6. m-сводимость и свойства перечислимых множеств

6.1. m-сводимость

Мы уже встречались с таким приёмом: чтобы доказать неразрешимость некоторого множества X (например, множества всех номеров всех где-то определённых функции), мы показывали, что если бы оно было разрешимо, то и любое перечислимое множество K было разрешимо. Для этого мы строили вычислимую функцию f так, чтобы принадлежность любого числа n множеству K определялась принадлежностью числа f(n) множеству X.

Сейчас мы изучим такие ситуации более подробно. Говорят, что множество A натуральных чисел m-сво-

дится к другому множеству B натуральных чисел, если существует всюду определённая вычислимая функция f : N → N с таким свойством:

x A f(x) B

для всех x N. Такая функция называется m-сводящей A к B. Обозначение: A 6m B.

Теорема 31. (а) Если A 6m B и B разрешимо, то A разрешимо. (б) Если A 6m B и B перечислимо, то A перечислимо. (в) A 6m A; если A 6m B и B 6m C, то A 6m C. (г) Если A 6m B, то N \ A 6m N \ B.

Все эти свойства почти очевидны. Пусть A 6m 6m B и мы имеем разрешающий алгоритм для B. Чтобы

узнать, принадлежит ли данное x множеству A, мы вычисляем f(x) и узнаём, принадлежит ли f(x) множеству B. Другими словами, a(x) = b(f(x)), если a | характеристическая функция множества A, а b | характеристическая функция множества B; поэтому если b вычислима, то и a вычислима как композиция вычислимых функций.

Такое же равенство можно записать для «полухарактеристических» функций, поэтому из перечислимости B

66 m-сводимость и свойства перечислимых множеств [гл. 6]

6.2. m-полные множества

Теорема 32. Среди перечислимых множеств существуют наибольшие с точки зрения m-сводимости, то есть множества, к которым m-сводится любое перечислимое множество.

Таковым является универсальное множество (формально надо перейти от пар к их номерам). Пусть UN × N | перечислимое множество пар натуральных

чисел, универсальное для класса перечислимых множеств натуральных чисел. Рассмотрим множество V номеров всех пар, входящих в U (для какой-то вычислимой нумерации пар hx; yi ↔ [x; y] N). Другими словами,

V = {[x; y] | hx; yi U}:

Пусть T | произвольное перечислимое множество. Тогда T = Un при некотором n и потому

x T x Un hn; xi U [n; x] V:

Таким образом, функция x 7→[n; x] сводит T к V .

Наибольшие относительно m-сводимости перечислимые множества называют m-полными (точнее, m-полны- ми в классе перечислимых множеств ).

Заметим, что если K 6m A для перечислимых мно-

жеств K и A и при этом K является m-полным, то и A является m-полным (в силу транзитивности).

Если универсальное множество является главным, то его диагональ также m-полна:

Теорема 33. Пусть U N × N | главное универсаль-

ное множество для класса перечислимых множеств. Тогда его «диагональное сечение» D = {x | hx; xi U} явля-

ется m-полным.

(В частности, множество всех самоприменимых программ является m-полным.)

Очевидно, D перечислимо. Пусть K | произвольное перечислимое множество. Рассмотрим перечислимое

68 m-сводимость и свойства перечислимых множеств [гл. 6]

во A неперечислимо? Это означает (трюизм), что A отличается от любого перечислимого множества. Естественно называть множество A эффективно неперечислимым, если по любому перечислимому множеству можно указать место, где оно отличается от A.

Более формально, зафиксируем некоторое главное универсальное перечислимое множество W (и тем самым нумерацию перечислимых множеств: число n мы считаем номером множества Wn). Будем говорить, что множество A является эффективно неперечислимым , если существует такая всюду определённая вычислимая функция f, что f(z) A 4 Wz при всех z. (Здесь 4 означает сим-

метрическую разность; другими словами, f(z) является точкой, где A отличается от Wz.)

Заметим, что это свойство не зависит от выбора главного универсального множества, так как от номеров относительно одного такого множества можно эффективно переходить к номерам относительно другого.

Свойство эффективной неперечислимости допускает простую характеризацию в терминах m-сводимости. Начнём с такого простого наблюдения.

Теорема 34. Если A 6m B и A эффективно неперечи-

слимо, то и B эффективно неперечислимо.

