Добавил:
github.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Численные методы / БДЗ / БДЗ-2 / bdz_2_2022_IVT-22

.pdf
Скачиваний:
30
Добавлен:
30.09.2023
Размер:
385.57 Кб
Скачать

БДЗ №2

9

10

11

12

13

14

15

16

ИВТ-22, Миронов Андрей Владими-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рович

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются. Справочные материалы: http://miet.aha.ru/

9.Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.

ф-ла y00

=

1

(

 

y0 + 4y1

 

5y2 + 2y3); функ. y(x) = cos x на отрезке [ =4; ]; погр. = 10 7.

2

3

 

h

 

 

10.Получить (письменно) приближённое значение интеграла I по квадратурной формуле S(h) сначала с шагом h1, а затем с шагом h2. Используя метод Рунге, указать насколько значение S(h2) отличается от истинного значения интеграла I.

I =

Z1

n

3 x3 ln x dx; S(h) = h i=1 f(xi 1=2) (ф-ла центр. прямоуг.); h1 = 2=4; h2 = 2=10:

 

 

X

11. Предложить способ вычисления несобственного интеграла на компьютере. Указание: использовать один из методов, рассмотренных на лекции или семинаре.

1

3

e2x

dx

Z8

 

 

 

cos(3=x)

12. Для заданной матрицы вычислить подчинённую норму матрицы для следующих векторных норм:

jjxjj1

= i

jxij, jjxjj2

= r

 

 

xi2.

 

P

 

 

P

 

 

 

 

i

01

9 2 5

BC

B

2

5

9

C

6

7

10

@

 

 

 

A

13. Правая часть СЛАУ Ax = f содержит погрешность, норма которой равна jj fjj1. Оценить относительную

погрешность нормы решения

jj xjj1

. Указание: воспользоваться оценкой

jj xjj1

6 (A)

jj fjj1

.

 

 

jjxjj1

5 9

1; f =

0 8; 2 1;

 

 

jjxjj1

jjfjj1

A =

0 2

 

f

 

= 0:3

 

 

 

 

B

9

 

2

5

C

B

3; 4

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

7

 

10

4; 4

jj

jj1

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

A

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

14. Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации.

(

xy00 2y0 = ch x;

желаемый порядок аппроксимации p = 2.

y0(1) = 1; y(2) = 0;

15.Для решения (начальной или краевой) задачи, где x 2 [0; 2], предложена разностная схема. Определить, аппроксимирует ли разностная схема задачу. Если аппроксимация имеет место, найти её порядок. Указание: использовать разложение в ряд Тейлора.

3y

 

y

= 1

3

yi 1

2yi + yi+1

 

yi+1 yi 1

= 1

00

h2

 

 

0

 

8

 

2h

 

( y(0) = 1; y(2) = 3;

< y0 = 1; yn = 3 (где xn = 2)

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

16.Проверить выполнимость достаточных условий применимости метода прогонки для решения СЛАУ Ax = f. Если эти условия выполняются, решить систему методом прогонки (вычислять можно на компьютере, но в

решении указать значения всех прогоночных коэффициентов i, i).

0 3

 

10

04 0

0

1

0 9 1

 

9

6

 

 

0

0

 

 

 

5

C

A = B 0

 

 

2

 

12 8

0

C; f = B 8

B

 

 

 

 

 

 

C

B

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

B

 

 

C

B

0

0

9

23

10

C

B

 

4

C

B

0

0

0

1

7

C

B

8

C

B

C

B

 

C

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

B

 

 

C

@

 

 

 

 

 

 

 

 

A

@

 

A

БДЗ №2

9

10

11

12

13

14

15

16

ИВТ-22, Оразов Илья Витальевич

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются. Справочные материалы: http://miet.aha.ru/

9.Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.

ф-ла y0

=

1

(y0

 

8y1

+ 8y3

 

y4); функ. y(x) = ch x на отрезке [ 1; 3]; погр. = 10 8.

12h

2

 

 

 

 

 

10.Получить (письменно) приближённое значение интеграла I по квадратурной формуле S(h) сначала с шагом h1, а затем с шагом h2. Используя метод Рунге, указать насколько значение S(h2) отличается от истинного значения интеграла I.

