1.3. Числовые характеристики выборки

1.3.2. Выборочные числовые характеристики группированной выборки

Пусть данные представлены в группированном виде, когда отрезок [x(1) ; x(n) ] , содержащий выборку (x1 , x2 , ... , xn ) , разбит на m промежутков D j , j = 1, 2, ... , m . Обозначим через z1 , z2 , ... , zm середины интервалов группировки, а через n j – частоты попадания выборочных значений в соответствующие промежутки D j , j = 1, 2, ... , m . Выборочное среднее определяется по соотношению

1m

x= n åj=1 z j n j .

–длина интервала группировки.

Оценка медианы по группированной выборке может быть вычислена по формуле

где ah – нижняя граница интервала, которому принадлежит середина вариационного ряда; nh – число элементов выборки в этом интервале; n1 + n2 + ... + nh−1 – число элементов выборки в разрядах, лежащих слева от интервала, содержащего середину вариационного ряда; – длина интервала группировки.

1.4. Оценки параметров распределения

Пусть неизвестная функция распределения генеральной совокупности зависит от некоторого параметра θ . Нужно по наблюдениям оценить этот параметр. Для построения оценок используются статистики, т.е.

выборочное среднее, выборочная дисперсия и т.п.

Замечание. Как правило, для оценки параметра θ можно использовать несколько статистик, получая при этом различные значения оценок.

~

Как измерить «близость» оценки qn к истинному значению θ или как определить качество оценки? Качество оценки определяется не по одной конкретной выборке, а по всему мыслимому набору

т.п.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

~

Качество точечной оценки qn параметра θ устанавливают, проверяя, выполняются ли следующие три свойства:

~

1) несмещённость, т.е. M[qn ] = q . Это свойство желательно, но не обязательно. Часто полученная оценка бывает смещённой, но её можно поправить так, что она станет несмещённой. Иногда оценка бывает

~

смещённой, но асимптотически несмещённой, т.е. limM[qn ] = q ; n→∞

~

2) состоятельность, т.е. lim P{| qn - q | < e} = 1. Это свойство является обязательным, n→∞

несостоятельные оценки не используются;

математического ожидания, а в случае, когда генеральная совокупность имеет нормальное распределение,

генеральной совокупности с конечным математическим ожиданием m. Эта оценка занижает в среднем истинное значение дисперсии на величину s2 n . Очевидно, что это смещение «сходит на нет» при n → ∞ ,

~

т.е. оценка DX – асимптотически несмещённая. На практике всегда лучше использовать в качестве

несмещённой и состоятельной оценки дисперсии s2 «исправленную» выборочную дисперсию, которая имеет вид:

К сожалению, при оценке параметров не всегда оказывается возможным одновременное выполнение требований несмещённости, эффективности и состоятельности точечной оценки.

~

В ряде задач для параметра θ требуется не только найти подходящую точечную оценку qn , но и

~

указать, к каким ошибкам может привести замена параметра θ его оценкой qn . Другими словами, требуется оценить точность и надёжность оценки. Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе

Доверительным интервалом для параметра θ называется интервал (q1 ; q2 ) , содержащий его истинное значение с заданной вероятностью p = 1- a . Таким образом,

P{q1 < q < q2} = 1- a .

Число p = 1- a называется доверительной вероятностью, а значение α – уровнем значимости.

Чем меньше для выбранной доверительной вероятности длина интервала | q2 - q1 | , тем точнее оценка

неизвестного параметра θ , и наоборот, если этот интервал велик, то оценка, произведённая с его помощью, малопригодна для практики.

Замечание. Нижняя q1 и верхняя q2 границы доверительного интервала определяются по результатам

наблюдений и, следовательно, являются случайными величинами. Поэтому говорят, что доверительный интервал «накрывает» оцениваемый параметр с вероятностью p = 1- a (или в 100 ×(1- a) % случаев).

Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями задачи. Обычно используются следующие значения 1− α :

0,90; 0,95; 0,99.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Часто применяют односторонние доверительные интервалы, границы которых определяются из условий: P{q < q2} = 1- a (левосторонний), P{q1 < q} = 1- a (правосторонний).

Ниже приведены доверительные интервалы при оценке параметров по случайным выборкам из нормально распределённых генеральных совокупностей.

1. Доверительный интервал для математического ожидания m (дисперсия s2 неизвестна):

2. Доверительный интервал для дисперсии s2 (математическое ожидание m неизвестно):

Пример 1.2. Используя выборку примера 1.1, вычислить для негруппированных и группированных (см. табл.1.3) данных эмпирические числовые характеристики: медиану, среднее, дисперсию (смещённую и несмещённую оценки), а также для группированных данных получить оценку моды. Считая, что выборка

взята из нормально распределённой генеральной совокупности с неизвестными m и s2 , найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности, равной 0,95.

Решение. Оценка медианы по негруппированным данным:

Для получения оценок среднего и дисперсии по негруппированным данным воспользуемся средствами

Matlab:

Оценки медианы, среднего, дисперсии и моды по группированным данным:

Задавшись доверительной вероятностью 1− α = 0,95 с учётом t0,975 (49) = 2,0096 , получим:

8,369 < m < 9,773 – для негруппированной выборки; 8,469 < m < 9,771 – для группированной выборки.

Доверительный интервал для математического ожидания m найдём из условия

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com