Теория вероятностей и математическая статистика / Задания / ИВТ-22_БДЗ-2

TViMS BDZ 2 Андрюнина Марина Игоревна, группа ИВТ-22

1. Сделано два вклада: 10 тыс. руб. - в компанию A и 15 тыс. руб. - в компанию B. Компания A обещает прибыль в 50 процентов годовых, но может обанкротиться с вероятностью 0,2. Компания B обещает 40 процентов годовых, но может обанкротиться с вероятностью 0,15. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X - общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения FX(x).

2.При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,0005. Найти вероятность того, что сообщение из 10000 знаков будет иметь не более трех искажений.

3.Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:

N(3; 1) è P f0 X bg = 0; 84. Найти b.

5.Продолжительность безотказной работы прибора случайна и удовлетворительно описывается показательным законом распределения. По данным испытаний большой партии приборов выяснено, что в течение 1000 час отказывают 0,1 процент приборов. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение 10000 час.

6.Монета бросается до первого выпадения цифры, но не более 4 раз. Случайные величины: X - число выпадений герба, Y - число подбрасываний. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти коэффициент корреляции [X; Y ] .

7.Известно, что X P u(3) и Y N(2; 2) независимы. Найти M[XY 2 X2Y ].

1.Три студента досрочно сдают экзамен по теории вероятностей. Вероятности отличной оценки для этих студентов составляют, соответственно, 0,8; 0,7 и 0,5. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X - числа студентов, сдавших экзамен на "отлично"; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения FX(x).

2.Исследуемая элементарная частица регистрируется в среднем в 1 проценте экспериментов. Сколько опытов необходимо провести, чтобы с вероятностью 0,99 частица была зарегистрирована хотя бы один раз?

3.Функция распределения вероятностей случайной величины X имеет вид:

FX(x) = ( ax20; åñëè x 0

1+x2 ; åñëè x > 0

Найти: а) коэффициент a; б) вероятность P fX 2 (1; 4)g; в) плотность вероятности fX(x); ã) ìîäó d[X].

N(2; 3=2) è P f2 l X 2 + lg = 0; 4972. Найти l.

5.Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 2,8 и 0,36. Какова вероятность того, что при первом испытании ее значение окажется на отрезке [3; 4] , а при втором испытании - на отрезке [1; 2]?

6.Иван и Петр наудачу извлекают без возвращения по одному шару из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров. Иван извлекает шар первым. Случайные величины: X - число извлеченных белых шаров, Y - число черных шаров у Ивана. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти коэффициент корреляции

[X; Y ] .

7.Случайные величины X и Y независимы, одинаково распределены и имеют конечные математическое

ожидание и дисперсию. При каких величины U = X + Y , V = X Y , где = const, являются некоррелированными?

1.На шахматную доску ставятся две ладьи. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X - числа клеток, которые стоят под ударом этих двух фигур; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения FX(x).

2.Обычно доля пассажиров, опаздывающих к отправлению поезда, составляет примерно 1 процент. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.

3.Случайная величина X распределена по закону Симпсона на отрезке

N(2; 3) è P f1 X bg = 0; 5375. Найти b.

5.Среднее время безотказной работы прибора равно 1000 час. Полагая, что это время имеет показательный закон распределения, найти вероятность того, что отказ прибора произойдет между 2000-м и 3000-м часами его непрерывной работы.

6.Иван и Петр наудачу извлекают без возвращения по одному шару из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров. Иван извлекает шар первым. Случайные величины: X - число извлеченных черных шаров, Y -

число черных шаров у Петра. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти коэффициент корреляции [X; Y ] .

7. В круге единичного радиуса наудачу выбирается точка. Найти среднее расстояние от этой точки до центра круга.

1. С целью профилактики студент принимает три противовирусных препарата, вероятности эффективного действия которых равны, соответственно, 0,6, 0,8 и 0,7. Требуется: а) составить ряд распределения числа X препаратов, оказавшихся эффективными; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения FX(x).

2.Известно, среди людей у 7 процентов обладают кровью 4-й группы. Найти наиболее вероятное число таких людей среди 125 пассажиров авиалайнера и соответствующую этому вероятность.

3.Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:

ожидание и дисперсию. Найти коэффициент корреляции величин U = X + Y , V = X + Y , где = const.

1.Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X - числа попыток набора нужного номера (вплоть до успеха), если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения FX (x).

2.Дежурный пожарной охраны получает за час в среднем 6 сообщений о пожарах. На какое время он может отлучиться, чтобы вероятность пропустить сообщение не превысила 0,1?

