , n′ » 0,84 .

Объединив малочисленные

частоты

( 4 + 2 +1 = 7 ) и

соответствующие

им теоретические

частоты

( 6,30 + 2,32 + 0,84 = 9,46 ), получим расчётную табл.1.8.

Таблица 1.8

Данные для подсчёта статистики χ2

Номер

[xj ; xj + 1 )

n jў

- n ў)2

n j

интервала j

n jў

[0; 5)

133

126,42

0,3425

[5; 10)

46,52

0,0497

[10; 15)

17,10

0,2579

[15; 30)

9,46

0,6397

Вычислим значение статистики:

(n j - n¢j )

cв2 = å

= 0,3425 + 0,0497 + 0,2579 + 0,6397 = 1,29 .

j=1

n¢j

Используя Matlab, найдём квантиль

(4 -1-1) = c2

(2) = 5,9915 . Поскольку c2

< c2

(2) , то

1−α

0,95

нет оснований отвергать гипотезу об экспоненциальном распределении генеральной совокупности.

Пример 1.8 (Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности).

Произведено 200 испытаний, в результате каждого из которых некоторое событие появлялось в различные моменты времени. В итоге получено эмпирическое распределение, приведённое в табл.1.9 (во втором столбце указаны интервалы времени в минутах, в третьем столбце – частоты, т.е. числа появления наблюдаемого события в соответствующих интервалах). Требуется на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что время появления событий распределено равномерно.

Таблица 1.9

Таблица частот группированной выборки

Номер разряда i	[xi ; xi+1)		ni
1	[2; 4)		21

2	[4;	6)	16
3	[6; 8)		15

4	[8; 10)		26

5	[10;12)		22
6	[12;14)		14
7	[14;16)		21
8	[16; 18)		22
9	[18; 20)		18
10	[20; 22)		25

Решение. Получим вначале оценки математического ожидания и дисперсии для данной группированной выборки:

x= 2001 ×(21×3 +16 ×5 +15×7 + 26 ×9 + 22 ×11+14 ×13 +

+21×15 + 22 ×17 +18×19 + 25× 21) = 12,31,

s2 = 1991 ×(21×32 +16 ×52 +15 ×72 + 26 ×92 + 22 ×112 +14 ×132 + + 21×152 + 22 ×172 +18×192 + 25× 212 - 200 ×(12,31)2 ) » 33,95.

~	~	(a; b) . Для этого решим систему:
Найдём теперь оценки a	и b – концов интервала	(a; b) . Для этого решим систему:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

ì	~			~
ïx =		a		+ b	,			ì~
		a		+ b					= x - s 3 ,
				2
ï				2			Û	ïa
í				~	~ 2			í~
í				~	~ 2			í~
ï			(b - a)					ï	= x + s 3.
ï			(b - a)					b	= x + s 3.
ïs2	=					;		î
ïs2	=			12		;		î
î				12

Затем найдём плотность вероятности предполагаемого распределения:

f X

ì		1		~	~
ï	~	~	,	x Î(a ; b ),
(x) = íb		- a			~
ï		0,		~	~
î		0,		x Ï(a ; b ).

В данном примере x = 12,31,	s ≈ 5,827				~	~	» 22,403 . Отсюда
В данном примере x = 12,31,	s ≈ 5,827		. Следовательно, a ≈ 2,217 ,			b	» 22,403 . Отсюда
~	ì		1	,	x Î(2,217; 22,403),
	ï
	ï	20,185
f X (x) = í		20,185
	ï		0,		x Ï(2,217; 22,403).
	î		0,		x Ï(2,217; 22,403).

Вычислим вероятности pi попадания случайной величины в каждый из интервалов группировки:

~		x2 ~			1		4
p1 = P{a	£ X < x2} =	f X (x) d x »				×	ò	d x » 0,088 ,
p1 = P{a	£ X < x2} =	f X (x) d x »		20,185		×		d x » 0,088 ,
		ò~		20,185
		a					2,217
		x3	~		1		6
p2 = P{x2 £ X < x3} = ò			f X (x) d x »				× òd x » 0,099 .
p2 = P{x2 £ X < x3} = ò			f X (x) d x »		20,185		× òd x » 0,099 .
		x			20,185		4
		2

Длины интервалов группировки под номерами 3 – 9 равны длине второго интервала, поэтому p3 = ... = p9 = p2 » 0,099 .

Осталось вычислить p10 :

	~	~		1		22,403
		b ~
p10 = P{x10 £	X < b} =	ò	f X (x) d x »		×	ò	d x » 0,120 .
				20,185
		x10				20

Найдём теоретические частоты ni′ = npi = 200pi :

n1′ » 17,6 , n′2 = n3′ = ... = n9′ » 19,8 , n10′ » 24,0 .

Составим расчётную табл.1.10.

Таблица 1.10

Данные для подсчёта статистики χ2

Номер	ni	ni′	(ni - ni¢)2
интервала i
			ni¢
			ni¢
1	21	17,6	0,657
2	16	19,8	0,729
3	15	19,8	1,164
4	26	19,8	1,941
5	22	19,8	0,244
6	14	19,8	1,699
7	21	19,8	0,073
8	22	19,8	0,244
9	18	19,8	0,164
10	25	24,0	0,042

Вычислим значение статистики:

10	(ni - ni¢)	2
cв2 = å			= 0,657 + 0,729	+1,164 +1,941+ 0,244 +
	ni¢
i=1
	+1,699 + 0,073 + 0,244 +			0,164 + 0,042 = 6,957.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Ресурсы

#
30.09.2023602.98 Кб12BORDUCSHKIN.pdf
#
30.09.2023128.71 Кб4Metodicheskie_rekomendatsii_BDZ_3_TViMS_Oleynik.pdf
#
30.09.202314.89 Mб1Sbornik_Zadach_Po_Matematike_4_Chast.pdf
#
30.09.2023890.89 Кб3Semestrovy_Plan_Tvims_21-22_1.pdf