I =

Z1

n

3 sin x sh x dx; S(h) = h i=1 f(xi 1) (ф-ла левых прямоуг.); h1 = 2=6; h2 = 2=14:

 

 

X

11. Предложить способ вычисления несобственного интеграла на компьютере. Указание: использовать один из методов, рассмотренных на лекции или семинаре.

1

e2x

dx

Z1

 

arctg x

12. Для заданной матрицы вычислить подчинённую норму матрицы для следующих векторных норм:

jjxjj1

= i

jxij, jjxjj2

= r

 

 

xi2.

 

P

 

 

P

 

 

 

 

i

01

4 6 10

BC

B

7

4

3

C

8

1

9

@

 

 

 

A

13. Правая часть СЛАУ Ax = f содержит погрешность, норма которой равна jj fjj1. Оценить относительную

погрешность нормы решения

jj xjj1

. Указание: воспользоваться оценкой

jj xjj1

6 (A)

jj fjj1

.

 

jjxjj1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jjxjj1

jjfjj1

A =

0

5

1

5

1

; f =

0

8; 6

1

;

jj

f

jj1

= 0:1

 

 

 

B

 

6

 

3

C

 

B

9; 5

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

C

 

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

3

 

 

 

A

 

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации.

(

x2y00 2y = 3;

желаемый порядок аппроксимации p = 2.

y(1) = 0; y(2) + 2y0(2) = 0;

15.Для решения (начальной или краевой) задачи, где x 2 [0; 2], предложена разностная схема. Определить, аппроксимирует ли разностная схема задачу. Если аппроксимация имеет место, найти её порядок. Указание: использовать разложение в ряд Тейлора.

y0 + 4y = x

8

h

y1

 

y0

 

2

 

yi+1 yi

+ 4yi

= (ih)2

( y(0) = 2; y0(0) = 3;

< y0 = 2;

 

 

 

 

= 3

 

 

h

 

 

:

 

 

 

 

 

16.Проверить выполнимость достаточных условий применимости метода прогонки для решения СЛАУ Ax = f. Если эти условия выполняются, решить систему методом прогонки (вычислять можно на компьютере, но в

решении указать значения всех прогоночных коэффициентов i, i).

0 2

9

04 0

0

1

0 6

1

 

13

 

6

 

 

0

0

C

; f = B

5

C

A = B 0

 

6

 

16 9

0

6

B

 

 

 

 

 

 

C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

B

 

C

B

0

0

7

16

 

6

C

B

10

C

B

0

0

0

4

 

 

C

B

 

C

B

10

C

B

4

C

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

B

 

C

@

 

 

 

 

 

 

 

 

A

@

 

A

БДЗ №2

9

10

11

12

13

14

15

16

ИВТ-22, Парфёнов Александр Серге-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

евич

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются. Справочные материалы: http://miet.aha.ru/

9.Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.

ф-ла y00

=

 

1

(y0

 

2y1 + y2); функ. y(x) = sh x на отрезке [1; 3]; погр. = 10 4.

 

2

0

 

h

 

10.Получить (письменно) приближённое значение интеграла I по квадратурной формуле S(h) сначала с шагом h1, а затем с шагом h2. Используя метод Рунге, указать насколько значение S(h2) отличается от истинного значения интеграла I.

I = Z

3

n

 

1 cos x ch x dx;

S(h) = h i=1 f(xi) (ф-ла правых прямоуг.); h1 = 4=6; h2 = 4=12:

 

 

 

X

11. Предложить способ вычисления несобственного интеграла на компьютере. Указание: использовать один из методов, рассмотренных на лекции или семинаре.

1

ex

dx

Z9

 

arcctg x

12. Для заданной матрицы вычислить подчинённую норму матрицы для следующих векторных норм:

jjxjj1

= i

jxij, jjxjj2

= r

 

 

xi2.

 

P

 

 

P

 

 

 

 

i

01

10 7 6

BC

B

6

5

1

C

8

9

5

@

 

 

 

A

13. Правая часть СЛАУ Ax = f содержит погрешность, норма которой равна jj fjj1. Оценить относительную

погрешность нормы решения

jj xjj1

. Указание: воспользоваться оценкой

jj xjj1

6 (A)

jj fjj1

.

