Вычислимые последовательности функций

номер их композиции, то функция U является главной. (Указание: покажите, что по k можно алгоритмически получать U-номер функции x 7→[k; x].)

Естественный вопрос: существуют ли вычислимые универсальные функции, не являющиеся главными? Мы увидим дальше, что существуют.

29.Изменим определение главной универсальной функции

ибудем требовать существования «транслятора» s лишь для универсальных вычислимых функций V (а не для любых, как раньше). Покажите, что новое определение эквивалентно старому. (Указание: любую функцию можно искусственно переделать в универсальную, «растворив» в ней любую другую универсальную функцию.)

30.Пусть U | главная универсальная функция. Докажите, что для любой вычислимой функции V (m; n; x) существует

такая всюду определённая вычислимая функция s(m; n), что V (m; n; x) = U(s(m; n); x) при всех m, n и x. (Указание: объединить m и n в пару.)

3.2.Вычислимые последовательности вычислимых функций

Пусть дана некоторая последовательность f0; f1; : : :

вычислимых функций одного аргумента. Мы хотим придать смысл выражению «последовательность i 7→fi вы-

числима». Это можно сделать двумя способами:

•можно называть эту последовательность вычисли-

мой, если функция F двух аргументов, заданная формулой F (i; n) = fi(n), является вычислимой.

•можно называть эту последовательность вычисли-

мой, если существует вычислимая последователь-

ность чисел c0; c1; : : : , для которой ci является одним из номеров функции fi.

Второе определение (в отличие от первого) зависит от выбора нумерации.

Теорема 17. Если нумерация является вычислимой (то есть соответствующая универсальная функция вычисли-

подмножеств N), если для любого другого перечислимого множества V N×N найдётся такая всюду определённая вычислимая функция s: N → N, что

hn; xi V hs(n); xi W

для всех n и x. (Очевидно, что из этого свойства следует универсальность.)

Как и для функций, можно перейти к нумерациям. Каждое множество U N×N задаёт нумерацию некоторого

семейства подмножеств натурального ряда: число n является номером n-го сечения Un = {x | hn; xi U}. Перечи-

слимое подмножество множества N×N задаёт нумерацию

некоторого семейства перечислимых подмножеств натурального ряда; такие нумерации называют вычислимыми. Перечислимое множество W N × N универсально,

если и только если всякое перечислимое подмножество натурального ряда имеет W -номер; оно является главным тогда и только тогда, когда любая вычислимая нумерация V (любого семейства перечислимых множеств) вычислимо сводится к W -нумерации в том смысле, что Vn = Ws(n) для некоторой вычислимой функции s и для всех n.

Теорема 18. Существует главное универсальное перечислимое множество W N × N.

Эта теорема является очевидным следствием тако-

го утверждения:

Лемма. Область определения главной универсальной функции для класса вычислимых функций одного аргумента является главным универсальным множеством для класса перечислимых подмножеств N.

Доказательство леммы. Пусть U | главная универсальная функция, а W | область её определения. Пусть V N × N | произвольное перечислимое мно-

жество. Рассмотрим вычислимую функцию G с областью определения V . Поскольку функция U является главной, найдётся всюду определённая вычислимая функция s: N → N, для которой Gn = Us(n) при всех n. Тогда

равны и области определения функций Gn и Us(n), то

есть Vn = Ws(n).

32. Постройте главное универсальное множество непосредственно, используя универсальное подмножество N3 (по

аналогии с выше приведённым построением главной универсальной функции).

Как и для функций, мы теперь можем доказывать, что различным операциям над множествами соответствуют вычислимые преобразования номеров. Вот лишь один пример такого рода:

Теорема 19. Пусть W N × N | главное универ-

сальное перечислимое множество. Тогда по W -номерам двух перечислимых множеств можно алгоритмически получить номер их пересечения: существует такая вычислимая всюду определённая функция двух аргументов s, что

Ws(m;n) = Wm ∩ Wn

для любых двух m и n.

Рассмотрим множество V N × N, определённое

так:

h[m; n]; xi V x (Wm ∩ Wn)

(здесь квадратные скобки обозначают номер пары) и применим к нему определение главного универсального множества.

Как и для функций, понятие вычислимости последовательности перечислимых множеств может быть определено двояко: можно считать вычислимой последовательность V0; V1; : : : сечений произвольного перечислимого множества V , а можно требовать, чтобы по i можно было алгоритмически указать один из номеров i-го члена последовательности в главной нумерации. Эти определения равносильны (доказательство полностью аналогично рассуждению для функций).