3. Случайная величина X распреäелена по закону Коши: FX (x) = a + b arctg x, x 2 R. Найти: а) коэффициенты a и b; б) вероятность P fX 2 (1; p3)g; в) математическое ожидание M[X]; г) плотность вероятности FX (x).

N( ; 2) è P f l X + lg = 0; 1974 . Найти l.

5.Случайная величина равномерно распределена на отрезке [a; b] . Ее математическое ожидание равно 3, а дисперсия равна 12. Чему равна вероятность того, что случайная величина примет отрицательное значение?

6.Производится проверка исправности трех одинаковых приборов. Вероятность исправного состояния каждого из приборов равна 0,9. Каждый следующий прибор проверяется только тогда, когда предыдущий оказался исправным. Случайные величины: X - число проверенных приборов, Y - число обнаруженных неисправных

приборов. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти коэффициент корреляции [X; Y ] . 7. Случайные величины X и Y имеют характеристики: X = 1, Y = 1, cov[X; Y ] = 1. Найти дисперсию величины Z = X + 2Y 3.

1.Студент отвечает на три вопроса экзаменационного билета. Вероятность правильного ответа на первый вопрос равна 0,5 на второй - 0,7 и на третий - 0,9. Требуется: а) составить ряд распределения числа X вопросов, на которые даны правильные ответы; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения FX(x).

2.По шоссе мимо бензоколонки в данное время суток проезжает в среднем 600 автомобилей в час. Замечено, что примерно 1 процент проезжающих машин заезжают на эту заправку. Найти вероятность того, что в течение ближайших 5 минут, на которые оператору нужно отлучиться, автомобили на бензоколонку не заедут.

3. Случайная величина X распределена по закону прямоугольного треугольника"на отрезке [0; a] :

N(4; 2) è P fa X 6g = 0; 6826. Найти a.

5.В начальный момент времени блок прибора содержит n одинаковых исправных элементов - один основной

и (n 1) резервных. После отказа основного элемента один из оставшихся резервных элементов становится основным. Последовательный отказ всех n элементов приводит к отказу блока. Случайное время исправной работы основного элемента имеет показательное распределение со средним квадратичным отклонением 100 час. Резервные элементы не отказывают. Найти среднее значение времени работы блока.

6.Стрелок стреляет по мишени из пистолета до первого попадания, но не более трех раз. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Случайные величины: X - модуль разности между числом попаданий и числом промахов, Y - число промахов. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти коэффициент корреляции [X; Y ] .

7.В квадрате ABCD с вершинами A(0; 1), B(0; 7), C(6; 7), D(6; 1) наудачу выбирается точка M. Найти дисперсию площади четырехугольника ABCM.

1.Студент купил три пакета акций, вероятности получения дохода по которым равны, соответственно, 0,5, 0,6 и 0,7. Требуется: а) составить ряд распределения числа X пакетов акций, по которым он получит доход; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения FX (x).

2.В приемное отделение больницы поступают в среднем 2 больных в час. Найти наивероятнейшее число поступивших за 1,5 часа больных и соответствующую этому вероятность.

3.Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:

fX(x) = ( c(x3 4x); если 2 x 0 0; иначе

Найти: а) коэффициент c; б) вероятность P fX 2 ( 1; 5; 0; 5)g; в) математическое ожидание M[X]; г) функцию распределения FX (x).

N(m; 4) è P fX > 2g = 0; 6915. Найти m.

5.Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 2,2 и 0,3. Какова вероятность того, что при трех испытаниях случайная величина однажды окажется на отрезке [3; 4] , и дважды - на отрезке [1; 2] ?

6.Иван и Петр наудачу извлекают без возвращения по одному шару из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров. Иван извлекает шар первым. Случайные величины: X - число извлеченных белых шаров, Y - число чер-

ных шаров у Петра. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти коэффициент корреляции

[X; Y ] .

7. Шайбы с номинальным диаметром 1 см проходят через отверстие диаметра 1+", не проходят через отверстие диаметра 1 " и имеют распределение диаметра, близкое к равномерному. Найти среднюю площадь шайб.

TViMS BDZ 2 Максимов Артем Владимирович, группа ИВТ-22

1.Куплены акции двух компаний: А - на 20 тыс. руб. и В - на 30 тыс. руб. Согласно прогнозу, за год цена акции компании A должна вырасти на 40 процентов, а компании В - на 30 процентов. Однако за год компании могут и обанкротиться: А - с вероятностью 0,1, а B - с вероятностью 0,2. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X - общей суммы прибыли (убытка), полученной от акций через год; б) найти математиче- ское ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения

FX(x).