 

 

jjxjj1

 

 

10 1; f =

0 8; 1 1; f

jjxjj1

jjfjj1

A = 0

 

 

5 3

 

= 0:4

 

 

 

B

 

1

5

7

C

 

7; 5

C

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

7

3

B 3; 8

jj

jj1

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

C

B

 

C

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

A

@

 

A

 

 

 

 

 

 

14. Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации.

 

 

x2y

+ 3y

= sh x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( y(1)00

= 1;

0y0(3) = 2;

 

желаемый порядок аппроксимации p = 2.

 

 

15.Для решения (начальной или краевой) задачи, где x 2 [0; 2], предложена разностная схема. Определить, аппроксимирует ли разностная схема задачу. Если аппроксимация имеет место, найти её порядок. Указание: использовать разложение в ряд Тейлора.

 

8

y

2yi + yi+1

 

 

y00 yx = 1

 

i 1 hy2n

 

yn

 

2 yi ih = 1

( y(0) = 1; y0(2) = 4;

< y0 = 1;

 

 

 

 

 

= 4 (где xn = 2)

 

2h

 

 

:

 

 

 

 

 

 

16.Проверить выполнимость достаточных условий применимости метода прогонки для решения СЛАУ Ax = f. Если эти условия выполняются, решить систему методом прогонки (вычислять можно на компьютере, но в

решении указать значения всех прогоночных коэффициентов i, i).

0 5

12

6

0

0

1

0 5

1

 

8

2

0

0

0

C

 

2

C

A = B 0

 

4

 

14

 

 

8

0

; f = B 5

B

 

 

 

 

 

 

 

C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

B

 

C

B

0

0

8

 

12

1

C

B

8

C

B

0

0

0

 

5

10

C

B

6

C

B

 

 

C

B

C

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

B

 

C

@

 

 

 

 

 

 

 

 

A

@

 

A

БДЗ №2

9

10

11

12

13

14

15

16

ИВТ-22, Сафаров Шахзод Мухамадо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вич

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются. Справочные материалы: http://miet.aha.ru/

9.Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.

ф-ла y00

=

1

(y0

 

2y1 + y2); функ. y(x) = ln x на отрезке [1; 3]; погр. = 10 4.

2

2

 

h

 

10.Получить (письменно) приближённое значение интеграла I по квадратурной формуле S(h) сначала с шагом h1, а затем с шагом h2. Используя метод Рунге, указать насколько значение S(h2) отличается от истинного значения интеграла I.

I =

Z1

n

2 x sin x dx; S(h) = h i=1 f(xi 1) (ф-ла левых прямоуг.); h1 = 1=6; h2 = 1=10:

 

 

X

11. Предложить способ вычисления несобственного интеграла на компьютере. Указание: использовать один из методов, рассмотренных на лекции или семинаре.

1

ex

dx

Z2

 

arctg ln x

12. Для заданной матрицы вычислить подчинённую норму матрицы для следующих векторных норм:

jjxjj1

= i

jxij, jjxjj2

= r

 

 

xi2.

 

P

 

 

P

 

 

 

 

i

01

5 1 5

BC

B

6

3

2

C

3

6

3

@

 

 

 

A

13. Правая часть СЛАУ Ax = f содержит погрешность, норма которой равна jj fjj1. Оценить относительную

погрешность нормы решения

jj xjj1

. Указание: воспользоваться оценкой

jj xjj1

6 (A)

jj fjj1

.

 

jjxjj1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jjxjj1

jjfjj1

A = 0

6 5

5

1

; f = 0

3; 0

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 4

8; 1

jj

f

jj1

= 0:7

 

 

 

B

 

1 9

 

8

C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

1; 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

A

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации.

 

 

y00 y = 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( y0(0) = 0; y0(2) + y(2) = 0;

 

желаемый порядок аппроксимации p = 2.

15.Для решения (начальной или краевой) задачи, где x 2 [0; 2], предложена разностная схема. Определить, аппроксимирует ли разностная схема задачу. Если аппроксимация имеет место, найти её порядок. Указание: использовать разложение в ряд Тейлора.

