Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

______________________________________________________________

В.В.Бардушкин, В.В.Лесин, В.Н.Земсков, Н.Н.Мустафин

Лабораторный практикум по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Утверждено редакционно-издательским советом института

Москва 2009

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

1.Краткие теоретические сведения

1.1.Основные распределения, используемые

вматематической статистике

Равномерное распределение. Случайная величина непрерывного типа Х распределена равномерно на отрезке [a; b] (обозначение X ~ R(a; b) ), если плотность вероятности имеет вид:

Графики плотности распределения, построенные в системе Matlab для нескольких случайных величин R(a; b) , приведены на рис.1.1.

Рис.1.1. Графики плотности распределения R(a ; b)

С помощью линейного преобразования Y = (b − a)X + a от стандартной равномерно распределённой величины X ~ R(0;1) можно перейти к случайной величине Y ~ R(a; b) с произвольными параметрами a и b.

Ошибка, возникающая в результате округления числа с точностью до 10−n , удовлетворительно описывается равномерным на промежутке [-0,5×10−n ; 0,5×10−n ] распределением.

Нормальное распределение. Случайная величина непрерывного типа Х имеет нормальное распределение, или распределение Гаусса, с параметрами m и σ (обозначение X ~ N(m; σ) ), если плотность распределения имеет вид:

Графики плотности распределения, построенные в системе Matlab для нескольких случайных величин N(m; σ) , приведены на рис.1.2.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

+∞

где G(a) = òtα−1e−t dt – гамма-функция, обладающая свойствами

0

Γ(x +1) = xΓ(x) , Γ(k +1) = k!, где k N ,

Γ(1) = Γ(2) = 1 , G(0,5) = p .

Графики плотности распределения, построенные в системе Matlab для нескольких случайных величин Γ(a; b) , приведены на рис.1.3.

Характеристическая функция гамма-распределения имеет вид j(t) = (1- ibt)−a , t R ,

математическое ожидание mX = ab , дисперсия DX = ab2 .

Гамма-распределение композиционно устойчиво при фиксированном параметре b, т.е. сумма независимых случайных величин, имеющих гамма-распределение с параметром b, также имеет гамма- распределение с параметром b.

Рис.1.3. Графики плотности распределения Γ(a; b)

Экспоненциальное (показательное) распределение. Это распределение – частный случай гамма-

распределения при a = 1 (обозначение X ~ E(λ) , где l = 1b ). Таким образом, функция плотности гамма- распределения имеет вид:

Графики плотности распределения, построенные в системе Matlab для нескольких случайных величин E(λ) , приведены на рис.1.4.

плотности распределения χ2 (k) имеет вид:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Графики плотности распределения, построенные в системе Matlab для нескольких случайных величин χ2 (k) , приведены на рис.1.5.

Рис.1.5. Графики плотности распределения χ2 (k)

Характеристическая функция распределения χ2 (k) имеет вид j(t) = (1- 2it)− k2 , t Î R , математическое ожидание mX = k , дисперсия DX = 2k .

По закону χ2 (k) распределена сумма квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин, т.е. если случайные величины X i ~ N(0;1) , i = 1, 2, ..., k , то

k

Y = åX i ~ χ2 (k) .

i=1

Существуют таблицы квантилей распределения χ2 (k) при различных k (см., например, табл.П5 в [1]).

С ростом числа степеней свободы k распределение χ2 (k) , согласно центральной предельной теореме,

приближается к нормальному распределению, т.е. если Y ~ χ2 (k) , то при больших k (на практике при

распределения FX (x) основан на изучении c2 -статистики Пирсона

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Распределение Стьюдента. Случайная величина непрерывного типа Х имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы (обозначение X ~ St(k) ), если её плотность распределения имеет вид:

Графики плотности распределения, построенные в системе Matlab для нескольких случайных величин St(k) , приведены на рис.1.6.

Рис.1.6. Графики плотности распределения St(k)

Основные числовые характеристики распределения St(k) :

симметричности распределения

t p (k) = -t1− p (k) .

При больших k распределение Стьюдента приближается к стандартному нормальному распределению.

Распределение St(k) широко применяется в математической статистике. Это объясняется тем, что

Vk

имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы:

Распределение Фишера. Случайная величина непрерывного типа Х имеет распределение Фишера с k1 и k2 степенями свободы (обозначение X ~ F(k1 ; k2 ) ), если её плотность распределения имеет вид:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com