2.Известно, среди людей 15 проценов обладают кровью с отрицательным резус-фактором. Найти наиболее вероятное число таких людей среди трудового коллектива фирмы из 67 человек и соответствующую этому вероятность.

3.Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:

fX(x) = ( ax3 3x2=4 ax + 2a; если 1 x 1 0; иначе

Найти: а) коэффициент a; б) вероятность P fX 2 ( 1=2; 1=2)g; в) математическое ожидание M[X]; г) функцию распределения FX (x).

N(m; 1=2) è P fX 2; 5g = 0; 1587. Найти m.

5.Цена акции случайным образом изменяется со временем и описывается нормальным распределением. В течение последнего года 20 процентов рабочих дней она была ниже 88 руб, а 75 процентов - выше 90 руб. Требуется с надежностью 0,95 определить максимальное отклонение цены этой акции от среднего (прогнозного) значения.

6.Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, Иван и Петр извлекают без возвращения 3 шара в такой очередности: Петр - Иван - Иван. Случайные величины: X - число белых шаров у Ивана, Y - число черных шаров

у Петра. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти коэффициент корреляции [X; Y ] . 7. На смежных сторонах квадрата единичной площади наудачу выбрано по одной точке. Найти средний квадрат расстояния между этими точками.

TViMS BDZ 2 Мананников Даниил Викторович, группа ИВТ-22

1.Из 20 вопросов к экзамену студент не успел подготовить 6 вопросов. Требуется: а) составить ряд распределения числа X вопросов, не подготовленных к экзамену, среди трех вопросов билета; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения

FX(x).

2.Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью, не меньшей, чем 0,98?

3.Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:

N(m; 1) è P fX > 0; 5g = 0; 6915. Найти m.

5.Квантиль порядка 0,15 нормально распределенной случайной величины равна 12, а квантиль порядка 0,6 равна 16. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

6.Производятся проверка исправности трех одинаковых приборов. Вероятность исправного состояния каждого из приборов равна 0,9. Каждый следующий прибор проверяется только тогда, когда предыдущий оказался неисправным. Случайные величины: X - число проверенных приборов, Y - число обнаруженных исправных

приборов. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти коэффициент корреляции [X; Y ] . 7. На отрезке AB = [0; 1] наудачу выбираются точки M и N. Найти средний квадрат расстояния между точками M и N.

TViMS BDZ 2 Миронов Андрей Владимирович, группа ИВТ-22

1.Из шести книг на полке три - в твердых переплетах. Наудачу с полки взяты три книги. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X - количества книг в твердых переплетах среди взятых с полки; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения FX(x).

2.При работе с рукописью корректор находил на 100 страницах текста в среднем 10 опечаток. С какой вероятностью на очередной странице он найдет не менее двух опечаток?

3.Случайная величина X, принимает значения из интервала ( 1; 2) , задана на нем функцией распределения FX(x) = ax2 + bx + c, имеющей максимум при x = 2 . Найти: а) коэффициенты a, b и c; б) вероятность

P fX 2 (0; 1)g; в) математическое ожидание M[X]; г) плотность распределения fX(x).

N(m; 1) è P fX 0; 5g = 0; 3085. Найти m.

5.Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 2,5 и 0,33. Какова вероятность того, что при двух испытаниях случайная величина однажды окажется на отрезке [3; 4] , и однажды - на отрезке [1; 2] ?

6.Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, Иван и Петр извлекают без возвращения 3 шара в такой очередности: Петр - Иван - Иван. Случайные величины: X - число белых шаров у Ивана, Y - число белых шаров

у Петра. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти коэффициент корреляции [X; Y ]. 7. На единичной окружности наудачу выбраны две точки. Найти математическое ожидание куба длины хорды, соединяющей эти точки.

1.В поисках нужной ему формулы студент рассматривает три справочника. Вероятность того, что формула есть в первом справочнике, равна 0,6, во втором - 0,7, в третьем - 0,8. Требуется: а) составить ряд распределения числа X справочников, в которых есть нужная формула; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения FX(x).

2.В банк отправлено 40000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число купюр, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено наивероятнейшее число ошибочно укомплектованных пакетов.

3.Случайная величина X распределена по закону Рэлея:

N( 1; 1=2) è P f1 l X 1 + lg = 0; 9544. Найти l.

5.Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 2,8 и 0,36. Какова вероятность того, что при двух испытаниях ее значения дважды окажутся на одном из отрезков [3; 4] и [1; 2] ?