 

 

 

 

3

yi 1 2yi + yi+1

 

yi+1 yi 1

= 1

 

 

 

 

8

 

= 2;

y1

 

y0

 

 

 

 

( y(0) = 2; y0(0) = 3;

< y0

h2

 

= 3

2h

 

3y00

 

y0

= 1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

16.Проверить выполнимость достаточных условий применимости метода прогонки для решения СЛАУ Ax = f. Если эти условия выполняются, решить систему методом прогонки (вычислять можно на компьютере, но в

решении указать значения всех прогоночных коэффициентов i, i).

0 3

9

5

0

0

1

0

1

1

A = B

18

4

0

0

0

C; f = B

 

8

C

0

10 22

8

0

8

B

 

 

 

 

 

C

B

 

 

C

B

 

 

 

 

 

C

B

 

 

C

B

0

0

5

10

4

C

B

 

3

C

B

0

0

0

 

10

C

B

 

 

C

B

4

C

B

10

C

B

 

 

 

 

 

C

B

 

 

C

@

 

 

 

 

 

A

@

 

 

A

БДЗ №2

9

10

11

12

13

14

15

16

ИВТ-22, Слесарев Вадим Андреевич

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются. Справочные материалы: http://miet.aha.ru/

9.Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.

ф-ла y00

=

1

(y0

 

2y1 + y2); функ. y(x) = ch x на отрезке [

 

1; 3]; погр. = 10 6.

2

2

 

h

 

 

 

10.Получить (письменно) приближённое значение интеграла I по квадратурной формуле S(h) сначала с шагом h1, а затем с шагом h2. Используя метод Рунге, указать насколько значение S(h2) отличается от истинного значения интеграла I.

I = Z1

3

S(h) = 2

n

x3 ln x dx;

i=1 (f(xi 1) + f(xi)) (ф-ла трапеций); h1 = 2=6; h2 = 2=10:

 

 

h

 

 

 

 

X

11. Предложить способ вычисления несобственного интеграла на компьютере. Указание: использовать один из методов, рассмотренных на лекции или семинаре.

1

ex

dx

Z6

 

arctg x

12. Для заданной матрицы вычислить подчинённую норму матрицы для следующих векторных норм:

jjxjj1

= i

jxij, jjxjj2

= r

 

 

xi2.

 

P

 

 

P

 

 

 

 

i

0 1

1 5 4

BC

B

2

3

9

C

2

3

7

@

 

 

 

A

13. Правая часть СЛАУ Ax = f содержит погрешность, норма которой равна jj fjj1. Оценить относительную

погрешность нормы решения

jj xjj1

. Указание: воспользоваться оценкой

jj xjj1

6 (A)

jj fjj1

.

 

 

jjxjj1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jjxjj1

jjfjj1

 

 

0

4

6

10

1

 

0

9; 6

1

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

7 4

3

; f =

2; 1

;

f

jj1

= 0:3

 

 

 

 

B

8

 

1

9

C

 

B

2; 4

C

 

jj

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

C

 

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

A

 

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации.

(

x3y00 2y = 1;

желаемый порядок аппроксимации p = 2.

y(0) = 1; y(2) + 2y0(2) = 0;

15.Для решения (начальной или краевой) задачи, где x 2 [0; 2], предложена разностная схема. Определить, аппроксимирует ли разностная схема задачу. Если аппроксимация имеет место, найти её порядок. Указание: использовать разложение в ряд Тейлора.

 

8

yi

 

1

2yi + y

+1

 

 

y

 

yi

 

y00 y0 = 1

 

 

 

hy2n

 

yin

 

2

 

i+1

 

= 1

 

 

 

 

 

h

 

( y(0) = 1; y0(2) = 4;

< y0 = 1;

 

 

 

 

 

 

= 4 (где xn = 2)

 

2h

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.Проверить выполнимость достаточных условий применимости метода прогонки для решения СЛАУ Ax = f. Если эти условия выполняются, решить систему методом прогонки (вычислять можно на компьютере, но в

решении указать значения всех прогоночных коэффициентов i, i).

0

 

7

16

7

0

0

1

0

9

1

 

16

4

0

0

0

C

 

5

C

A = B 0

6

14

 

7 0

; f = B 4

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

B

 

C

B

0

0

4

11

 

5

C

B

2

C

B

0

0

 

 

 

 

 

C

B

9

C

B

0

9

14

C

B

C

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

B

 

C

@

 

 

 

 

 

 

 

 

A

@

 

A

Соседние файлы в папке БДЗ-2