Эта теорема является «эффективным вариантом»

теоремы 31, часть (б). То же самое можно сказать и о её доказательстве. Пусть мы хотим найти точку, в которой B отличается от некоторого перечислимого мно-

жества X. Рассмотрим функцию f, которая m-сводит A к B. Прообраз f−1(X) перечислимого множества X при

вычислимом отображении будет перечислим, поэтому можно найти точку m, в которой он отличается от A. Тогда B отличается от X в точке f(m).

Чтобы сделать это рассуждение точным, нам нуж-

но лишь доказать, что номер перечислимого множества f−1(X) может быть эффективно получен по номеру

перечислимого множества X. Для этого мы должны воспользоваться тем, что нумерация является главной |

схема тут та же, что и при вычислении номера композиции двух вычислимых функций, заданных своими номерами (теорема 16). Проведём это рассуждение подробно.

Рассмотрим перечислимое множество

V = {hx; yi | hx; f(y)i W }

(оно перечислимо, поскольку является прообразом пе-

речислимого множества W при вычислимом отображе- нии hx; yi 7→x;h f(y)i). Легко видеть, что Vn = f−1(Wn).

Так как множество W является главным универсальным

множеством, то существует вычислимая всюду опреде-

лённая функция s, для которой W = V = f−1(W )

s(n) n n

при всех n. Другими словами, функция s по W -номе- ру любого перечислимого множества даёт W -номер его прообраза при отображении f, что и требовалось.

Теорема 35. Существуют перечислимые множества с эффективно неперечислимыми дополнениями.

Вновь рассмотрим диагональное множество D =

={n | hn; ni W }. Его дополнение будет эффективно

неперечислимым. В самом деле, множества Wn и D одинаково себя ведут в точке n, поэтому Wn отличается от дополнения к D в этой точке. Таким образом, дополнение к D эффективно неперечислимо, причём в качестве функции f из определения эффективной неперечислимости можно взять тождественную функцию.

Из двух предыдущих теорем очевидно следует такое утверждение:

Теорема 36. Всякое m-полное перечислимое множество имеет эффективно неперечислимое дополнение.

На самом деле верно и обратное. Чтобы убедиться в этом, докажем такой факт:

Теорема 37. Пусть K | перечислимое множество, а A эффективно неперечислимо. Тогда N \ K 6m A (или,

что эквивалентно, K 6m N \ A).

На самом деле нам важно умение эффективно отличать A лишь от двух перечислимых множеств | от

70 m-сводимость и свойства перечислимых множеств [гл. 6]

пустого и от всего натурального ряда. Отличить A от пустого множества означает указать элемент в A; отличить от всего натурального ряда означает указать элемент вне A. Именно эти две вещи используются при сведении. Более формально, рассмотрим множество V = K × N.

Его сечения Vn либо пусты (при n = K), либо совпадают со всем натуральным рядом (при n K). Пользуясь тем,

что множество W является главным, мы находим всюду определённую функцию s, для которой Ws(n) = при n =

= K и Ws(n) = N при n K. Пусть f | функция, обеспечивающая эффективную неперечислимость множества A.

Тогда f(s(n)) A при n = K и f(s(n)) = A при n K. Другими словами, композиция функций f и s сводит N\K к множеству A, что и требовалось.

Отсюда очевидно вытекают такие утверждения: Теорема 38. Перечислимое множество является m-пол-

ным тогда и только тогда, когда его дополнение эффективно неперечислимо.

Теорема 39. Множество эффективно неперечислимо тогда и только тогда, когда к нему m-сводится дополнение некоторого (вариант: любого) m-полного множества.

Отметим, что не всякое неперечислимое множество эффективно неперечислимо. Это видно, например, из такого факта:

Теорема 40. Любое эффективно неперечислимое множество содержит бесконечное перечислимое подмножество (т. е. не является иммунным).

В самом деле, пусть множество A эффективно непе-

речислимо. Тогда отличим его от пустого множества | то есть найдём в нём элемент. После этого отличим его от одноэлементного множества, которое состоит из этого элемента | и найдём другой элемент. Действуя так, мы может алгоритмически найти сколь угодно много различных элементов.

В этом рассуждении мы использовали такой факт: по конечному множеству, заданному списком его элементов,