6.Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, Иван и Петр извлекают без возвращения 3 шара в такой очередности: Иван - Иван - Петр. Случайные величины: X - число белых шаров у Ивана, Y - число белых шаров

у Петра. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти коэффициент корреляции [X; Y ]. 7. На отрезке AB = [0; 1] наудачу выбираются точки M и N. Найти среднюю сумму квадратов длин отрезков

AM è NB.

TViMS BDZ 2 Парф¸нов Александр Сергеевич, группа ИВТ-22

1.Имеются 4 однотипных ключа. Из них только один подходит к замку. Требуется: а) составить ряд распределения числа X попыток открывания замка, если испробованный ключ повторно не используется; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения FX (x).

2.На втором курсе одного из факультетов университета учатся 250 студентов. В среднем успешно заканчивают обучение в 4-м семестре 96 процентов студентов этого факультета. С какой вероятностью по результатам семестра продолжать учебу на курсе будут все 250 студентов?

3. Случайная величина X, принимает значения из интервала (1; 4) и задана на нем функцией распределения FX(x) = ax2 + bx + c , имеющей максимум при x = 4 . Найти: а) коэффициенты a, b и c; б) вероятность P fX 2 (2; 3)g; в) математическое ожидание M[X]; г) плотность распределения fX(x).

N(3; ) è P f2 X 4g = 0; 9544. Найти .

5.Однотипные приборы выпускают на двух заводах. Случайная продолжительность X их безотказной работы

описывается показательным законом распределения: X Ex( ) . На первом заводе выпускают приборы с параметром = 10 4 ÷àñ 1, а на втором - с параметром = 0; 99 10 4 ÷àñ 1 этого закона. Прибор со второго завода проработал непрерывно 10000 часов и не отказал. А с первого завода поступил совершенно новый прибор. Какой из этих приборов целесообразно использовать в дальнейшем, если принципиальное значение имеет надежность прибора.

6.Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, Иван и Петр извлекают без возвращения 3 шара в такой очередности: Петр - Иван - Иван. Случайные величины: X - число черных шаров у Ивана, Y - число белых шаров

у Петра. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти коэффициент корреляции [X; Y ] . 7. На отрезке AB = [0; 1] наудачу выбираются точки M и N. Найти среднюю площадь квадрата со стороной

MN.

TViMS BDZ 2 Сафаров Шахзод Мухамадович, группа ИВТ-22

1.Три студента самостоятельно решают одну и ту же задачу по теории вероятностей. Вероятности правильного решения задачи для студентов составляют, соответственно, 0,4; 0,6 и 0,8. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X - числа студентов, решивших задачу; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения FX (x).

2.Известно, что левши составляют приблизительно 15 процентов населения. Найти вероятность того, что среди

70пассажиров автобуса окажется от 9 до 11 левшей.

3.Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:

N(m; 2) è P fX > 1g = 0; 8413. Найти m.

5.Случайная величина имеет нормальный закон распределения. Известно, что она не превосходит 2 с вероятностью 0,5 и не превосходит 4 с вероятностью 0,9986. Найти второй начальный момент этой случайной величины.

6.Число X выбирается случайно из множества целых чисел f1; 2; 3; 4g . Затем из этого же множества выбирается наудачу число Y , не большее первого числа. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти

коэффициент корреляции [X; Y ].

7. Случайные величины X и Y независимы, одинаково распределены и имеют конечные математическое ожидание и дисперсию. Найти коэффициент корреляции величин U = X + Y , V = X Y , где ; = const.

1.Вероятность сдачи зачета в каждой попытке для первого студента равна 0,6, а для второго - 0,7. Оба они делают по одной попытке сдать зачет. А затем каждый из студентов, первая попытка которого была неудачной, пытается сдать зачет еще раз. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X - суммарного числа попыток обоих студентов; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) аккуратно построить график ее функции распределения FX(x).

2.На прядильной фабрике работница обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва пряжи на одном веретене в течение смены примерно равна 0,005. Найти вероятность того, что в течение смены работнице придется ликвидировать обрывы более 3-õ ðàç.

3.Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:

N(2; 1) è P f1 X bg = 0; 3413. Найти b.

5.Блок прибора построен из трех независимых, параллельно действующих одинаковых элементов. Отказ блока происходит лишь после отказа всех трех элементов. Случайное время исправной работы каждого из элементов распределено по показательному закону, а среднее значение этого времени - 200 час. Какова вероятность того, что блок безотказно проработает 500 часов?

6.Игральная кость бросается 2 раза. Случайные величины: X - число появлений "шестерки Y - число появлений четной цифры. Описать закон распределения случайного вектора (X; Y ). Найти коэффициент корреляции

[X; Y ] .